4.1.2. Дробово-раціональна функція

Означення. Дробово-раціональною функцією (раціональним дробом) називається відношення двох многочленів:

. (4.8)

Зауважимо, що клас раціональних функцій уявляє собою сукупність цілих раціональних і дробово раціональних функцій.

Означення. Дріб називається правильним, якщо степінь чисельникаменше, ніж степінь знаменника. У протилежному випадкудрібназивається неправильним.

Приклад 4.3.

–правильний дріб,

–неправильний дріб.

Якщо раціональний дріб неправильний, то виконавши ділення, його можна представити у вигляді суми многочлену і правильного раціонального дробу:

. (4.9)

Приклад 4.4. Виділити цілу частину неправильного раціонального дробу

.

Розв’язання. Виконаємо ділення чисельника на знаменник «у стовпчик».

Отже, .

Означення. Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби наступних чотирьох видів:

І. ; ІІ.;

(4.10)

ІІІ. ; ІV. .

де – дійсні числа;.

4.2. Розклад правильного раціонального дробу на елементарні дроби

Виявляється, що всякий правильний раціональний дріб може бути єдиним чином представленим у вигляді суми скінченної кількості елементарних дробів. Таке представлення безпосередньо пов’язане із розкладом знаменника дробу на множники.

4.2.1. Теоретичне обґрунтування

Теорема 4.5. Нехай дано правильний раціональний дріб , причому многочленмає вигляд:

, (4.11)

де – кратності дійсних коренів;

–кратності комплексно-спряжених коренів.

Тоді даний дріб можна єдиним чином представити у вигляді:

(4.12)

де – деякі дійсні числа

Вираз (4.12) називається розкладом правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

Пояснимо зміст теореми 4.5.

1. Кожному множнику виду в розкладі (4.11) знаменникаданого дробу відповідає сумаелементарних дробів виду

в розкладі (4.12) даного дробу.

Аналогічні твердження справедливі для множників

.

2. Кожному множнику виду в розкладі (4.11) знаменникаданого дробу відповідає сумаелементарних дробів виду

в розкладі (4.12) даного дробу.

Аналогічні твердження справедливі для множників

.

З теореми 4.5 випливає наступний алгоритм розкладу правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

4.2.2. Алгоритм розкладу правильного раціонального дробу на елементарні дроби

1. Розкласти знаменник на лінійні і квадратичні множники з дійсними коефіцієнтами (квадратичні множники не мають дійсних коренів).

2. Записати розклад даного правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами (за 4.12).

3. Одержану рівність умножити на знаменник .

4. Знайти невідомі коефіцієнти одним з методів, що наведені в наступному п 4.2.3.

4.2.3. Методи знаходження невідомих коефіцієнтів у розкладі правильного раціонального дробу

Наведемо два найбільш розповсюджених методи знаходження невідомих коефіцієнтів в чисельниках елементарних дробів розкладу (4.12).