8.5. Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення

Нехай генеральна сукупність випадкової величини розподілена нормально. Треба оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхиленняза виправленим середнім квадратичним відхиленням. Для цього знайдемо довірчий інтервал, що покриває невідомий параметрз надійністю. По суті, ця задача повторює попередній пункт, але зараз ми трохи змінимо позначення для спрощення запису результату.

Вираз для довірчої ймовірності має вигляд , де– абсолютна похибка оцінювання. Нерівністьабо рівносильну йому нерівністьперетворимо до виду. Позначимоі, оскільки абсолютну похибку оцінювання ми вибираємо достатньо малою, можна вважати, що. Перепишемо нерівність у вигляді, домножимо на, отримаємо. З попереднього пункту відомо, що випадкова величинамає розподіл Пірсона ізступенями свободи. Тому зміннуможна виразити через значення критичних точокірозподілуі записати ці значення в таблицю (у застосуваннях значення параметраприведені в спеціальних статистичних таблицях). Вичисливши по вибірці значенняі знайшовши за таблицею, отримаємо шуканий довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення, покриваючий параметріз заданою надійністю:

Зауваження. У випадках, коли оцінюється математичне сподівання при невідомій дисперсії або дисперсія при невідомому математичному сподіванні, довірчі інтервали, що виходять при цьому, виявляються довше за тих, що отримані, коли, відповідно, дисперсія або математичне сподівання були відомі. Ця обставина пояснюється тим, що наявність додаткової інформації дозволяє звузити межі, в які можна укласти оцінюваний параметр при заданій надійності.

Приклад 6. В умовах прикладу 3 знайти довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення з надійністю .

Розв’язання. Об'єм вибірки , вибіркове середнє, вибіркова дисперсія, виправлена вибіркова дисперсія , виправлене вибірковесереднє квадратичне відхилення .