Слайд 8 Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей

Расчет электрических цепей с использованием тригонометрических функций весьма сложен и громоздок, поэтому при расчете электрических цепей синусоидального тока используют математический аппарат комплексных чисел.

Модуль комплексной амплитуды равен амплитуде синусоидальной величины, а аргумент – ее начальной фазе.

Вводится понятие комплексного величин амплитуд и действующих значений тока, напряжения, ЭДС и т.д.

Комплексные действующие значения пропорциональны комплексным амплитудам и записываются в виде:

Синусоидальные электрические величины, представленные в комплексной форме, можно изображать графически. На комплексной плоскости в системе координат с осями +1 и +j, которыми обозначены положительные действительная и мнимая полуоси, строятся комплексные векторы. Длина вектора пропорциональна модулю действующих значений. Угловое положение вектора определяется аргументом комплексного числа. При этом отсчет положительного угла ведется против часовой стрелки от положительной действительной полуоси.

Слайд 9 Правила перехода из одной формы в другую

Переход из показательной формы в алгебраическую:

дано

Используется формула Эйлера-

Слайд 10

Переход из алгебраической формы в показательную:

дано

Из рис.4 видно, вектор образует с осью координат прямоугольный треугольник, поэтому воспользуемся теоремой Пифагора, и найдем размер вектора, который равен гипотенузе треугольника:, ,

причем особое внимание уделим углу –аргументу ψ_амодуля комплексного числа:

если вектор находится во второй и третьей четвертях комплексной плоскости, то к полученному значению аргумента необходимо прибавить 180° или π.

Если а₁=0, то комплексное число называется мнимым, аргументψ_а =±90°

Если а₂=0, то комплексное число называется действительным, ψ_а =0,±π

Слайд 11

Простейшие математические операции с комплексными числами

Простейшие математические операции такие, как сложение, вычитание, умножение и деление проводятся с комплексными числами следующим образом: сложение и вычитание удобно проводить в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной.

Действия с комплексными числами:

Сложение и вычитание:

;

Умножение и деление:

Слайд 12

Единичные комплексы	действия с j

Слайд 13 Векторные диаграммы

Геометрический образ комплексных величин синусоидальных функций на комплексной плоскости называют векторной диаграммой.

Векторные диаграммы широко используют для анализа электрических цепей.

Рассмотрим пример:

Рис.5

На рис.5 представлена осциллограмма тока и напряжения пассивного двухполюсника. Необходимо записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения, комплексные значения и построить векторную диаграмму.

Анализируя осциллограмму, видим, что ток имеет начальную фазу ψ_i= 90°, а

напряжение ψ_u=0°, следовательно, можно записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения:

,

знак «+» потому что не хватает + 90°, чтобы функция тока выходила из начала координат.

,

тогда комплексные значения амплитуд:

;

Построим векторную диаграмму на комплексной плоскости:

Анализируя векторную диаграмму можно сделать вывод, что функция тока опережает функцию напряжения на угол 90°.

Точно так же будет выглядеть векторная диаграмма действующих значений

Только размеры векторов уменьшаться в √2 раз.