СППР

99

2.Вычислить μ γ . Разыграть равномерную распределенную на

интервале [0,1] случайную величину. Пусть полученное значение есть .

Тогда искомый результат определяется выражением (1.41). Здесь μ -у

рассматривается как вероятность истинности условия У.

В общем случае степень истинности оказывается не числом из отрезка [О, I], а нечетким числом. Логика, в которой степени истинности являются нечеткими числами, называется лингвистической. Заметим, что иногда нечеткую логику называют многозначной, а лингвистическую логику - нечеткой.

Лингвистическая степень истинности (ее значения - нечеткие числа) появляется, в частности, при оценке истинности одних нечетких

высказываний относительно других. Пусть		имеются	высказывания
W: (X есть F) и Q : ( X	есть G), где F n G -	нечеткие	подмножества
U . Тогда истинность	Q относительно ^вычисляется		как степень
соответствия G k F [59]

7 Щ 0 =	U М О / т .
	KtOJl
где
μ τ (τ)=	sup MF(u).

u:r =MG (u)

Одним из элементов лингвистической логики является правило истинностной модификации утверждения, которое заключается в следующем. Пусть известно, что лингвистическая степень истинности

высказывания	Q '■(X ЄСТЬ (?) равна Т.	Тогда справедливо
высказывание W \ { Х есть F^t где
	F = [ } μ ρ ( ϋ ) / η ,	(1.42)
	ueU

«= M g (г)’ Ju F («) = M riJu G («))·

Влингвистической логике вводятся операции над лингвистическими истинностями, определяемые на основе формул (1.34) - (1.38) по принципу обобщения. Операции позволяют вычислять лингвистическую степень истинности составных логических выражений.

Отдельное направление работ в лингвистической логике связано с

изучением построения выводов из нечетких посылок, включающих нечеткие кванторы типа «редко», «очень часто» и т. п. В [60] предложено

100

решение задачи нахождения квантора <рв по известным кванторам р д и

рв в схеме вывода типа modus ponens

рл А\ A = ^ p n B

— ----------

ί - г — .

(1.43)

φβ Β

1.8.1.5.Нечеткие алгоритмы и нечеткие графы.

Под алгоритмом обычно понимается точно определенное правило действий (программа), для которого задано указание, как и в какой последовательности это правило необходимо применять к исходным данным задачи, чтобы получить ее решение.

Характеристиками алгоритма являются:

а) детерминированность (определенность) - однозначность результата процесса при заданных исходных данных;

б) дискретность процесса - расчлененность его на отдельные элементарные акты;

в) массовость - исходные данные для алгоритма можно выбирать из некоторого множества данных, т.е. алгоритм должен обеспечивать решение любой задачи из класса однотипных задач.

Нечеткий алгоритм определяется упорядоченным множеством нечетких инструкций (нечетких высказываний), содержащих понятия, формализуемые нечеткими множествами. Под нечеткой инструкцией понимается инструкция, содержащая нечеткие понятия [61], например, “вырьггь яму глубиной около 2 метров”. Под четкими (машинными) инструкциями понимаются инструкции, не содержащие нечетких понятий, например, “вырыть яму глубиной 2 метра”. Приведем точное определение нечеткого алгоритма [62], обобщающее все другие известные определения. Для формулировки определения введем необходимые обозначения.

Во-первых, вместо интервала [0,1] значений функций принадлежности рассматривается непустое множество W c отношением частичного порядка > и операциями Θ, ® , удовлетворяющими свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, а также содержащее нулевой и единичный элементы: аФ0=а и а<2>\~а,

аФЬ>а.

Во-вторых, рассматриваются инструкции начала и конца действий: инструкция операции и инструкция условия. В этих инструкциях принимается:

Ul, U2, Ш є Z - множество символов меток инструкций; H s J - множество символов операторов или функций;

P є SR - множество символов предикатов или условий.

Введение понятия инструкции позволяет определить понятие

101

программы. Под программой понимается конечное множество инструкций П, содержащее точно одну инструкцию начала, и никакие инструкции из П не имеют одинаковых меток.

В-третьих, определяется понятие W - машина есть функция М, определенная на множестве символов { / } ( J { / | J {о}, для которых

существуют множество входов X, множество состояний памяти M и множество выходов Y, а также выполнены следующие условия:

а) M ( I ) : Х х М —> W (функция входов);

б) VF Є J M (F): M х M —>W (функция операций);

в) V P Є SR л > 0 M (P):M xl,...,n—>W (функцияусловий);

г) M (О ):M у.Y —>W (функция выхода).

Символы О и I обозначают выход и вход.

И, наконец, в-четвертых, программа П вместе с Ж-машиной, которая допускает П (т.е. машина определена на всех операциях F и условиях Р) называется нечеткой программой. Следовательно, последовательность инструкций, составляющих нечеткую программу, определяет нечеткий алгоритм.

Выполнением программы П на W -ыашше, допускающей П,

называется конечная последовательность χ Utfnoml ...			Ujn^y, в которой χ и
у называются	началом	и окончанием выполнения	программы	П и в
которой χ є X;	у в Y;	U1 є Ζ; т є М; і =	U q,U n -	мети»

инструкций соответственно начала и окончания.

Итог выполнения нечеткого алгоритма определим как нечеткое множество результатов

	wO= р M i Zw -	(1.44)
где Wi	- I -й элемент итога (і -й результат);	M - степень истинности
результата	Wi . Элемент итога состоит из	результатов проделанных

операций и значений переменных, образовавшихся к моменту достижения конечной точки нечеткого алгоритма.

В практических целях нечеткий алгоритм удобно представлять в виде ориентированного графа. Каждой дуге ставят в соответствие инструкцию условия и инструкцию операции. Входные, выходные, внутренние переменные в нечетком алгоритме представляются нечеткими множествами. Выполнение алгоритма эквивалентно поиску в графе пути, Связывающего помеченные варианты: начальные и конечные. Напомним Известные определения графа и пути в графе [56].

Определение 6. Графом G называется тройка (V, Н, 2), где V = {v}

102
-	множество элементов, называемых вершинами графа;		U = {и}	-
множество элементов, называемых ребрами графа, причем			v f ] u = 0	; Z
-	функция, ставящая в соответствие каждому ребру n e U упорядоченную
или неупорядоченную пару вершин ( щ ,U2) ; U1 и M2 называются концами
ребра п. Если		Z (ri) — (щ ,U2 ) - упорядоченная пара	(т.е.
(u j,^) * (mj,«2 ) )>		70 ребро U ' называется ориентированным ребром или

дугой, исходящей из вершины Mj и входящей в вершину U2 ; щ

называется началом, M2 -				концом дуги и. Граф,			все	ребра которого
ориентированные, называется ориентированным графом.
Определение		7.	Последовательность		вершин		и	ребер графа		G
MioMlMliu 2..liin iUnUin называется путем [Mio,M1^ ]							из вершины		Uio	в
вершину Uin ,если Z (u k ) = (uik l ,U ik ) для к —1, 2,								и. Вершина Uifj
называется началом, a Ui^				- концом пути, число		п	называется длиной
пути.
Определение 8.			Нечеткая программа-есть четверка ( Χ, Υ, Ζ , Cr), где
X = (Xlj--^Xi)	-	вектор		входа; Y - (У\,.-,УП)		-	вектор программы
(внутренние	переменные);			Z = (zt .....zm)	-	вектор		выхода;	G	-

ориентированный граф. При этом должны соблюдаться условия:

1.Xi , у п , Zm - нечеткие переменные, определяющие нечеткие множества на U, V, W-

2.В графе G существует только одна вершина, называемая начальной (стартовой), которая является конечной вершиной никакой дуги, и существует точно одна вершина, называемая конечной (финальной), которая не является начальной вершиной никакой дуги; любая вершина

графа находится на некотором пути из стартовой S в финальную вершину

Н .

3. В граіфе G любая дуга а, не входящая в H , связана с нечетким отношением Ra ( х , у ) и инструкцией ζ = Z a ( z , X , y ) , где Л -нечеткое

отношение и Z - нечеткая операция типа пересечения, объединения, операция с нечеткими числами и т.д.

Опишем процедуру построения графа выполнения нечеткого алгоритма [56]. Участки нечеткого алгоритма, не содержащие условных нечетких операторов, будем изображать дугами, а условные нечеткие операторы - узлами графа, каждый условный нечеткий оператор образует при выполнении в качестве результата две ветви. Эти ветви представляют собой те участки нечеткого алгоритма, которые получают управление от

103

данного нечеткого оператора. Каждая из двух ветвей, выходящих из узлов, ограничивается либо новым условным оператором, который получит управление от последнего оператора ветви, либо концом алгоритма.

Пример графа выполнения нечеткого алгоритма приведен на рис. 1.24.

Рис. 1.24 Граф выполнения нечеткого алгоритма

Граф выполнения нечеткого алгоритма является выходящим деревом. Корню графа Iq соответствует начальная точка алгоритма,

множеству листьев L = j j	- множество результатов выполнения
нечеткого алгоритма; множеству узлов		V = [Vjc) - множество условных
операторов; множеству дуг	U = {Uj }	- множество участков нечеткого

алгоритма, в которых отсутствуют нечеткие условные операторы. Формирование всего множества результатов выполнения нечеткого

алгоритма требует существенных затрат времени. При ограниченном времени может иметь место неполное выполнение нечеткого алгоритма. В связи с этим возникает задача разработок и таких методов выполнения алгоритма, которые позволили бы последовательно отыскивать решения со все меньшей степенью истинности. Тогда, прекратив по истечении отведенного времени выполнения нечеткого алгоритма, получим нечеткое множество решений с большими степенями истинности.

104

1.8.2. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

1.8.2.1. Методы определения важности Kpumqiuee выбора

решений.

Наиболее полный обзор методов определения коэффициентов важности приведен в литературе [63]. В современной математической теории измерения различаются два вида измерений: в первичных шкалах (наименований, порядка, интервалов и т.д.) и в производных шкалах (функций полезности и частот предпочтений). Среди первичных и производных измерений выделяются два подкласса типов измерений.

1 класс - первичные измерения: IA класс - попарные сравнения; 1Б класс - точечные оценки на шкале; 2 класс - производные измерения: 2А класс - функции ценности; 2Б классчастота предпочтений.

Иерархическая классификация методов определения коэффициентов важности требований в соответствии с выше изложенным подходом приведена на рис. 1.25.

Используя литературу [63], проведем краткий анализ приведенных методов.

1 класс. Методы обработки информации в первичных шкалах. 1А. Методы попарного сравнения..

1А.1. Методы анализа матрицы попарного сравнения. Эта группа методов содержит две подгруппы.

1А.1.1. Методы собственных векторов.

1А.1.1. Методы наименьших квадратов.

1А.1.1. Методы собственных векторов матрицы.

Из этой группы методов наибольшее распространение получили методы Уэя [64], Саати [65] и Korrepa [66].

а) Метод Уэя.

Метод собственных векторов Уэя основывается на данных матрицы попарных сравнений.

Λ - |α 4 β # 6£-1Αί}

где ά¥ - -1 означает превосходство параметра X1 над параметром .

х,,а} = 0 - равноценность Xl Hxj s H atj = 1 - превосходство параметра X i v m x r

Ввиду неудобства работы с отрицательными числами матрицу попарных сравнений можно превратить в неотрицательную матрицу

А* = Щ а , є {0,1,2},

где числа (0,1Д) имеет вышеозначенный смысл.

106

Сложив числа по каждой из строк матрицы, будем иметь числовые характеристики важности параметров, а разделив их на общую сумму - получим весовые коэффициенты параметров:

H

Σ 4

xB=-Tl ,--

(1-45)

ς ς *;

/=I /=I

Недостатком этой формулы является то, что она не учитывает важность «ничейных» (равноценности х, и .*,) и «проигрышных» (когда

Xj превосходитл; ) сравнений.

Если устранить этот недостаток, то весовыми коэффициентами по сути являются координаты собственного вектора, соответствующего максимальному характеристическому числу матрицы попарных сравнений

[65].

б) Метод Саати.

Предположим, что результаты попарного сравнения параметров описываются отношениями их весов, т.е, представимы в виде матрицы А (матрицы Саати).

Справедливо следующее равенство [65],

(А- пЕJiv= 0

(1-46)

где £ - единичная матрица; Л - вектор весов.

Для нахождения вектора весов Л необходимо решить уравнение (1.46). Поскольку ранг матрицы равен 1, то и - единственное собственное число этой матрицы и, следовательно, уравнение имеет ненулевое решение. Более того, это единственное решение, обладающее свойством

Σ	= і.
ί»I

Эго решение и есть искомый вектор относительных весов параметров - вектор Саати.

в) Метод Коггера и Ю.

В этом методе в качестве вектора весов берется решение уравнения

Д-'ТЛ = Л ,

(1.47)

we Т=|Уд,7= а/;приу' = /,

iS = 0 приу < г;

107

Преимуществом метода является то, что он менее трудоемок в вычислительном отношении, чем метод Саати.

А.1.2. Методы наименьших квадратов.

В этом методе весовые коэффициенты определяются путем решения оптимизационного уравнения [67].

(1.48)

Для решения этого уравнения используется итеративный алгоритм Марквардта [67].

I.А.2. Ранговые методы. 1.А.2.1. Методы средних рангов.

Как известно из теории квалиметрии [70], для определения весов применяется выражение

(1.49)

где Rjj - преобразованный ранг параметра i у эксперта j .

Преобразование ^состоит в том, что значение 0-параметр с

наименьшим рангом; I - следующий за ним и т.д. I.А.2.2. Методы трансформированных рангов.

Эта группа методов подразделяется на две подгруппы: -аппроксимации рангов монотонной функцией (1.А.2.2.1); -аппроксимации ранжировки параметров системой линейных

первенств (1А.2.2.2.).

1А.2.2.1. Методы аппроксимации рангов монотонной функцией.

Эта группа методов базируется на различных преобразованиях (трансформации) рангов значениями монотонно убывающих функций целочисленного аргумента

где глранг, присвоенный i -му параметру к-м экспертом;

п ,т - число параметров СЗИ и экспертов соответственно.

108
®) Λ = I r ^	где Л = ^ г "7 ’ ' в Pa6cyte I70]-	О ·52)
Σ *	2 - 1
/.I

1.А.2.2.2. Методы аппроксимации ранжировки линейной системой неравенств.

а) Метод Черчмена-Акофа [71].

В результате попарных сравнений сумм параметров образуется система неравенств, которая определяет многогранник, любая точка

внутри которого	может бьггь		принята	для получения	весовых
коэффициентов.
б) Метод лексикографии Подиновского [22].
Задаются упорядоченные		по	важности	параметры	—f„) и
лексикографическое	отношение	предпочтения		такое, что Х >¥тогда и

только тогда, когда

1Xz2W;- /Ы ;

2) / 2(* )= /, (у ) ; / 2(*)>- Л (у) ;

г) / , W = Л (у > Г = 1Д,.л - 1; / „ (х ) У / „ ( у ) .

Для аддитивной функции

(1-53)

г=|

вкачестве весового коэффициента Л, выбирается любое

положительное число,	остальные весовые коэффициенты	Xr, где
г = п- 1, н- 2,.., 2, 1определяются из неравенств:
1	п	(1.54)
Xr > —	· '^ХІмі ,г = п-1, п—2,..., 2, 1,

M г to'+l

где 0 <Mr <Vr= inf//, (*)- f, (у)

х,уеХ

Mt>Si =rasmf,{x)-mmft{x),xsX

Весовые коэффициенты выбираются произвольно в пределах указанных неравенств.

1Б.1. Балльные методы.

Для балльных оценок вводится эталонная шкала, т-е. такая шкала, в которой мог бы быть выражен данный признак, если бы вдруг обнаружилось, что он является аддитивным или может быть выражен через другие аддитивные признаки.

Пусть задано конечное множество 4 = fa,..,xM}, состоящее из M

вапйантов. гтелставленных KoMHCCMftiSH^WwrnflrvmB