3.3. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій за масових випробувань

Точність асимптотичних формул для великих значень n (кількості незалежних випробувань за схемою Бернуллі) знижується з наближенням p до нуля. При n, p0, за умови np=a=const, формула Бернуллі (5) переходить у формулу Пуассона

, (11)

за якою обчислюється ймовірність появи малоймовірної випадкової події k разів в масових випробуваннях (за великого значення n).

Функція табулюється для різних значеньk та а (див. ДОДАТОК 3).

Зауваження 3. В наступних лекціях буде показано, що величина np в повторних незалежних випробуваннях наближено дорівнює середньому арифметичному значенню спостережуваної кількості появ події А за проведення n випробувань.

Зауваження 4. Хоча формулу (11) виводять граничним переходом у формулі Бернуллі (5) за умови np=a=const при переході від однієї серії випробувань до іншої (за збільшення кількості n випробувань в серії ймовірність p появи події А у кожному з випробувань зменшується), за цією формулою зручно обчислювати ймовірність появи події k разів в n випробуваннях також і у випадку звичайної схеми Бернуллі за значень p сталих і малих, та значень n великих.

Приклад 4. Імовірність того, що під час епідемії грипу мешканець міста захворіє на цю хворобу, становить у середньому 0,03%. Яка ймовірність того, що серед навмання вибраних 300 мешканців міста хворих на грип виявиться не більше 3-х осіб?

 За умовою: p=0,003; n=300; 0k3.

Оскільки n велике, а р мале число, то для обчислення ймовірностей застосуємо формулу Пуассона (11).

Обчислимо значення параметра а=np=3000,003=0,9.

Р₃₀₀(0k3)=Р₃₀₀(0)+Р₃₀₀(1)+Р₃₀₀(2)+Р₃₀₀(3)=е^-а(а⁰/0!+а¹/1!+а²/2!+а³/3!)=

=е^-0,9(1+0,9/1+0,9²/2+0,9³/6)≈0,40657(1+0,9+0,405+0,1215)≈0,40657+0,36591+

0,16466+0,04940≈0,9865. Тут: Р₃₀₀(0)≈0,40657; Р₃₀₀(1)≈0,36591; Р₃₀₀(2)≈ 0,16466; Р₃₀₀(3)≈0,04940.

Отже, достатньо високою є ймовірність того, що серед навмання вибраних 300 мешканців міста хворих на грип виявиться не більше 3-х осіб. 

4. Математична модель найпростішого потоку подій

Потоком подій називається послідовність подій, які відбуваються одна за одною у випадкові моменти часу. Наприклад, потік заявок, що надходить до підприємства побутового обслуговування, потік викликів на автоматичній телефонній станції, послідовність відмов елементів деяких схем тощо. Середня кількість подій, які відбуваються за одиницю часу, називається інтенсивністю потоку. Потік називається найпростішим, якщо він має такі властивості:

1) стаціонарність – імовірність того, що за деякий проміжок часу t відбудеться та чи інша кількість подій, пропорційний довжині проміжку і не залежить від початку його відліку – отже, інтенсивність потоку стала;

2) відсутність післядії – імовірність настання кількості k подій на довільному проміжку часу не залежить від того, яка кількість подій відбулась до початку відліку цього проміжку;

3) ординарність – імовірність настання за малий проміжок часу t двох і більше подій суттєво менша від ймовірності того, що відбудеться одна подія.

Якщо потік подій найпростіший, то ймовірність того, що за проміжок часу t настане k подій, визначається формулою:

(12)

де  – інтенсивність потоку.

Формула (12) випливає із формули Пуассона (11), якщо в ній замість середнього значення np=a появи кількості подій в n випробуваннях (див. Зауваження 3) взяти величину t, яка дорівнює середній кількості появ подій в потоці за проміжок часу t. Відповідно функція , яка табулюється для різних значеньk та а (див. ДОДАТОК 3), може бути використана для підрахунку величини у формулі (12), якщо покластиа=t.

Приклад 5. На автоматичну телефонну станцію надходить за 1 годину в середньому 300 викликів. Знайти ймовірність того, що за дану хвилину надійде: 1) рівно 2 виклики; 2) менш як 2 виклики; 3) не менше як 2 виклики.

 Потік викликів найпростіший. Тому для розв’язування задачі застосуємо формулу (12), в якій =300/60=5, t=1, k=2, k<2, k2. Обчислимо відповідні ймовірності.

1. ;

2. ;

3. .