згинальний момент змінюється від M min =2 кНм до M max =7 кНм, а σв =450 МПа, σт =260 МПа, σзг−1 =220 МПа і [n]=1,7. Поверхня стержня чисто обточена різцем.

Обчислимо геометричні характеристики поперечного перерізу стержня в небезпечному перерізі (рис. 6.18, б).

					Рис. 6.18
ymax =	d	2	d			2	2	−3	2	= 47,91 мм,
			−		0	= 48
	2			2

Jz =	πd 4		d		(2y		)3		3,14 9,64			0,6 9,5823	= 372,72см4	,
		−		0		max	=				−
	64								64			12
					12
					W =			Jz		= 372,72 = 77,8см3 .
						z		ymax	4,791

Далі визначимо

	σmin =					2 103				= 25,71 106 Н/м2 = 25,71 МПа,
					77,8 10−6
	σ		=			7 103			= 89,97 106 Н/м2 = 89,97 МПа,
		max				− 6
					77,8 10
		σc =				σmax +σmin			=		89,97+25,71 =57,84 МПа,
					2						2
		σα =			σmax −σmin					=	89,97 − 25,71 = 32,13 МПа.
					2						2

За графіками, наведеними на рис. 6.4, 6.15 і 6.16, визначаємо коефіцієнти Kσ =1,91, εn =0,94 і εM =0,67 і обчислюємо загальний коефіцієнт зниження

міцності при втомленості

K

σд

=

Kσ

=

1,91

= 3,03

і ψ

σ

=

σ− 1 =

220

= 0,489 .

0,94 0,67

450

εnεм

σв

154

Коефіцієнти запасу міцності за втомленістю nσ і за текучістю nσт обчислюємо за формулами (6.16) і (6.17)

nσ =

σ− 1

=

220

=

1,75 ,

Kσд σα+ψσ

σс

3,03 32,13+0,489 57,84

n

=

σт

=

220

= 2,89.

89,97

σт

σmax

До уваги приймаємо

менше

значення коефіцієнта

запасу міцності

nσ =1,75>[n]=1,7. Отже, втомлювана міцність стержня забезпечена.

Приклад 6.3. Східчастий вал з діаметрами d = 50 мм і D = 60 мм має в місці переходу гатель радіусом r = 4 мм. Вал піддається змінному згинан-

ню з крученням. Нормальні напруження при згинанні		змінюються від
σmin = − 60МПа	до σmax = 60МПа, дотичні напруження	при крученні
змінюються від	τmin = 0 до τmax = 50МПа . Матеріал вала –	вуглецева сталь

(Ст. 45), для котрої σв= 600 МПа, σт=420 МПа, σ−и1 =250 МПа, τв =320 МПа,

τт =220 МПа і τ− 1 =160 МПа. Поверхня вала грубо обточена різцем. Визначити

коефіцієнт запасу втомлюваної міцності.

Обчислимо амплітудне і середнє напруження циклу нормальних і

дотичних напружень

σα =

σmax − σmin

=

60− (− 60)

=60 МПа, σс =

σmax +σmin

=

60− 60

= 0,

2

2

2

2

τ

=

τmax − τmin

=

50 −0 = 25 МПа, τ

с

=

τmax +τmin

= 50 + 0

= 25 МПа.

α

2

2

2

2

За графіками на рис. 6.8 і рис.6.9 визначаємо K′σ = 1,7 і η=0,45. Потім

за формулою (6.11) обчислюємо ефективний коефіцієнт концентрації напружень

Kσ =1+η (Kσ′ −1)=1+0,45(1,7–1)=1,32.

Аналогічно визначаємо за допомогою графіків на рис. 6.10 і рис.6.11 за формулою (6.11) значення Kτ =1,21.

Коефіцієнт якості поверхні εп і масштабний фактор εм при згинанні і

крученні практично однакові. Їх визначаємо за графіками на рис. 6.15 і рис. 6.16: εn =0,82, εM =0,83 – і обчислюємо загальні коефіцієнти зниження

втомлюваної міцності і коефіцієнт чутливості матеріалу до асиметрії циклу ψτ

K

σд

=

Kσ

=

1,32

=1,94,

K

τд

=

Kτ

=

1,21

=1,78,

0,82 0,83

ε ε

0,82 0,83

ε

ε

м

п

п м

155

ψ	τ	=	τ− 1	=	160	= 0,5 .
					320
			τв

Далі обчислимо коефіцієнти запасу міцності за втомленістю за нормальними і дотичними напруженнями nσ та nτ та за текучістю nτт

n

=

σ− 1

=

250

= 2,15 ,

σ

Kσд σmax

1,94 60

n =

τ− 1

=

160

=

2,81,

n

=

τТ

=

220

=4,4.

Kτд τα+ψσ τc

1,78 25+0,5 25

τmax

50

τ

τт

З двох коефіцієнтів запасу міцності за втомленістю і текучістю до увагу беремо менше значення, тому при nσ =2,15 і nτ =2,81 обчислюємо за

формулою (6.18) загальний коефіцієнт запасу втомлюваної міцності

n =	nσnτ				=	2,15 2,81			= 1,71.
	n	2	+n	2		2,15	2	2
				τ				+2,81
	σ

Приклад 6.4. Використовуючи випрямлену діаграму граничних напружень, визначити межу витривалості сталі, для котрої σв=950 МПа,

σт=720 МПа і σ−и1 =450 МПа, якщо коефіцієнт асиметрії r = 0,4. За формулою (6.10) обчислюємо

	2σ	в	σи			2 950 450
σ0,4 =			− 1		=		= 712,5 МПа.
	(1− r) σв+(1+r) σ−и			1		(1− 0,4) 950+(1+0,4) 450

Оскільки σ0,4 =712,5<σт =720 МПа, то руйнування матеріалу навіть при

відсутності факторів, що знижують втомлювану міцність, відбудеться від втомленості матеріалу.

Приклад 6.5. Визначити діаметр вала круглого поперечного перерізу (рис.6.19, а), що обертається зі швидкістю n=280 об./хв та передає через ведучий шків діаметром D1=480 мм, потужність K=43 кВт на відомий шків діаметром D2 =360 мм, якщо [n]=1,5, σв=600 МПа і σт=340 МПа. Вал має галтелі і грубо обточену поверхню.

Розв’язання виконуємо в такій послідовності:

1. Визначити зосереджені моменти, прикладені до кожного шківа, і побудувати епюру крутних моментів.

На вал насаджені два шківи, тому скручувальні моменти на кожному з них будуть однаковими [1]:

M1 = M2 =	9549 K	=	9549 43	= 1466 Нм.
	n		280

156

Епюра крутних моментів наведена на рис. 6.19, б.

2. Визначити натяги гілок ремінних передач і сили, що згинають вал у вертикальній і горизонтальній площинах,

t =	2M1	= 2 1466 = 6108Н, =8144 Н, t		2	=	2M2	= 2 1466 =8144 Н,
1	D1	0,48				D2	0,36
	F1 = 3t1 = 3 6108 =18324 Н,		F2 = 3t2 = 3 8144 = 24432 Н.

Епюри згинальних моментів від вертикальної сили F1 (рис. 6.19, в) і горизонтальної сили F2 (рис. 6.19, д) наведені на рис. 6.19, г, е.

Ординати сумарної епюри згинальних моментів обчислюємо в характерних перерізах за формулою (4.22)

МА=МВ=0, МЕ= 14662 +43982 =4636 Нм, МF= 26882 +19552 =3324 Нм.

За цими значеннями на рис. 6.19, ж побудована сумарна епюра згинальних моментів М. На ділянці ЕF нульові точки епюр Мв та Мг знаходяться не на одній вертикалі, тому сумарна епюра М обмежена кривою другого порядку, що не має екстремуму.

a = 0.3м	b = 0.25м	c 2 = 0.2м
	Рис. 6.19

3. Визначити діаметр вала за IV-ю теорією міцності без урахування циклічної дії напружень.

З епюр Мкр та М видно, що небезпечним перерізом вала є переріз Е, де діє Мкр =1466 Нм і М=4636 Нм. Обчислимо еквівалентний момент у цьому перерізі за IV-ю теорією міцності (4.21)

Mекв.IV = M 2 +0,75 Mкр2 = 46362 +0,75 14662 = 4807 Нм.

Для того щоб компенсувати зниження міцності матеріалу при циклічній дії напружень, розрахунок на міцність виконаємо за зниженими допустимими напруженнями

[σ]= σт ,

n0

де n0 – підвищений коефіцієнт запасу міцності. Його можна прийняти рівним від 3 до 25. При n0=5 маємо [σ]= 3405 =68 МПа.

Тепер, з умови міцності (4.20) знаходимо

d ≥	3	32 Mекв	= 3	32 4807	= 0,09м.
				3,14 68 106
		π[σ]

Приймаємо d = 90 мм, D = 90+12=102 мм, r = 8 мм. Схема вала зображена на рис. 6.19, з.

4. Визначити фактичний коефіцієнт запасу міцності і перевірити умову міцності.

Нормальні напруження змінюються за симетричним циклом, тому

	σ		= − σ		= σ		=	32M	=	32 4728	= 66,1 106 Н/м2 = 66,1МПа.
		max		min		α		πd3		3,14 0,093

Межу витривалості матеріалу при симетричному циклі і згинанні визначаємо за емпіричною формулою (6.5)

σ− 1 = 0,4 σв = 0,4 600= 240 МПа.

За графіками на рис. 6.8 визначаємо при σв=600МПа і dr = 8090 ≈ 0,089

значення K′σ =1,65, а за графіком на рис. 6.9 – значення поправкового коефіцієнта η=0,35 і обчислюємо ефективний коефіцієнт концентрації напружень

Kσ =1+η(Kσ′ −1)=1+0,35(1,65–1)=1,228.

158

Коефіцієнт якості поверхні εn і масштабний фактор εм знаходимо за графіками на рис. 6.15 і рис. 6.16: εn =0,825 і εм =0,72. При цьому загальний коефіцієнт зниження втомлюваної міцності буде

K	σд	=	Kσ	=			1,228	= 2,067.
						0,825 0,72
			εnεм
Обчислимо коефіцієнт запасу втомлюваної міцності за нормальними
напруженнями за формулою (6.15)
n =			σ− 1		=		240			= 1,757.
σ		Kσд σmax					2,067 66,1

Дотичні напруження від кручення постійні, тому обчислюємо коефіцієнт запасу за дотичними напруженнями тільки за текучістю

n		τ	т		0,6 σ		πd3	0,6 340 106 3,14 0,093	= 19,52
	=			=		т	=
		τmax						16 1495
τ					16 Mкр

Загальний коефіцієнт запасу втомлюваної міцності обчислюємо за формулою (6.18)

n =	nσnτ			=	1,757 19,52	≈ 1,75 >[n]= 1,5.
					1,7572 +19,522
	n2	+n2
	σ		τ

Отже, втомлювана міцність вала забезпечена з невеликим зайвим (менше 20%) запасом міцності.

6.3. Приклади для самостійного розв’язання

Приклад 6.6. Використовуючи випрямлену діаграму граничних напружень, визначити межу витривалості вуглецевої сталі з характе-

ристиками σв=1200 МПа і σ−0 1 =450 МПа при r = 0,3.

Приклад 6.7. Визначити коефіцієнт запасу міцності круглого стержня діаметром d= 130 мм, завантаженого осьовою силою, яка змінюється багато-

разово від Fmin = − 470 кН до Fmax = 1130 кН, якщо σв=760 МПа, σ−0 1 =230 МПа, а поверхня чисто оброблена.

Приклад 6.8. Визначити коефіцієнт запасу міцності стержня круглого перерізу d = 40 мм. Матеріал стержня – вуглецева сталь (σв=500 МПа;

σ−0 1 =200 МПа). Стержень працює на згинання при симетричному циклі зміни

напружень. Максимальний згинальний момент Мmax = 256 Нм. Поверхня шліфована. Концентратори напружень відсутні.

159

Приклад 6.9. Визначити запас міцності східчастого вала з діаметрами D = 100 мм, d = 50 мм і радіусом галтелі r = 2 мм. Крутний момент змінюється в межах: Мmax =4 кНм, Мmin =1,2 кНм. Вал підданий тонкому обточуванню. Характеристики матеріалу: σв=750 МПа, τт=250 МПа, τ –1= 200 МПа, ψτ=0,05.

Приклад.6.10. Визначити коефіцієнт запасу міцності вала, який рівномірно обертається зі швидкістю n = 600 об./хв (рис. 6.20) і передає через шків діаметром D = 300 мм потужність K=50 кВт, якщо діаметр вала

d = 50 мм, а σв=600 МПа, σт=360 МПа, σ−и1 =240 МПа, τт=225 МПа. Шків закріплений на валі за допомогою шпонки. Поверхня вала чисто оброблена.

l 2 = 250

l 2 = 250

Рис.6.20

6.4. Дані для виконання роботи № 6 “Розрахунки на міцність при складному опорі, стійкість і витривалість”

Робота складається з п’яти самостійних задач. Задача № 1, 2, 3 і 4 виконуються студентами дорожньо-будівельного факультету. Студенти автомобільного і механічного факультетів виконують задачі № 1, 2, 4 і 5.

ЗАДАЧА 1. Для заданої дерев’яної балки необхідно:

1.Побудувати епюри моментів окремо від дії вертикальної і горизонтальної сили F.

2.Визначити розміри поперечного перерізу h і b при [σ]=10 МПа.

3.У небезпечному перерізі балки побудувати епюру нормальних напружень в аксонометрії і визначити положення нейтральної лінії.

ЗАДАЧА 2. Для жорсткого бетонного стержня, стиснутого осьовою силою F, прикладеною в точці А, необхідно:

1.Визначити геометричні характеристики поперечного перерізу відносно головних центральних осей.

2.Визначити положення нейтральної лінії і знайти найбільше напружені точки перерізу.

3.З умов міцності визначити допустиме значення стискаючої сили F

при [σ+] =0,8 МПа, [σ–]=8 МПа.

4.Обчислити нормальні напруження в характерних точках зовнішнього контуру і побудувати епюру напружень в аксонометрії.

5.Побудувати ядро перерізу.

160

ЗАДАЧА 3. Для ламаного стержня кільцевого поперечного перерізу, розташованого в горизонтальній площині і навантаженого у вертикальній площіні (кути в точках А та B прямі), необхідно:

1.Побудувати в аксонометрії епюри згинальних та крутних моментів.

2.У небезпечному перерізі визначити еквівалентний момент за IV-ю теорією міцності.

3.З умови міцності визначити зовнішній і внутрішній діаметри поперечного перерізу при [σ]=80 МПа.

4.Обчислити в небезпечному перерізі еквівалентне напруження.

ЗАДАЧА 4. Визначити розміри поперечного перерізу сталевого стиснутого стержня й обчислити коефіцієнт запасу стійкості при

[σ]=160 МПа.

ЗАДАЧА 5. Для вала постійного круглого поперечного перерізу, що обертається зі швидкістю n об./хв, з одним насадженим головним шківом діаметром D1B ,B через який передається потужність K кВт, і одним або двома відомими шківами однакового діаметра (D2B B = D3B ),B необхідно:

1.Визначити моменти, прикладені до кожного шківа, побудувати епюру крутних моментів.

2.Визначити натяг гілок ремінних передач і сили, що згинають вал у горизонтальній і вертикальній площинах.

3.Побудувати епюри згинальних моментів від сил, що діють у горизонтальній і вертикальній площинах, а також епюру сумарних згинальних моментів.

4.У небезпечному перерізі визначити еквівалентний момент за IV-ю теорією міцності й обчислити діаметр вала, округливши його до найближчого стандартного розміру (ГОСТ 6636-69).

5.Визначити фактичний коефіцієнт запасу міцності при втомленості і порівняти його з нормативним [n].

6.Накреслити у масштабі вал з указанням розмірів і прийнятих радіусів закруглень.

Типи концентраторів напружень для задачі 5 наведені на рис. 6.21.

	1. Галтель	2. Напівкругла кільц. канавка
D=d+12мм; r=8мм		r	t
	r
D	d	D	d
3. Наскрізний отвір		4. Шпонкова канавка
	d0
	d		M
	Рис. 6.21
		161

1	B	A	10	B	A
		F			F

2	A	F	B	11
	/2		3/2

3	A	B	12
	F

B A

F

A B

F

4	B A	13	A	B
	F		F

5	A	B
	F

6	B	A
		F

14	B		A
			F
	3/2	/2
15	B		A
			F

7		A	B	16		A	B
		F/2				F
	3/2
8	B		A	17		A	B
	a/2	3/2 a	F			F
9	A	B		18	A	B
	F				F

		b
F		h
		F
Варіант		F	h
	м	kH	b

1	0,5	20	1,2
2	0,6	18	1,4
3	0,7	15	1,5
4	0,8	12	1,6
5	0,9	10	1,8
6	1	8	2
7	0,5	18	1,5
8	0,6	16	1,6
9	0,7	14	1,8
10	0,8	11	2
11	0,9	9	1,2
12	1	7	1,4

13 0,5 17 1,8

14 0,6 15 2

15 0,7 12 1,2

16 0,8 10 1,4

17	0,9	8	1,5
18	1	15 1,6

Рис. 6.22 – Дані для розрахунку (робота № 6, задача 1)

162

1	7	13
	A	A
		A

2	A	8	14
		A	A

3	9	15
	A	A
	A

4	10		16
	A	A
			A
5	11		17
	A
		A	A

6

12

18

A

A	A

	Варіант		b
		см	см
	1	24	20
	2	28	24
	3	20	18
	4	25	20
	5	28	25
	6	20	24
	7	25	30
	8	30	24
	9	24	18
	10	30	28
	11	20	25
	12	25	24
	13	24	28
	14	28	30
	15	20	28
	16	30	35
	17	25	28
	18	24	25

Рис. 6.23 – Дані для розрахунку (робота № 6, задача 2)

163

1			7		13	F
			F	A	q		B
			q			A
	q	F
A	B		B

2		8	14	q
		q
A	B			B
F q	A	B	A
		F		F
3		9	15

		B	B
	A		/2 F
		q
	q
	F		A
	4		10

	A		A	q
	F			B
	q
5		F	11
q	A		A	B
		q

B /2	F	F
	F
6		12
	B
A q		A B
		q

q

A B

F 16

q

A B

	F
	17
	F
	q
A	B
F	18
	q	B
	F
	A

= dD d

D

Варіант	м	q	F
		м	kH
		kH
1	1,4	6	12	0,5
2	1,5	10	8	0,6
3	1	12	15	0,5
4	1,2	1	9	0,6
5	1,4	8	10	0,7
6	1,5	6	12	0,5
7	1	15	10	0,6
8	1,2	12	9	0,7
9	1,4	10	8	0,5
10	1,5	8	10	0,6
11	1	14	8	0,7
12	1,2	9	15	0,5
13	1,4	6	10	0,6
14	1,6	5	15	0,7
15	1	9	12	0,5
16	1,2	8	12	0,6
17	1,4	9	10	0,7
18	1,6	6	12	0,5

Рис. 6.24 – Дані для розрахунку (робота № 6, задача 3)

164

1 F

7 F

2 F

8 F

3 F

9 F

4 F

10 F

5 F

11 F

6 F

12 F

13 F

14F

15F

16F

17 F

18F

	Варіант	F
		kH	м

1 1500 2.7

2	1300	2.8
3	1000	3.2
4	850	3.6
5	800	4
6	1600	2.5
7	1250	3
8	1000	3.5
9	700	4.2
10 1400		2.7
11 1350		2.8
12 1100		3.2
13	950	3.6
14	750	4
15 1700		2.5
16	600	4.2
17 1200		3
18	900	3.5

Рис. 6.25 – Дані для розрахунку (робота № 6, задача 4)

165

D2 D1 D3

1

D1 D2 D3

2

3

4

D1

D2

D2

D1

D3

11

D3

12

D1	D2	D3
5		13
D2	D1	D3
6		14

D1	D2		D3
7			15
	D1	D2	D3
8			16

D2	D1	D3
9		17
D1	D2	D3
10		18

t3	y	2t3
		D3

D2

t2

z

2t2

	D1
t1	2t1

D2 D3 D1

D1 D2

D1	D2
D2	D1
D1	D2

D1	D2
D1	D2
D2	D1

Рис. 6.26 – Дані для розрахунку (робота № 6, задача 5)

166