СППР

		129
μ β(α*) = TnaxmiBMc (а,)		(1.100)
j=I,w і=1,л '	J

Коэффициенты относительной важности CXj находятся в соответствии с методикой, описанной в разделе 1.8.2.1.

Пусть имеется два варианта решения (аи а2). Варианты оцениваются по тем же требованиям: С\, C2, C3, С4. Важность критериев определена:

а , = 0,15; OL2= 0,2; а}= 0,25; а 4= 0,4.

Нечеткие множества, характеризирующие альтернативные варианты, имеют вид

C 1- {0,9/а,; OJIa2]-,

C2 = {0,8/йь0,9/¾};

C3= {0,7/а,; 0,8/¾};

C4= {0,8/аь 0,6/я2}.

Модифицируем множества

С ,0’15= {0,9°'15/аь 0,70,15/¾} = {0,984/а0,984/¾} C20'2= {0,8од/а,; 0,90^2Ia2) = {0,956Iai; 0,979Ia2) C3025= {0,7025Iai; 0,80-25/¾} = {0,915/a,; 0,946/¾} C40'*- {0,80,4/¾; 0,60,4/¾} = {0,916/а,; 0,815/¾}

В соответствии с (1.101) получим множество/?

D - {0,916/а,; 0,815/а2}

Максимальное значение имеет альтернатива о, - ее и выбираем в качестве варианта решения.

г). Выбор вариантарешения по аддитивному критерию.

Пусть необходимо упорядочить т вариантов решения а,, а2, ат; оцениваемых по «п» критериям Cu C2, ..., Cn. Соответствующую оценку обозначим Ri/, Ί =i,m;j=i,п. Относительная важность каждого критерия

п

задается коэффициентом Wj Yi Wj =I . В этом случае взвешенная оценка і-го

м

варианта вычисляется по формуле

R. = t WJ R.j	(1-102)
/-I

Пусть оценки вариантов по критериям и коэффициенты относительной важности задаются функциями принадлежности соответственно MgJru) a Mw(Wj).

Так как в данном случае Rij и Wj являются нечеткими числами, Rj

130

определяется в соответствии с формулой (1.102) на основе принципа обобщения [88]. Бинарную операцию * (в данном случае это операция сложения или умножения) можно обобщить на случай нечетких чисел (например, X и Y), задаваемых функциями принадлежности μχ(х) и Цу(у) соответственно. Результат обобщенной операции * - нечеткое число Ζ, определяемое функцией принадлежности

/U2(z) = sup т іп ^ (χ), μ γ(у))	(1.109)
г=x*y

Рассмотрим случай вычисления Rh когда R9 и Wj заданы функциями принадлежности треугольного типа (рис. 1.29).

Рис. 1.29 Границы и вершина нечеткого числа

Определим левую Jt1 и правую ха границы нечеткого числа X, а также его вершину χ*:

:μ(χΙ) = 0 ://(* '- δ) = 0·,μ(χ' + δ) * O;

V S : μ{χπ ) = O;μ{χ" - S ) * O;μ(χ“ +δ) = O;μ(χ' ) = I

Доказано [88], что нечеткое число Z = X*Y также определяется функцией принадлежности треугольного вида, а границы я вершины находятся следующим образом:

Z1=Jt1'I* ; Zn=Aa 4 Th; Z*=А** Y

(1.104)

После того, і»к взвешенные оценки Ri получены, необходимо сравнить варианты на их основе. Для этого вводится нечеткое множество I, заданное на множестве индексов вариантов {1, 2, ..., т}. Значение соответствующей функции принадлежности интерпретируется как характеристика степени того, насколько вариант а, является лучшим. Значением μι(/) выполняется по формуле

M1(I)=	sup	тсап Mkj(Tj)	(1.105)
	г, ,г2 ,...,г* :r,	/ = M

Рассмотрим пример сравнения двух вариантов по двум заданным критериям, имеющим оценки, приведенные в табл. 1.9.

131

Т а б л и ц а 1.9

Критериальные оценки для 2-х альтернатив (вариантов)

Первый критерий определен как ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ, второй - ДОВОЛЬНО ВАЖНЫЙ. Термы заданы функциями принадлежности, представленными на рис. 1.30,131.

Рис. 1.30 Функции принадлежности оценок	Рис. 1.31 Функции принадлежности
для двух вариантов	коэффициентов важности Wt Wj

Рис. 1.32 Функции принадлежности взвешенных оценок Ri и Лг

Полученные функции принадлежности изображены на рис.1.32. Тогда в соответствии с формулой (6.6.17) μι (1)=1; μι (2)=0,76. Следовательно наилучшим является второй вариант, а степень того, что второй вариант лучше равна 0,76.

132

д)Выборвариантарешениялексикографическимметодом

Применение этого метода при нечеткой информации о критериях качества сводится к следующим операциям [85].

1°. Упорядочить критерии по важности

с, > Сг> . . . > > . . . > Cn', j = 1,и

2°. С согласия ЛПР для каждого критерия назначается величина допустимой уступки ACj, у = Vn; в пределах которой рассматриваемые варианты решений считаются “практически равноценными”.

3°. Для первого критерия С| формируется множество “практически равноценных” вариантов, удовлетворяющих условию - множество тс,.

maxMcl (aj ) - McAat) * AC,

4°. Если пгмножество содержит ровно один вариант, то он и считается наилучшим. Если ^-множество содержит более одной альтернативы, то переходим к рассмотрению всех вариантов множества Jt1 по критерию C1-

5°. Для второго критерия Ci формируется п2-множество вариантов из множества Л], удовлетворяющих условию

VMXftcj(aJ)-Mc,(Ot)^AC2
**I	.
J	ter,
	*»>

6°. Если Jt2- множество содержит ровно один вариант, то он и считается наилучшим; если более одного - рассматриваем эта варианты по критерию C3 и т.д.

7 . Если все критерии последовательно пересмотрены и в результате

получаем	π-множество	π - η χхяг2	, содержащее		более одной
альтернативы, то возможно применитьдва подхода:
- уменьшить величину допустимой уступки				Cj, начиная с первого по
важности критерия и повторить все шаги решения;
- представить ЛПР окончательный выбор лучшего варианта.
В	заключение	рассмотрим	пример	выбора	, варианта

лексикографическим методом.

Пусть в результате экспертной оценки получили следующие данные, характеризующие степень соответствия решения заданным критериям:

C1 = {0,9/а,;0^»/а2;0,8/а3;0,6/а4;0,7/as}

C1= {0,8/a ,;0,9/аг;0,7/а,;0,8/а<;0,9/в5}

C3 = {0 ,5 /^0 ,7 /^0 ,8/а};0,9/а4;0,8/а5}

C4 = {0,6/а,;0,7Ja2;0,6/а, ;0,7/а, ;0,4/а, }

133

1°. Критерии упорядочены по важности следующим образом

Cj >С^ >С}

2°. Зададимся величиной допустимой уступки

AC, ~0,1 для всех і = 1,4.

3°. Формируем множество π, по первому критерию. При максимальном значении Ci = 0,9 и ДС| = 0,1 в это множество входят варианты H1= {аиаь аъJ.

4°. Из элементов множества πι формируем множество π2 по второму

критерию. При max C2 =0,9	и AC2=0,1 множество K2 = («ь аг\.
5°. Из элементов множества π = π, х π2 формируем множество π3 по
третьему критерию. При	max C3 =0,7 и AC1= ОД это множество
	j£KjHX2

содержит один элемент π3 = α2· Таким образом, наилучшим вариантом является второй вариант

решения.

1.8.3.2. Методырешения задач нечеткойидентификации.

Идентификация объекта - это построение его математической модели, устанавливающей связь между входными и выходными переменными по экспериментальным данным.

Идентификация играет важнейшую роль в автоматическом и ситуационным управлении, технической и медицинской диагностике, распознавании образов, прогнозировании, многофакторном анализе, многокритериальном оценивании и других задачах принятия решений.

В современной теории идентификации для получения математических моделей применяется либо детерминированный; одбо вероятностный (статистический) подход. В первом случае для получения модели используются различного вида уравнения: алгебраические, дифференциальные, интегральные и другие. Этот аппарат наиболее естественно применим к тем объектам, которые описываются законами физики. При вероятностном подходе для получения модели обрабатываются экспериментальные данные, полученные путем проведения либо натурных экспериментов, либо путем статистического моделирования.

Однако, как правило, и в том, и в другом случае математические модели идентификации оказываются весьма сложными в так называемых интеллектуальных задачах, которые традиционно решаются людьми. Человек улавливает закономерности в экспериментальных данных, решает сложнейшие задачи управления и принятия решений, не прибегая к строгим количественным соотношениям.

134

Центральную роль в решении человеком задач идентификации играет два уникальных свойства [55]: обучаемость, т.е. способность последовательно минимизировать отклонение фактического результата деятельности от некоторого желаемого эталона; лингвистичность, т.е. способность выражать на естественном языке знания, которые получены в результате обучения.

Математическим аппаратом, который в отличие от классических методов, приспособлен к учету свойств обучаемвсти и лингвистичности является теория нечетких множеств, имеющая средства формализации естественно-языковых высказываний и логического вывода.

Настоящий раздел базируется на исследованиях, проведенных Λ.Π. Ротштейном, и изложенных им в могографии [58].

Модели объектов строятся путем проектирования и настройки нечетких баз знаний, представляющих собой совокупности лингвистических высказываний типа ЕСЛИ <входы>, ТО <выходы>. Основная идея состоит в том, что настраивая нечеткую базу знаний можно идентифицировать нелинейные зависимости с необходимой точностью.

Для определенности рассмотрим задачу идентификации применительно к объекту с дискретным выходом.

Будем считать известными:

-множество решений D^{du d2, ... dm}, соотвтетствующих выходной переменной у;

-множество входных переменных X=Qcu*2>·■■■,х»)·

-диапазоны количественного изменения каждой входной переменной

-функции принадлежности, позволяющие представлять входные

переменные Xi; i = I, п и выходную переменную у в виде нечетких множеств:

(1.106)

		(1.107)
где μα' ( X i ) - функция	принадлежности значения	входной
переменной X i е [х;> х;] терму o f	еAi; р = I, Ii; г = I, η ; μ**'( d ) -	функция

135

принадлежности значения выходной переменной у е [у, у \ терму-решению

Ii j е D\ j = I, т ;

-матрица знаний [58].

Остановимся более подробно на формировании матрицы знаний.

М ат рицей знаний назовем таблицу, сформированную по таким правилам (табл. 1.10):

Т а б л и ц а 1.10

1. Размерность этой матрицы равна (и+/)	х N, где (п+1) - число
столбцов, а N = к 1+ к 2 + ... + к т - число строк.
2. Первые п столбцов матрицы соответствуют входным переменным
Xfl i = l, л, а (л+/)-ый столбец соответствует	значениям dj выходной

переменной у ( 7 = 1, т) .

3. Каждая строка матрицы представляет некоторую комбинацию значений выходной переменной у . При этом первые к\ строк соответствуют значению выходной переменной y = du вторые к г строк -

значению у = d2, последние кт строк - значению у = dm.

4. Элемент a f , стоящий на пересечении ί-го столбца и Jp-й строки

соответствует лингвистической оценке параметра х,- в строке нечеткой

136

базы знаний с номером Jp. При этом лингвистическая оценка a f выбирается из терм-множества, соответствующего переменной X/, т.е. a fe A h i = l, и, J = I, т , р = 1, k j.

Введенная матрица знаний определяет систему логических высказываний типа «ЕСЛИ-TO, ИНАЧЕ», связывающих значения входных переменных χ, + хпс одним из возможных типов решения:

ЕСЛИ (X1=а{‘) И (х2 = 4 ‘) И ... И (х„ = ^ 1) ИЛИ

(χ, = 4 2) И (X2 = 4 2) И ·■· И ( х„ = aj2) ИЛИ

(X1= а * ') И (JC2 = 4 к' ) И ... И (хп= а!*·) ИЛИ

ТО ^ = ^1, ИНАЧЕ	-
ЕСЛИ (X1= а,21)И (х2	=й21) И ... И (х„ = а21) ИЛИ
(X1= о,22) И (х2	= of2) И ... И (хп= а22) ИЛИ
(х, = Aj2fcj) И (х 2 = O22fcO И ... И (хд = a2fcj) И М
ТО > = rf2, ИНАЧЕ...

ЕСЛИ (X1= аГ ')И (х2	=A2") И ... И (х„ = O f ) ИЛИ
(х, = O f2) И (х2	- a f ) И ... И (хя =<С2) ИЛИ
(X1= df*” ) И (X2 = a j* ·) И ... И (хп=		) ИЛИ
	ТО y =dm,	(1.108)

где dj ( у = L /и) - лингвистическая оценка выходной переменной у,

определяемая из терм-множества D; Ojp - лингвистическая оценка

входной переменной Xi в р - й строке /-ой дизъюнкции,	выбираемая из
соответствующего терм-множестваAi, / = I, п, у = 1, т ,	р = \, kj\ к} -

количество правил, определяющих значение выходной переменной у = dj.

Будем называть подобную систему логических высказываний

нечеткойбазой знаний.

С использованием операций U (ИЛИ) и f| (И) система логических высказываний () может быть переписана в более компактном виде:

Ъ

• y = d j,j = Ь т. .

(1.109)

р*\

На основе описанных выше исходных данных требуется разработать алгоритм принятия решения, позволяющий фиксированному вектору

137

входных переменных X* =(Х|*,Х2,— .·*«). х* ε[χ,·,Χι] поставить в соответствие решение у є D .

Идея метода состоит в использовании нечетких логических уравнений. Эти уравнения получаются на основе матрицы знаний системы логических высказываний (1.108) и позволяют вычислять значения функций принадлежности различных решений при фиксированных значениях выходных переменных объекта. В качестве искомого решения выбирается решение с наибольшим значением функции принадлежности.

Рассмотрим более подробно вопрос, связанный с получением нечетких логических уравнений. Лингвистические оценки а(р переменных X1+ хп, входящих в логические высказывания о решениях dj (1.108) будем рассматривать как нечеткие множества, определенные на универсальных

множествах Ui = [xf	х/],	і =1, n, j = 1, от.
а? /	\	—
Пусть μ \Xj) -		функция принадлежности параметра xf-efxf х<1
нечеткому терму	Ofp,	г = 1, п, j = \, т , p = l, kj; μ 1,(χι,χ2,...,χη) -

зависящая от ηпеременных функция принадлежности вектора входных переменных X =(хих2,...,х„) значению выходной переменной y = dj,

J = Im -

Связь между этими функциями определяется нечеткой базой знаний

(1.108) и может быть представлена в виде следующих уравнений:
μ*' (*ι>*2.... Xn)- μ"'" (*ι)Λ μ0*'( ¾ ) * ...				л μ*" (хп)у
	V μα,> (X 1) A μα'>(X 1) л . .			.л μ 0” (х„) V ...
	...ν μ ^	(X1) л μ0**1(х2) л ...л μ"”*1(хя),
VdlC*i.-K2	=	(*ι) л μ0”(X2) л -л μα"'(х,,) ν
	V μ β' 2 (X i) л μ а? ( х 2) л ... л μ β"! ( х Л) V ...					(1 .1 10 )
	. . . ν μ ^ 1( χ , ) Λ μ 0“ ! (X 2) A - A ^ ( X				fl),
А ,	.	I	_ml	т\
μ ”(Χ|,χ2,...,χΒ) = μ°'			(χ,)Λμ 1 (χ2)Λ...Λμα" (x„)v
	V μ * 1(χ,) л μα”2(χ2) л ...л μβ"' (х„) V ...
	л"*"· . .				(х„),
	...ν μ ·		(Χ|)Λμ 1 (х2)д ...л μ ”

где V - логическое ИЛИ, а-логическое И.

138

Эти нечеткие лошческие уравнения получены из нечеткой базы

знаний (1.108) путем замены лингвистических термов а{р	и dj	на
соответствующие функции принадлежности, а операции IJ	и (“) -	на

операции V и л .

Кратко систему логических уравнений можно записать следующим образом:

Vdj{Х\,X2- - X n) = V	A μ α' ' ( χ , ) ,7 =1,т.
р=!	1*1

В заключение рассмотрим алгоритм идентификации объекта с дискретным выходом. Принятие решения d* е D = {dl,d 2^..,dm}, которое

соответствует вектору		фиксированных значений входных			переменных
X *=	X2, - . , x^j, будем осуществлять в такой последовательности.
1.	Зафиксируем	вектор	значений	входных	переменных

X* = {xi,x .......j£ ).

2.Зададим функции принадлежности нечетких термов, используемых

внечеткой базе знаний (1.108) и определим значения этих функций для

заданных значений входных переменных xt* + х£.

3. Используя логические уравнения (1.110), вычислим многомерные функции принадлежности μ 4 ¾ ¾ ,..,¾ ) вектора X для всех значений d j, j = l, т выходной переменной у . При этом логические операции И

(л) и ИЛИ (v ) над функциями принадлежности заменяются на операции min и max.

μ(α)Λμ(ί>) = ηιίι\[μ(α), μ(ί>)],

μ(α) V μ (b) = π«χ[μ(ά), μ(δ)]

4. Определим значение d*, функция принадлежности которого максимальна:

//^(д(,Л2 ,...,^)=шах( μ ά]{οζ,χ2,...,χη) \ ( \ . η 2 )

j=l, т

Это и будет искомым решением для вектора значений входных переменных X = (jq , X2 ,..., х„)■

Таким образом, предложенный алгоритм использует идею идентификации лингвистического терма по максимуму функции принадлежности, и обобщает эту идею на всю матрицу знаний.