4.3. Інтегрування цілих раціональних функцій

Інтегрування многочлена (4.1) утруднень не викликає. Воно зводиться до інтегрування алгебраїчної суми степеневих функцій (табличний інтеграл 2, п 1.2).

4.4. Інтегрування раціональних дробів

4.4.1. Інтегрування елементарних раціональних дробів

Розглянемо інтегрування елементарних раціональних дробів кожного з чотирьох видів (4.10)

І. (табличний інтеграл 3, п. 1.2).

ІІ. (табличний інтеграл 2, п. 1.2).

ІІІ. .

Цей результат одержується за методикою знаходження інтегралу (п. 3.3).

IV. З методами знаходження пропонуємо ознайомитися в літературі ([ 2 ]).

4.4.2. Інтегрування правильних раціональних дробів.

Правило. Для того, щоб проінтегрувати правильний раціональний дріб треба

1. Розкласти правильний раціональний дріб на елементарні дроби (за алгоритмом п. 4.2.2).

2. Обчислити як суму інтегралів від знайдених дробів.

Розглянемо три випадки.

1. Знаменник дробу має тільки дійсні прості корені.

Приклад 4.9. Знайти .

Розв’язання. Запишемо розклад підинтегрального правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами (4.12):

.

.

Знайдемо коефіцієнти методом окремих значень аргументу

При :, звідки.

При :, звідки.

При :, звідки.

Отже,

.

Тому

.

2. Знаменник дробу має тільки дійсні корені, серед яких є кратні.

Приклад 4.10. Знайти інтеграли

1) ; 2) .

Розв’язання

1) Запишемо розклад підинтегрального правильного раціо­нального дробу на суму елементарних дробів з невідомим коефіцієнтами (4.12):

;

; (4.16)

Для знаходження коефіцієнтів ,ізастосуємо комбіно­ваний метод (п. 4.2.3)

При :.

При :.

Для знаходження прирівнюємо коефіцієнти прив лівій і правій частинах рівності (4.16)

.

Маємо

.

Тому

.

2) Запишемо розклад знаменника на лінійні множники:

.

Корені знаменника: (двократний),(простий).

За розкладом (4.12)

.

.

Скористуємось комбінованим методом знаходження ,,.

При :.

При :.

Знайдемо :

.

Отже,

.

.

3. Знаменник дробу має комплексно-спряжені корені, серед яких нема кратних

Приклад 4.11. Знайти інтеграли

1) ; 2).

Розв’язання.

1) Розкладемо на множники з дійсними коефіцієнтами знаменник підинтегрального дробу.

.

Дискримінант квадратного тричлена від’ємний, тому за (4.12)

.

.

Скористуємось комбінованим методом знаходження .

При .

;;.

Маємо

.

Отже,

.

2) Розглянемо .

Квадратний тричлен в знаменнику підинтегра­льного дробу має від’ємний дискримінант. Тому за (4.12) розклад підинтегрального дробу має вигляд

.

При ,

.

; ;.

Таким чином,

.

.