СППР

			119
Основные виды функций принадлежности приведены нарис. 1.27.
Очевидно,	что S — образную функцию	(рис. 1.27	б, в) можно
рассматривать,	как вырожденный случай треугольной функции
(рис. 1.27, а), в	которой один из параметров z ,	или Z2	стремится к

бесконечности. Таким образом, задача состоит в том, чтобы описать переход между любыми двумя формами, представленными на рис. 1.27.

Для решения этой задачи используется аппарат автоморфных функций. Рассмотрим дробно-линейное отображение прямой на себя вида

	Τ .χ - ^ ^ ί ,α δ - β γ Φ 0 .				(1.74)
		γχ+δ
Преобразование	T 1,	обратное	Т,	получается,	если
„ (XQ) + β
уравнениеZ = --- - разрешить относительно ω:
		T-' :ω= ~Sz+P,.			(1.75)
		γζ -а

Таким образом, при параметрическом представлении функций принадлежности задача описания перехода от одного терма t: (zt, z%, ζ3) к другому /: (ω,, ω2, ω3) решается непосредственным подсчетом четырех параметров - коэффициентов дробно-линейного преобразования по формулам [82]

a = Z1Z1(O)1-а>2}+ Z1Z3(O)3-ωί)+ζ2ζ3(ω1 -ω,);
β = ω,ω2ζ,(ζ, ~ζ;)+ω,ω,ζ2(ζ, -ζ,)+ω2ω,ζ,(ζ2-z3);	^
/ = Ζ 2( ϋ ) , - ω , ) + Z 1(O )3 -CO2) + Z 3 ( ( B j - O 1) ;
S = W ^ iz l - ζ2)+ω,03(ζ3-ζί)+ω1ω3(ζ2- ζ3)

Эти же коэффициенты при подстановке в (1-75) определяют обратный переход OTi1 Kt

Рассмотрим теперь переход от терма t треугольной формы к терму i' с 5-образной функцией принадлежности. Для дробно-линейных преобразований этому случаю соответствует переход от одной из крайних заданных точек в положение бесконечно-удаленной точки.

Если Zi = оо (переход от рис. 1.27, а к рис. 1.27, в), то параметры дробно-линейного преобразования

a = Z1(O)2	Z3(ω2- а»,);
β - ω 2ζ3(ω3-ωι) + ω3ζ2(ωι - ώ 2);		(1-77)

γ = ω2- ω3;δ -W1(ω3-ω2)

Если Z 3 = со (переход от рис. 1.27, а к рис. 1.27, б), то

120

Рассмотрим случай, когда функции принадлежности представляются S'-образной или просто наклонной кривой. В этом случае имеет место линейное отображение прямой

L : x - * a x +β ,α Φ ϋ		( 1.79)
Параметры преобразования ()
a	^ У * Г У *	( 1.80)
X 2 - X x	X 2 ~ x I

Обратный переход (у —>jc) осуществляется по формуле

jtsT^+H) (L81)

д). Построение функции принадлежности на основеранговых оценок [SSJ

Данный метод разработан АЛ. Ротштейном и базируется на идее распределения степени принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами.

Будем понимать под рангом элемента xfeX число rs(xi), которое характеризует значимость этого элемента в формировании свойства, которое описывается нечетким термом S. Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности.

Введем также обозначения:

rs { x, ) = η ; Ms (Xi ) = μ , ; ΐ = Un

Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде соотношения:

Mi	Mi	М„	(182)
' I	t I	' н

к которому добавляется условие нормирования

Mi + M 1 +...+ Mn =1

( 1.83)

Используя соотношение ( 1-82) легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степени принадлежности опорного элемента.

Если опорным элементом является элементXi е X e принадлежностью

μι, то

■μχ\...\μ„ — 'М\

Для опорного элементаXi є X с принадлежностью μι, получаем

Л г, Tn

Mi = ~ · Мг, М3= ~		'Mil-IM1= — Mi
rI	rI	rI

Для опорного элементах„ є X с принадлежностью μ„, имеем

121

(1.84)

(1.85)

Mt = — ·Μ„\Μιл..:j = — ·μ„',-',Μ„-ι = —		( 1.86)
Λ,	г„

Учитывая условие нормировки (1.83) из соотношений (1.84)-(1.90) находим:

/ ·		V 1
Mx= ι+ϋ	+ΰ .+„.+£
		і У
		-I
=(-^-+1+½-...+½-
U	гг	h	(1.87)
=(^-+^-+^- + ... + ll
U	г» г.	J

Полученные формулы (1.87) дают возможность вычислять степени принадлежности μ^χ,·) двумя независимыми путями:

1) по абсолютным оценкам уровней rh і = \,п, которые определяются по 9-ти бальной шкале (1 - наименьший ранг, 9 - наибольший ранг).

2) по относительным оценкам рангов — = a«,i,j = l,n, которые

образуют матрицу:

I
'	г.
A=	( 1.88)

Эта матрица обладает следующими свойствами:

122

а) она диагональная, т.е. аи=I і = 1,п;

б) элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью: Cijj=Majl;

в) она транзитивна, т.е. аік-акі, поскольку

Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы А легко определить элементы всех других строк. Если известна г-я строка, т.е. элементы аф k, j = \,п, то произвольный элемент ayнаходиться так

aH^akjIaki-JJ = In.

Поскольку матрица (1.88) может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 - ти бальную шкалу Саати: ав =TiJrj . Эта

шкала приведена ранее, в табл. 1.7.

Таким образом, с помощью полученных формул (1.87), экспертные значения о рангах элементов или их парные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.

Алгоритм построения функции принадлежности включает в себя следующие операции:

1°. Задать лингвистическую переменную; 2°. Определить универсальное множество, на котором задается

лингвистическая переменная;

3°. Задать совокупность нечетких термов {Si, S2, ... , Sm), которые используются для оценки переменной;

4°. Для каждого терма Sj, j = !,тсформировать матрицу (1.88);

5°. Используя формулы (1.87) вычислить элементы функций принадлежности для каждого терма.

Нормирование найденных функций осуществляется путем деления на наибольшие степени принадлежности.

Главным преимуществом метода является то, что в отличие от метода парных сравнений, он не требует решения характеристического уравнения. Полученные соотношения дают возможность вычислять функции принадлежности с использованием ранговых оценок, которые достаточно легко получить при экспертном опросе.

Кроме описанных методов построения функций принадлежности, нашедших наиболее широкое практическое применение, имеется еще

123

значительное число методов, описанных в литературе [82] (метод интервальных оценок, метод семантического дифференциала и т.д.).

При выборе метода необходимо учитывать, как правило, сложность получения экспертной информации, особенно организации и проведения экспертизы, достоверность экспертной информации, трудоемкость алгоритма обработки информации при построении функции принадлежности.

В заключение рассмотрим пример построения функции принадлежности μ(χ(,)=μ(χ,) методом Ротштейна.

Рассмотрим лингвистическую переменную “уровень критерия принятия решения”. Эта лингвистическая переменная определена на

универсальном множестве вариантов принятия решения: х„ / = 1,5. Уровень будем оценивать такими нечеткими термами: H - низкий; С - средний; В - высокий.

Пусть в результате экспертного опроса сформированы матрицы (1.88) для каждого терма. При сравнении вариантов используется табл.1.7.

После обработки этих матриц по формулам (1.37) получим функции принадлежности, которые в нормированном виде приведены на рис. 1.28.

Рис. 1.28 Функции принадлежности нечетких множеств

124

1.8.3. МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

І.8.З.І. Методырешения задач нечеткой оптимизации.

а) Анализметодоврешения задач нечеткой оптимиїацтии.

Принципиальными особенностями решения задачи выбора рационального решения СППР, определяющими ее метод являются:

многокритериальность задачи выбора; не только количественное, но и качественное (нечеткое) описание

показателей качества решений; при нечеткой постановке задачи влияние на выбор метода ее

решения экспертной информации, определяющей предпочтение того или иного показателя.

Рассмотрим указанные особенности решения задачи более подробно. Общая постановка задачи многокритериальной оптимизации имеет

следующий вид [85].
Пусть	X =		- вектор оптимизируемых параметров
некоторой системы S. Некоторое у'-е свойство системы S характеризуется
величиной	j -το	показателя	ql(X)\j = l,m.	Тогда система	в целом
характеризуется		вектором	показателей	(? = |0і>->0/>····> £*|·	Задача

многокритериальной оптимизации сводится к тому, чтобы из множества M3 вариантов системы S выбрать такой вариант (систему S0), который обладает наилучшим значением вектора β . При этом предполагается, что понятие “наилучший вектор Q" предварительно сформулированно математически, т.е. выбран (обоснован) соответствующий критерий предпочтения (отношение предпочтения).

Анализ литературы [85] показывает, что все многочисленные методы решения многокритериальных задач можно свести к трем группам методов:

-метод главного показателя;

-метод результирующего показателя;

-лексикографические методы (методы последовательных уступок). Кратко рассмотрим суть этих методов решения многокритериальных

задач.

Метод главного показателя основан на переводе всех показателей качества, кроме какого-либо одного, называемого главным, в разряд ограничений типа равенств и неравенств. Присвоим главному показателю номер q\(S). Тогда задача сводится к однокритериалвной задаче выбора системы SeMs, обладающей минимальным значением показателя qt(jS) при наличии ограничений типа равенств и неравенств, т.е. имеет вид

	125
Є ? ?ι (5)	(1.89)

при ограничениях

-Qjolj- 2,.·.,/;

?*(■$):£ ?w;* = f+i,	(1.90)
«V (S) ^ r o i'= PH	■·■,«;

Методу главного показателя присущи следующие недостатки:

1. В большинстве случаев нет достаточных оснований для того, чтобы считать, что какой-то один и притом вполне определенный показатель качества является главным, а все остальныевторостепенными.

2. Для показателей качества q^S), q„(S), переводимых в разряд ограничений, достаточно трудно установить их допустимые значения.

Метод результирующего показателя качеств» основан на формировании обобщенного показателя путем интуитивных оценок влияния частных показателей качества qt, qm на результирующее качество выполнения системой ее функций. Оценкитакого влияниядаются группой специалистов - экспертов, имеющих опыт разработки подобных систем.

Наибольшее применение среди результирующих показателей качества получили аддитивный, мультипликативный и минимаксный показатели.

Аддитивный показатель качества представляет собой сумму взвешенных нормированных частных показетепей и имеет вид

(1.91)

где Qj - нормированное значениеj-ro показателя;

Otj - весовой коэффициентj -τοпоказателя, имеющий тем большую величину, чем больше он влияет на качество системы;

Главным недостатком аддитивного показателя является то, что при его применении может происходить взаимная компенсация частных показателей. Это значит, что уменьшение одного из показателей вплоть до нулевого значения может быть компенсировано возрастанием другого показателя. Для ослабления этого недостатка вводятся специальные ограничения на минимальные значения частных показателей, на их веса и другие приемы [85].

Мультипликативный показатель качества образуется путем перемножения частных показателей с учетом их весовых коэффициентов и имеет вид

126

Q = T l l j a j,

(1.92)

J-1

где Qj и CDj имеет тот же смысл, что и в аддитивном показателе.

Наиболее существенное отличие мультипликативного показателя от аддитивного заключается в том, что аддитивный показатель базируется на принципе справедливой абсолютной уступки по отдельным показателям, а мультипликативный - на принципе справедливой относительной уступки [86]. Суть последнего заключается в том, что справедливым считается такой компромисс, когда суммарный уровень относительного снижения одного или нескольких показателей не превышает суммарного уровня относительного увеличенгія Остальных показателей.

Максиминный показатель. В ряде случаев вид результирующей целевой функции достаточно трудно обосновать или применить. В подобных случаях возможным простым путем решения задачи является применение максиминного показателя. Правило выбора оптимальной системы S0в этом случае имеет следующий вид

шах min Jfc(S)....«у (S),-, *■($)},	(1.93)
StGMt IS'/SRI

если весовые коэффициенты частных показателей отсутствуют;.

SeU t }й т '	(S),...,q “J (S),...,qm	(S)},	(1.94)
	*	*

если весовые коэффициенты определены.

Максиминный показатель обеспечивает наилучшее (наибольшее) значение наихудшего (наименьшего) из частных показателей качества.

Лексикографическийметод.

Предположим, что показатели упорядочены по важности, например, qi(S)>q2(S)>...>qm(S).

Суть метода заключается в выделении сначала множества альтернатив с наилучшей оценкой по наиболее важному показателю. Если такая альтернатива единственная, то она считается наилучшей; если их несколько, то из их подмножества выделяются те, которые имеют лучшую оценку по второму показателю и т.д.

Для расширения множества рассматриваемых альтернатив и улучшения качества решения по совокупности показателей может назначаться уступка, в пределах которой альтернативы считаются эквивалентными.

Принципиальной особенностью рассматриваемой задачи выбора решения является преимущественно качественный характер критериев. В связи с этим рассматриваемые методы многокритериальной оптимизации должны формулироваться в нечеткой постановке. В этом случае критерии

127

качества представляют собой функции принадлежности вариантов решения заданному уровню качества.

Как в классической, так и в нечеткой постановке выбор метода решения многокритериальной задачи определяется тем, в каком виде представлена экспертная информация о предпочтении показателей или их важности. Поэтому в заключение этого раздела приведем таблицу, которая позволяет обоснованно выбирать метод нечеткой многокритериальной оптимизации в зависимости от экспертной информации о предпочтении показателей (табл. 1.8 ).

Т а б л и ц а 1.8

Используя рекомендации по выбору метода решения, в дальнейшем рассмотрим ряд конкретных методов и примеров решения задачи многокритериальной оптимизации в нечеткой постановке.

б). Выбор вариантарешения приравной важности требований

Пусть имеется множество из т вариантов решения

Л{^1, Qi, ..., Ап}

Для некоторого требования С (критерия оценки) может быть рассмотрено нечеткое множество

С={мс(а1)/а 1;мс(а1)/аг;...,мс(а„)/ат}	(1.95)
где Ис(а/) € [0,1] - оценка варианта а, по критерию С,	которая

характеризует степень соответствия варианта требованию, определенному

критерием С.	__
Если имеется η требований: Cb C2, ..., Cn у'=I,л, то лучшим считается
вариант, удовлетворяющий и требованию Ct, и C2,		и Cn. Тогда правило

для выбора наилучшего варианта может быть записано в виде пересечения соответствующих множеств:

0 = Схг \ С г п ... г \ € „

(1.96)

Операции пересечения нечеткого множества соответствует операция nun, выполняемая над их функциями принадлежности:

128

MD(.a,) = що Mct(Oj ) J = \,т

(1.97)

В качестве лучшего выбирается вариант а', имеющий наибольшее значение функциипринадлежности

μ р( а ') = тсш M0 (Oj )

(1.98)

Рассмотрим пример выбора варианта решения при равной важности критериев.

Пусть имеется 3 варианта решения. Решения оцениваются по 4 критериям: Cu Сг, C3,С *.

В результате экспертной оценки получили следующие данные, характеризующие степень соответствиярешений критериям:

С\= {0,9/аj; 0,7/(¾ 0,8/аз};

Сг= {0,8/(2);0,9/*¾; 0,6/яз};

Cj= {0,7/fli; 0,8/¾; 0,9/о3};

C4= {0,8/а,; 0,6/а2; 0,7/я3}.

В соответствии с правилом выбора получаем:

D = { min (0,9; 0,8; 0,7; 0,8Iai);

min (0,7; OA 0,8; 0,6Ia2);

min (0,8; 0,6; 0,9; 0,7/а3)}=

= {0,7/αΰ 0,6/аг; 0,6Ia3).

Из правила (1.98) следует, что наилучшим является первый вариант решения

а, = {0,9; 0,8; 0,7; 0,8}.

t)Выборвариантарешенияприразличнойважности требований.

В случае, если критерии С имеют различную важность, каждому из НИХ ПрИПИСЫВаеТСЯ ЧИСЛО OCj > 0 (ЧЄМ Важнее Критерий, TeM бОЛЬШе (Xj) и общее правило выбора принимает вид [82]

D = Ca' п С “! η ...n С “·	(1.99)
а {,>0;/ = 1,и;J] a ,,= I	(1.100)
1 *1

П .« ,п н « очпиаитл * «ЯУПТТИТСЯ ИЗ СООТНОШЄНИЯ