2.2.4. Другий тип заміни змінної (підстановка)

Незалежна змінна заміняється функцією нової змінної

,

де має обернену функцію.

Розглянемо у загальному вигляді умови застосування другого типу заміни змінної і наведемо приклади.

інтеграл формула для функції

складний для (2.9) відома первісна

безпосереднього

інтегрування

.

Приклад 2.8. Знайти інтеграли

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

Розв’язання.

1) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі. Щоб позбутися ірраціональності у знаменнику підинтегральної функції, виконаємо підстановку:

, де . Функціямає неперервну похіднув своєї області визначення і має обернену функцію. Отже,

.

2)

.

3) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі. Щоб позбутися ірраціональності, виконаємо підстановку

(, де ).

Функція має неперервну похіднув своєї області визначення і обернену функцію. Маємо

.

4)

.

5) Розглянемо . Підинтегральна функція визначена на інтервалі. Дійсно,. Щоб позбутися ірраціональності в знаменнику підинтегральної функції в результаті застосування основної тригонометричної тотожності, виконаємо підстановку:, де.є неперервною функцією в області визначення. Функціямає обернену функцію,. Отже

.

Зауважимо, що коли функція. Тому при розв’язанні прикладу правомірний наступний перехід:.

6)

.

Таким чином, на практиці застосують перший і другий типи заміни змінної. Заміну змінної підбирають так, щоб в результаті перетворень інтеграли були табличними або зводилися до відомих інтегралів.

Після застосування методу заміни змінної завжди необхідно повернутися до заданої змінної інтегрування.

2.3. Метод інтегрування частинами

2.3.1. Формула інтегрування частинами, її зміст та рекомендації щодо застосування.

Метод інтегрування частинами ґрунтується на використанні формули диференціала добутку двох функцій:

,

звідки випливає рівність

.

Інтегруючи обидві частини останньої рівності, одержимо

або

.

Оскільки до складу невизначеного інтеграла вже входить довільна стала, то до неї можна приєднати і доданокС. Отже, одержуємо формулу інтегруванні частинами:

. (2.10)

Зміст цієї формули полягає у тому, що при обчисленні невизначеного інтегралу підинтегральний вираздеяким чином представляється у вигляді добутку двох множників:і, тобто

.

Після цього обчислення інтегралу виконується двома інтегруваннями:

1) при обчисленні із виразу:

;

2) при обчисленні інтегралу в правій частині формули (2.10):

.

Замість одного складного інтегрування виконуються два, більш простих.

Таким чином, інтегрування виконується частинами.

Приклад 2.9. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Представимо підинтегральний вираз у вигляді добутку двох множниківх і . Нехайі. Продиференціюємо множникі проінтегруємо множник:

.

Зауважимо, що в результаті останнього інтегрування достатньо знайти один множник , тому вважають, що стала інтегрування.

Маємо

формула інтегрування частинами (2.10)

.

Звертаємо увагу на те, що при інтегруванні частинами треба намагатися, щоб інтеграл справа в формулі (2.10) був простішим, ніж інтеграл зліва.

В розглянутому прикладі, якщо зробити вибір множників інавпаки, ми одержимо справа більш складний інтеграл, ніж зліва:

.

Взагалі метод інтегрування частинами має більш обмежену область застосування, ніж метод заміни змінної. Але існують класи інтегралів, які обчислюються саме методом інтегрування частинами. Укажемо ці класи і надамо рекомендації щодо розбиття підинтегрального виразу на множники ітабл. 1.

Таблиця 1 – Деякі рекомендації щодо вибору множників u і dv в методі інтегрування частинами

№ класу	Вид інтегралу	u	dv
І	–многочлен; –дійсне число
ІІ	–алгебраїчна функція; –дійсне число ; –натуральне число
ІІІ		Можливий довільний вибір множників u і dv. Після двократного застосування формулі (2.10) одержується лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу
ІV

Приклад 2.9. Знайти інтеграли.

1) ; 2);

3) ; 4).

При знаходженні всіх інтегралів даного прикладу будемо дотримуватися рекомендацій п. І таблиці 1, відповідно до яких за приймають многочлен, степінь якого при диференціюванні понижується.

Розв’язання.

1)

формула (2.10)

.

2)

формула (2.10)

.

3)

формула (2.10)

.

4)

формула (2.10)

.

При знаходженні інтегралів наступного прикладу будемо дотримуватись рекомендацій п. ІІ таблиці. За множник приймають трансцендентну функцію,,або, яка спрощується при диференціюванні.

Приклад 2.10. Знайти інтеграли.

1) ; 2);

3) ; 4).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.