2.1. Найімовірніше число появ випадкової події в схемі Бернуллі

Число m₀ появ події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішою кількістю появи цієї події, якщо цьому числу відповідає найбільша ймовірність.

Число m₀ визначається одним із еквівалентних співвідношень

 , (6)

які випливають з формули (5).

Якщо (n+1)р – ціле число, то таких найімовірніших чисел буде не одне, а два, і одне з них – m₀=(n+1)р, а різниця граничних значень в (6) складає величину: (n+1)р-[(n-1)р+1]=2р-1.

Приклад 2. Знайти найімовірнішу кількість m₀ влучень в серії з 9-ти пострілів, якщо ймовірність успіху при одному пострілі дорівнює 0,7. Обчислить ймовірність цієї події.

 Застосувавши (6), дістанемо: m₀=(n+1)р=(9+1)0,7=7. Отже, найімовірніших чисел буде не одне, а два.

Відповідно до (6) дістанемо подвійну нерівність: (n-1)р+1m₀7  (91)0,7+1m₀7  6,6m₀7. Оскільки, найімовірніша кількість влучень є цілим числом, то m₀ ={6;7}.

Для обчислення ймовірностей Р₉(6), Р₉(7) застосуємо формулу (5):

Р₉(6)=С₉⁶р⁶q³=[9!/(6!3!)]0,7⁶0,3³=840,7⁶0,3³≈0,267; Р₉(7)=С₉⁷р⁷q²=[9!/(7!2!)]0,7⁷0,3²=360,7⁷0,3²≈0,267. 

2.2. Кількість незалежних випробувань, необхідних для настання із заданою імовірністю принаймні однієї події в схемі Бернуллі

Імовірність настання події А принаймні один раз у n випробуваннях знаходимо за формулою Р_n(1≤k≤n)=1-Р_n(0)=1-qⁿ, де q=1-р. Звідси для кількості n випробувань, які необхідно провести, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з’явиться принаймні один раз, маємо:

Р=1-qⁿ  qⁿ=1-Р

. (7)

Приклад 3. За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення принаймні однієї бракованої деталі буде не меншою від 0,952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0,01?

 Застосувавши (7) при Р=0,952 і р=0,01, дістанемо:

nln(1-0.952)/ln(1-0.01)=ln(0,048)/ln(0,99)302.

Отже, за час t=302/2015 годин автомат виготовить принаймні одну браковану деталь із ймовірністю не меншою від 0,952. 

3. Граничні теореми для схеми Бернуллі

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі (5) при великих значеннях n пов’язане з труднощами розрахунку. Щоб уникнути їх, застосовують її асимптотичні вирази, які даються локальною та інтегральною теоремами Муавра – Лапласа. Ці вирази отримуються на основі закону великих чисел (див. далі)

3.1. Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А)=р, подія А відбудеться k разів, подається наближеним виразом:

, де , (8)

де n – достатньо велике число, q=1-р, а функція (х) має назву функції Гаусса. Ця функція парна, (-х)=(х), і табулюється для х0 (див. ДОДАТОК 1) із зростанням х вона швидко спадає, за великих значень х функції Гаусса практично дорівнює 0.

3.2. Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від k₁ до k₂ разів при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, розраховується за наближеним виразом:

, де , (9)

де n – достатньо велике число, q=1-р, а функція Ф(х) має назву функції Лапласа. Ця функція непарна, Ф(–х)=-Ф(х), і табулюється для х0 (див. ДОДАТОК 2), із зростанням х вона монотонно зростає від нульового значення при х=0 до граничного значення 0,5 при х, для значень х4 функція Ф(х) практично не змінюється і наближено дорівнює 0,5.

Відхилення відносної частоти від імовірності. Імовірність того, що при проведенні n незалежних випробувань відхилення відносної частоти події А, m/n, від ймовірності р цієї події за модулем не перевищить числа , визначається за наближеною формулою:

, (10)

де Ф(х) – функціяЛапласа.