4.4.3. Інтегрування неправильних раціональних дробів.

Правило. Для того, щоб про інтегрувати неправильний раціо­нальний дріб , треба

1. Виділити цілу частину з неправильного раціонального дробу (п. 4.1.2).

2. Обчислити як суму інтегралів від цілої раці­она­льної функції (п. 4.3) і правильного раціонального дробу (п 4.4.2).

Приклад 4.12. Знайти інтеграл

.

Розв’язання. Підинтегральна функція – неправильний раціо­нальний дріб (степінь чисельника вищий за степінь знаменника). Виділимо цілу частинну.

Отже,

.

Перейдемо до інтегрування правильного раціонального дробу

.

Розкладемо знаменник дробу на множники

.

Квадратичний множник має від’ємний дискри­мінант. За (4.12)

.

.

При .

; ;.

Таким чином,

.

.

Кінцевий результат

.

5. Інтегрування деяких трансцендентних функцій

Насамперед зауважимо, що інтеграли від трансцендентних функцій не завжди обчислюються в елементарних функціях. Розглянемо деякі типи інтегралів, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій (п. 4) або до табличних інтегралів (п. 1).

5.1. Раціональна функція двох змінних

Означення. Раціональною функцією двох змінних називається функція, що залежить від двох зміннихі деяких сталих, над якими виконується тільки скінченна кількість чотирьох арифметичних дій: додавання, віднімання, множення і ділення.

Приклад 5.1.

є раціональною функцією від і.

Якщо змінні і, в свою чергу, є функціями незалежної змінної:

,

то функція є раціональною функцією віді.

Приклад 5.2.

Нехай

1) Якщо ,, то

.

2) Якщо ,, то

.

5.2. Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо інтеграл виду

. (5.1)

Зауважимо, що підинтегральну функцію, яка раціонально залежить від будь-яких тригонометричних функцій, завжди можна вважати , оскільки всі тригонометричні функції раціонально виражаються черезі:

, ,,. (5.2)

І. Універсальна тригонометрична підстановка

Інтеграли виду (5.1) завжди зводяться до інтегралів від раціональних функцій (раціоналізуються) за допомогою універ­сальної тригонометричної підстановки

. (5.3)

За відомими тригонометричними формулами

; . (5.4)

З (5.3) випливає

, звідки . (5.5)

Тому

,

де – раціональна функція від.

За допомогою універсальної тригонометричної підстановки особливо зручно обчислювати інтеграли виду

.

Приклад 5.3. Знайти інтеграли

1) ; 2); 3).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

Розклад підинтегральної функції на елементарні дроби має вигляд (4.12):

.

Тому

.

.

Невідомі коефіцієнти здайдемо за комбінованим методом (п. 4.2.3)

.

Тому

.

Повертаючись до змінної х, маємо

.

Звертаємо увагу, що підстановка зветьсяуніверсальною, оскільки вона завжди раціоналізує інтеграл (5.1). Однак вона часто приводить до надто громіздких обчислень. Тому корисно знати також інші прийоми інтегрування, застосування яких до інтегралів певного виду є ефективним.