СППР

89

формализации, что ведет к трудности понимания знаний и снижению производительности их обработки. Кроме того, логика предикатов, с точки зрения компьютерной реализации, проигрывает другим моделям, например, фреймам из-за представления отношений объектов предикатами, в следствие чего теряются все преимущества структурного представления знаний.

1.8.Методы обработ ки исходных данных и принятия решений

вСППР в условиях неопределенности

1.8.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Вбольшинстве практических случаев при разработке СППР мы имеем дело с неполной и неточной информацией, что вообще характерно для экспертной информации.

Существует множество источников неопределенности, HO в большинстве случаев их можно разделить на две категории: недостаточно полное знание предметной области и недостаточная информация о конкретной ситуации [53].

Классификация основных видов неопределенности приведены на рис. U l [54].

Рис. 1.21 Основные виды неопределенности

90

Традиционно для решения задач в условиях неопределенности применялись вероятностно-статистические методы. Однако использование этих методов при решении практических задач ограничивается следующими обстоятельствами:

-необходимостью учета факторов неопределенности, имеющих не статическую природу (субъективные оценки, лингвистическая неопределенность и т.д.);

-невозможностью получения вероятностно-статистических данных о складывающихся в сложных организационно-технических системах

ситуациях, особенно при их проектировании; - необходимостью учета большого объема разнородной и

противоречивой информации, приводящей к сложнопреодолимым математическим трудностям при формализации и решении задач;

- психологическим неприятием ЛПР подсказок и решений, полученных только на основе вероятностно-статистических методов;

Неучет этих ограничений приводит к неадекватным, неприемлемым решениям. Необходимым условием, позволяющим получить эффективные решения с помощью СППР, является всесторонний учет неопределенностей при обработке информации и принятии решения. Современным математическим аппаратом, позволяющим учесть неопределенность экспертной информации является теория нечетких множеств [15]. Конкретное содержание математической модели на основе применения этой теории зависит от класса задач, решаемых СППР.

Рассмотрим основные понятия теории нечетких множеств, их применение для обработки экспертной информации, а также методы принятия решений при нечеткой исходной информации для наиболее типичных задач, решаемых СППР.

1.8.1.1. Нечеткие множества: определение, свойства, операции над нечеткими множествами. Данный раздел написан по материалам работ [55-57], обобщение которых проведено в работе [58].

Определение нечеткого множества. Пусть X -{х} - универсальное множество, т.е. полное множество, охватывающее всю проблемную область.

Определение 1. Нечеткое множество A c 1X представляет собой набор пар {(χ. μΑ(χ))), где X Є X и μ* :Х -»[0,1] - функция принадлежности, которая представляет собой некоторую субъективную меру соответствия элемента нечеткому множеству. μ Α (*) может принимать значения от нуля, который обозначает абсолютную непринадлежность, до единицы, которая, наоборот, говорит об абсолютной принадлежности элемента X нечеткому множеству А.

91

Если нечеткое множество А определено на конечном универсальном

множестве		X =		то его	удобно	обозначать			следующим
образом:
A = μ Α(χι) / χ ι +			μ Λ(X 2 ) I X 2 + ...+		μ Λ(χη)Ιχ„ = £			μ Λ(χι) Ι χ ι ^
							/=1
где	μ Α (Xi)/Xi -			пара «функция принадлежноста/элемент»,
называемая синглтоном, а « + » - обозначает совокупность пар.
Пример		1.	Пусть	Аг = {1,2,...,10}. Тогда			нечеткое		множество
«большие числа» может быть представлено следующим образом:
	А = «большие числа» = 0.2/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 1/10.
Это	следует понимать следующим образом:						9 и	10 с абсолютной
уверенностью отнести к				«большим числам», 8 -		есть «большое число» CO

степенью 0.8 и т.д. 1 ,2 ,..., 5 абсолютно не являются «большими числами». На.практике удобно использовать кусочно-линейную аппроксимацию функции принадлежности нечеткого множества, как это показано на

рис. 1.22, так как требуется только два зн ач ен и я -аи а .

Рис. 1.22 Функция принадлежности нечеткого множества
В случае непрерывного множества X используется	следующее
обозначение:
A = χ \ μ Α{χ)Ιχ	(1.17)

Знак ί в этих формулах обозначает совокупность пар μ Λ(χ)/χ.

Свойства нечетких множеств

1. Нечеткое множество A c X пустое, т.е. A= 0 , если //'V-O=O,

V xe X .

92
2.	Нечеткие множества А	и	В ςι X	эквивалентны, т.е. A = B ,
если
	μ Α(χ) =	MB( x ) , V x e		X .
3.	Нечеткое множество A c X		является	подмножеством нечеткого
множества В с X г т.е. A Q В , если			μ Α(χ)Ζ	μ Β(х), VX e X .

Пример2. Пусть Х - { 1 , 2,3},

А= 0.3/1 + 0.5/2 + 1/3,

В« 0.4/1+0.6/2+1/3.

Тогда .4 с 5 .

Кардинальное число (мощность) нечеткого множества

A = μ Α(χί) / χ ί + μ Α(х2) IX2 +...+ μ Α(χη) ί χ η = Σ » =I

находится следующим образом:

c a r d = |л|= Σ ИЛ(*,)

(1 18)

і =I

Пример 3. Если X ss {1, 2,3} и А - 0.1/1 + 0.4/2 + 0.7/3 + 1/4, то card

A = I X

Операции над нечеткими множествами.

1.	Дополнением нечеткого	множества А	называется нечеткое
множество —і А, функция принадлежности которого равна
	μ~'Λ(χ) = \-	μ Α(χ), ' І х & Х .		(1.19)
2.	Пересечением двух нечетких множеств		A u B c X	называется
нечеткое множество АГ\В, функция принадлежности которого равна
	μ Αίν(χ)^ μ Λ(χ)Λμ в( х ) У х е Х ,			(1-20)
где Л -	знак операции минимума.		А и B c X
3.	Объединением двух нечетких множеств			называется
нечеткое множество AUB , функция принадлежности которого равна
		Λ(χ)νμ *(*),Vxє J f ,		(1.21)
где V -	знак операции максимума.

Пример4. Пусть Ar = {1,2,...,10},

А = «малые числа» = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.5/4 + 03/5 + 0.1/6; В = «большие числа» = 0.1/5 + 0.2/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 1/10;

93

Тогда

—і A = «HE малые числа» = 0.2/3 + 0.5/4 + 0.7/5 + 0.9/6 + 1/7+1/8+1/9+1/10,

AfiB= «малые числа» И «большие числа» = 0,1/5 + 0,1/6,

AUB= «малые числа» ИЛИ «большие числа» = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + + 0,5/4 + 0,3/5 + 0,2/6 + 0,5/7 + 0,8/8 + 1/9 + 1/10.

Приведенные определения операций над нечеткими множествами являются наиболее распространенными.

Определение 2. а-срезом (множеством уровня	а ) нечеткого
множества A q X , называется (четкое) множество	такое, что
	( 1.22)
Пример 5. Если A = 1/1 + 0.8/2+0.5/3+0.1/4, то	Λ ι =0.2,3,4},

Λ,.5 ={1,2,3},/*= О}·

Принцип обобщения [61] дает формальный аппарат для переноса операций (арифметических, алгебраических) с обычных множеств на

нечеткие.	представляет собой отображение f : X - > Y и А
Пусть функция /
есть нечеткое множество в		I .	B соответствии с принципом обобщения,
функция отображает	нечеткое		множество А	в	нечеткое	множество
B ^ Y такое, что
		sup μ Λ(χ), Г 1( у ) * 0 ;
м в ( у ) =		\ у = / ( х ) ;				(1.23)
		0,	Г !( у ) = 0 ;
Пример б. Пусть ^= (1 ,2 ,3 ,4 } , F={1,2,3,4,5,6} и						*+2. Если
теперь А = 0.1/1 + 0.2/2 + 0.7/3 + 1/4, то В = 0.1/3 + 0.2/4 + 0.7/5 + 1/6.
1.8.1.2. Нечеткие отношения.
ПустьХ = {л,,л2 ,...,л*}		И Y={y[ty2....JU -
Определение 3.	Нечетким отношением			R	называется нечеткое
множество, определенное на декартовом произведении X x Y ,						которому
соответствует функция принадлежности μ ^ \ Χχ Υ					[0,1]. Здесь μ ^ (а:,у)
отражает силу зависимости между х е Х и у є У .

Пример 7. Пусть X = { конь, осел } и Y = { мул, корова }. Нечеткое отношение «подобный» может быть определено следующим образом:

94

R = «подобный» = 0.8/(конь, мул) + 0.4/(конь, корова) + + 0.9/(осел, мул) + 0.5/(осел, корова),

т.е. конь похож на мула со степенью 0.8, конь похож на корову со степенью 0.4

и Т.Д.	Rcz X x Y и	5 с Y x Z ,	то max-min
Определение 4. Если
композицией называется нечеткое множество		R°S, определенное на
X x Z , функция принадлежности которого имеет вид
/Zlios(X5Z) = SUp	1ил (х, у) A iUs Os z))		(1.24)
yeY

Максиминная композиция позволяет ответить на вопрос, какое нечеткое множество в Y следует поставить в соответствие нечеткому множеству Α ς . X , если известно, что нечеткое множество B q Y соответствует нечеткому множеству A q X . Операция нахождения такого соответствия называется нечетким логическим выводом и выполняется по следующей формуле:

B = А о й = A

(1.25)

где R - нечеткое отношение:

R = A x B = - Z I ,

H w f r

<126>

о -max-min композиция, в соответствии с которой

B =	Σ _ ν Jtiii (¾)л /i*(*,ty)) I Yj '	0-27)
M	»'-1. 1

A, A q X , В,B q Y .

1.8.1.3. Нечеткие числа.

Введенный принцип обобщения служит дня переноса четких отношений в нечеткие. Например, его можно применить для определения нечепкой арифметики.

Определение 5. Нечеткое число это нечеткое множество А , определенное на множестве действительных чисел 5R, если его функция принадлежности нормальна и выпукла, т. е.

s u p U a (X) = I, Х < у й г = > μ Α{ γ ) > τ α ϊ η { μ Λ(χ), μ Α(ζ)).

95

Примеры нечетких чисел: «около 5», «чуть больше 7». В соответствии с принципом обобщения, арифметические операции над нечеткими числами имеют вид:

К сожалению, использование принципа обобщения для определения арифметических операций над нечеткими числами в общем довольно неэффективно. Поэтому часто предполагается, что нечеткие числа представляются в Ζ,Λ-форме, что соответствует описанию левой (left) и прабой (right) частей функции.

Нечеткое число А представляется в Lft-форме, если

(1.28)

в) L монотонно убывает на промежутке [0, + °° ].				а - отклонение
Здесь		т -	среднее значение нечеткого числа А,
слева,	β -	отклонение справа.
Если		а = β = 0, то нечеткое число А переходит в четкое число т.
Таким образом, jLR-форму нечеткого числа А можно представил, в
виде	тройки		А=(тл, а А, β Α). Арифметические	операции над

нечеткими числами можно определить через операции над соответствующими им тройками

A+ (тА, а А, рА)+ (тв , а в , β Β) =

(1.29)

= (тл + ηιΒ,αΑ + αΒ,β Α+ β Β)

96

(1.30)

(1.31)

На практике L-R-представление упрощается за счет применения линейных функций, что приводит к треугольным нечетким числам (рис. 1.23, а) которые имеют функцию принадлежности вида

(1.32)

Кроме того, получили распространение трапециевидные формы функций принадлежности (рис. 1.23, б), которые имеют функции принадлежности вида

О)

Рис. 1.23 Треугольная и трапециевидная форма функций принадлежности

1.8.1.4 Нечеткая и лингвистическая логики.

Данный раздел написан в соответствии с работой [53]. Детальное изложение применений нечеткой логики в конкретных практических задачах можно найти в [50,60 и др.].

97

Нечетким логическим выражением называется формула, в состав которой входят нечеткие предикаты. Нечетким предикатом назовем

отображение Pf : X ” —>-[0,	1],	где	X= \х),	п - любое натуральное число,
принадлежащее отрезку	[0,	1].	Число,	которое предикат ставит в

соответствие конкретному набору (Xiri ,Xk i,...,xkJ , где Ici є ї~ п , будем

называть степенью принадлежности описываемого данным набором высказывания к множеству истинных высказываний или коротко - степенью истинности: Интерпретация степени истинности, как и для функции принадлежности, может быть следующей: степень истинности - это вероятность того, что лицо, принимающее решение (ЛПР) назовет высказывание истинным.

Нечеткие логические выражения (или нечеткие формулы) отличаются от обычных наличием в их формулировках лингвистических и нечетких переменных, а также и нечетких отношений (предикатов).

Приведем примеры.

1. Нечеткий предикат примерного равенства А В (х,у): х я у , где

Х,у е R 1.

2.Нечеткий предикат порядка GT(CyH) :С > H , где С, H -нечеткие

числа.

Пусть μ ι н μ 2 - степени истинности высказываний P f и р [ (в

которые превращаются нечеткие предикаты ЦF и PiF после подстановки

вместо переменных (Xjc^ - Xk^) элементов множества X ). Тогда степень

истинности сложного высказывания, образованного из ij F и ZjF с

помощью операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, может быть определена следующим образом:

V P / ) = © ( //( ,/I 2 );	(1.34)
μ{ΡχΡ Λ Ρ[ ) = ®(μλ,μ ι )·,	(1.35)
μ(\ΡχΡ) = \ - μ.	(1.36)

Здесь операции Θ и ® соответствуют операциям объединения и пересечения нечетких множеств. При минимаксной интерпретации функции принадлежности

Θ (μι,μ2) = m a x {μ^μ2},

(1.37)

98

®(Мх,Мг) =тт {μί,μ2}·

(138)

Нечеткой называется логика, в которой степень истинности высказываний определяется выражениями (1.34)-(1.38).

Степень истинности более сложных высказываний можно определить, последовательно сворачивая их с учетом старшинства операций и применяя формулы (1.34) - (1.38). Задание нечетких предикатов производится путем специального опроса ЛПР или с помощью нечетких алгоритмов. В рамках нечеткой логики обобщен известный метод резолюций.

Рассмотрим условный нечеткий оператор общего вида

если У то Ф иначе Е,

(1-39)

где У - некоторое нечеткое логическое выражение (условие); Ф и E - группы нечетких операторов (в частости, в эти группы могут входить и обычные четкие операторы). Результат выполнения условного оператора (1.39) определим выражением

У (если У то Ф иначе E)= { μ γ Ι Υ ( Ф ), (I - / іу )/К (Е )},(1.40)

где Υ(ξ) - результат выполнения оператора ξ; μ ν - степень истинности условия У.

Таким образом, результатом выполнения условного нечеткого оператора является нечеткое множество результатов выполнения соответствующих групп нечетких операторов. Содержательно определение (1.40) означает, что начинают выполняться обе группы нечетких операторов Ф и Е, однако каждая группа помечается своей меткой - степенью истинности.

При необходимости однозначного определения группы операторов можно воспользоваться двумя способами.

1.Задать порог степени истинности / q є (0, 1). Вычислить μ ν .

Тогда

У (если У то Ф иначе Е) =	ЄСЯИ Му ~ / о ’	(1.41)
	[F(E), если Му<Го-

Здесь следует обратить внимание на значение = 0,5. Оно относится

к случаю, когда переход к выполнению группы нечетких операторов Ф осуществляется, если условие У более истинно, чем ложно. Увеличение Yq свыше 0,5 означает повышение требований к уровню определенности заключения об истинности У.