2.2.2. Операція введення функції під знак диференціала

Нехай треба знайти складний для безпосереднього інтегрування

, (2.6)

в якому підинтегральний вираз можливо представити у вигляді:

, (2.7)

де для функції відома первісна, ає неперервною функцією. Тоді

введення функції

під знак диференціала

властивість інваріантності формул інтегрування (2.2)

Приклад 2.5. Знайти інтеграли:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

6) Звертаємо увагу, що інтеграл було знайдено (приклад 1.4; 6)) з використанням властивості 6 невизначеного інтеграла. Для знаходження цього інтегралу можна також застосувати операцію введення функції під знак диференціала:

.

Зауваження.

1. На практиці часто користуються формулами, які є узагаль­неннями результатів прикладів 1) і 2), а саме:

;

.

2. Доцільно пам’ятати наступні формули для диференціалів, що найбільш часто зустрічаються на практиці:

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Таким чином, у випадках, коли треба знайти , в якому підінтегральний виразможна представити у вигляді (2.7), застосовують властивість інваріантності формул інтегрування (2.2), що дозволяє одержати результат

.

Можна користуватися записом (2.1) цієї властивості

,

в якому . Це передбачає введення нової змінної інтегрування, тобто здійснення заміни змінної так званого першого типу.

2.2.3. Перший тип заміни змінної

Функція незалежної змінної заміняється новою змінною:

.

.

властивість

інваріантності

формул інтегру-

вання (2.1)

Застосуємо заміну змінної до розв’язання прикладу 2.5.

Приклад 2.6. Знайти інтеграли:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

6)

.

Звертаємо увагу, що в прикладах 5) і 6) перетворення підинтегрального виразу до вигляду

не здійснювалось. Відповідну заміну змінної було спробувано в передбаченні, що таке представлення є можливим. В ітозі вдалося одержати вірні результати інтегрування.

Підкреслимо, що загального «рецепту» вибору тієї чи іншої заміни не існує. Однак, слід мати на увазі наступну рекомендацію: якщо в підінтегральному виразі є готовий диференціал функції (тобто), або вираз, що відрізняється відлише сталим множником, то є сенс спробувати заміну.

Приклад 2.7. Знайти інтеграли:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

В цьому прикладі після почленного ділення чисельника дробу підинтегральної функції на знаменник заданий інтеграл зведено до суми двох інтегралів: та.

Перший інтеграл знаходяться безпосередньо:

.

Другий інтеграл береться заміною змінної:

.

Отже, заданий інтеграл

.

6)

.

В даному прикладі для досягнення результату довелося зробити заміну змінної двічі. Перша заміна дозволила спростити заданий інтеграл, а друга заміна звела проміжковий інтеграл до табличного інтегралу:.

Зауваження. З формул (2.1) і (2.2) випливає справедливість рівності

, (2.8)

де є функцією з неперервною похідною. Змінюючи місцями буквиів формулі (2.8), одержимо:

. (2.9)

Отже формула (2.9) є основою другого типа заміни змінної – підстановки.