- •«Поволжский государственный университет
- •Сервиса»
- •Кафедра: «Высшая математика »
- •Контрольная работа
- •1. Найдём вероятности :
- •2. Дисперсию найдём по формуле:
- •1. Закон равномерного распределения имеет вид:
- •2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсиюи среднее квадратическое отклонение.
- •Список используемой литературы.
- •«Поволжский государственный университет
- •1. Найдём вероятности :
- •2. Дисперсию найдём по формуле:
- •1. Закон равномерного распределения имеет вид:
- •2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсиюи среднее квадратическое отклонение.
- •Список используемой литературы.
1. Найдём вероятности :
Зная, что , имеем:+=1 - (0,2+0,1+0,2)=0,5;
;
;
; ;
.
2. Дисперсию найдём по формуле:
Ответ: 1. ;.
2.
Задача 7. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Найти:
а) параметр ;
б) функцию распределения ;
в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (3,5;5);
г) математическое ожидание M (X) и дисперсию D (X);
д) построить графики функций f(x) и F(x).
Решение:
а) Найдём параметр .
Из условия, что и значения данной случайной величины заключены в промежутке, то
, откуда ;
б) Найдём функцию распределения .
Из свойства функции плотности имеем: .
Рассмотрим три интервала.
При .
.
При .
.
При .
Таким образом,
в) Найдём вероятность попадания случайной величиныв интервал
(3,5; 5).
г) Найдём математическое ожидание M (X) и дисперсию D (X):
д) построим графики функций f(x) и F(x).
Ответ: а). б)
в) г)
Задача 8. Случайная величина имеет биномиальное распределение. Найти вероятность, если математическое ожидание, а дисперсия.
Решение:
Для биномиального закона распределения имеем: ;.
Зная из условия, что математическое ожидание , а дисперсия
. Найдем из системы уравнений:
Делим одно уравнение на другое, получаем:
; а ; тогда.
Вероятность: .
По формуле Бернулли: .
Таким образом, получим:
Окончательно имеем:
Ответ:
Задача 9. Случайные величины имеют равномерное, показательное и нормальное распределения соответственно. Найти вероятности, если у этих случайных величин математические ожидания и средние квадратические отклонения равны 2.
Решение:
1. Закон равномерного распределения имеет вид:
Найдём параметры ииз условия:
; .
Зная, что математические ожидания и средние квадратические отклонения равны 2, найдем :
Решим систему уравнений: , получим:
Так как предполагается, что , то.
Определяем искомую вероятность:
2. Показательное распределение имеет вид:
Для показательного распределения: ; . Тогда.
3. Вероятность попадания в заданный интервал нормального распределённой случайной величины определяется как:
.
Здесь . Тогда
где функция Лапласа определяется по таблицам.
Ответ:
1.
2.
3.
Задача 10. Выборка Х объемом измерений задана таблицей:
-
5
13
19
10
3
результаты измерений;частоты, с которыми встречаются значения;.
а) Построить полигон относительных частот ;
б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсиюи среднее квадратическое отклонение;
в) по критерию проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости.
Решение:
а) Построить полигон относительных частот .
5 |
13 |
19 |
10 |
3 |
Вычисляя относительные частоты: , получаем:
25 |
25 | ||||||
0,05 |
0,13 |
0,25 |
0,25 |
0,19 |
0,10 |
0,03 |
Построим полигон относительных частот.