0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Re s

z

=

z

=

z

=

z=−i (z − 1)(z2

+ 1)

((z − 1)(z2 + 1))

′

z=−i

z2

+ 1 + 2z(z − 1)

z=−i

=

−i

=

i − 1

.

−1

+ 1

+ 2(−i)(−i − 1)

Отже,

4

∫

z

dz = 2πi

i−1

= −

π

(1

+ i).

(z

− 1)(z

2

+

1)

4

2

L+

19. Обчисліть

∫

z sin2

1

dz, де L ― коло

z

= 1.

z

L+

міститься всередині даного кола.

Розв’язання. Особлива точка z = 0

Інтеграл обчислюємо за формулою (3.31). Використовуючи формулу зни-

ження степеня sin2 α =

1− cos 2α

і розвинення в ряд для косинуса (див.

2

табл. 3.1), дістанемо розклад функції

f (z) = z sin

2

1

у ряд Лорана в околі

z

точки z = 0:

z

1− cos

2

=

z

2

2

2

4

(−1)n

2

2n

f (z) =

1

− 1−

+

− …+

+ …

=

2

2

z

2! z

4

4!

z

2n

(2n)!

2

z

=

2

−

23

+ …+ (−1)n+`1

22n−1

+ …=

z2!

z2n−1 (2n)!

z3 4!

=

1

−

1

+ …+

(−1)n+`1

22n−1

+ …

z

3z3

z2n−1 (2n)!

Звідси випливає, що

Re s f (z) = 1

i

∫

z sin2

1

dz = 2πi.

z=0

L+

z

Зауваження. Можна не підносити ряд до квадрата, а використати

формулу зниження степеня sin2 α = 1− cos 2α і скористатись відо- 2

мим розкладанням косинуса.

321

20. Обчисліть інтеграл ∫	dz			, де L ― коло		z		= 3 .
	z(z	2	+ 1)
L+

Розв’язання. В області, обмеженій колом z = 3 , лежать три прості по-

люси функції: z1 = 0, z2 = i, z3 = –i. Знайдемо лишки функції стосовно кожного з них. Маємо:

Re s

1

=

1

=

1

= 1,

z=0

z(z2 + 1)

(z(z2 + 1))′

z=0

(3z2 + 1)

z=0

Res

1

=

1

=

1

= −

1

,

z=i

z(z2 + 1)

(z(z2 + 1))′

z=i

3i2 + 1

2

Res

1

=

1

= −

1

.

z=-i

z(z2 + 1)

(z(z2 + 1))′

z=−i

2

Отже, згідно з основною теоремою про лишки (3.31) маємо

∫

dz

1

1

= 0.

= 2πi 1 −

−

2

+ 1)

L+ z(z

2 2

∫+

dz

21. Обчисліть інтеграл

, де L ― коло

z

= 2 .

z10

+ 1

L

Розв’язання. Підінтегральна функція має в крузі

z

= 2 десять особли-

2k +1

π i

вих точок zk = e 10

, k

= 0,1,..., 9,

які є простими полюсами, що лежать

на колі одиничного радіуса. Замість обчислення десяти лишків набагато зручніше використати теорему 10, за якою достатньо обчислити лишок лише в точці z = ∞ . Розклад функції в ряд Лорана в околі нескінченно віддаленої точки має вигляд:

			1										1						1					1			1					1			1			1
						=											=				1 −					+				− ...	=			−			+			− ... ,
	z	10		+ 1						10				1					z	10				z	10		z	20				z	10		z	20		z	30
									z		1		+
														z	10
								1
отже,				Re s								= − a−1 = 0. Тоді за формулою (3.29)
							z	10
				z=∞						+ 1
																				1					9					1
															Re s								= −		∑ Res						= 0 ,
															z=∞ z10 + 1									k =0 z= zk z10 +1
322

а шуканий інтеграл

dz

= 2π i 0 = 0 .

∫+ z10 +

1

L

2π

dt

22. Обчисліть інтеграл I

= ∫

.

cos t − 2

0

Розв’язання. Покладаючи z = eit , дістанемо за формулою (3.32)

2π

dt

1

dz

2

dz

∫

=

∫

=

∫

.

cos t

− 2

1

i

2

0

i

z

=1

+

z

=1

z

−

4z + 1

z

z

z

− 2

2

~

1

Функція R(z) =

має два прості полюси

z1,2

= 2 ± 3 , з яких

z

2 − 4z

+ 1

тільки z2 = 2 −

= 1. Отже,

3 міститься всередині контура

z

2π

dt

2

1

1

∫

= 2πi

Res

= 4π

2− 3 =

2

0 cos t − 2

i

z=2− 3

z

− 4z + 1

2z − 4

= 4π

1

= −

2π

.

2(2 −

3) − 4

3

∞

dx

23. Обчисліть інтеграл

I = ∫

.

1

+ x

4

−∞

1

Розв’язання. Функція R(x)

=

задовольняє

всі

умови

наслідку

1+ x4

1

з теореми 12. Функція R(z) =

має у верхній півплощині прості полюси

1+ z4

π

3π

∞

dx

= 2πi Re s

1

1

.

в точках z1 = ei

і z2

= ei

. Тому

∫

+ Re s

4

4

+ x

4

4

4

−∞ 1

z= z1 1+ z

z= z2 1+ z

Лишки обчислюємо за формулою (3.26)

1

1

1

1

−i

3

π

Re s

=

=

=

e

4

,

z= z1 1 + z

4

4z

3

3

4

z= z

i 4

π

1

4e

323

1

1

1

1

−

π

Re s

=

=

=

e

4 .

4

3

9π

z= z2 1 + z

4z

i

4

z= z2

4

4e

Отже,

∞

dx

2πi

3

π

πi

3π

3π

π

π

∫

−i 4

π

−i

4

=

e

+ e

=

cos

− i sin

+ cos

− i sin

=

1+ x

4

4

4

4

4

−∞

2

4

=

πi

(−i 2) = π

2

.

2

2

∞

(x + 1) sin 2x

24. Обчисліть інтеграл I = ∫

dx.

x2 + 2x + 2

−∞

∞ (x + 1) sin 2x

∞

(x + 1)e2 xi

Розв’язання. I = ∫

dx

= Im ∫

dx , тут λ = 2 > 0.

x2 + 2x + 2

x2 + 2x + 2

−∞

−∞

Функція

f (x) =

x + 1

задовольняє всі умови теореми 13. У верх-

x2 + 2x + 2

ній півплощині Im z > 0 функція

f (z) =

z + 1

має лише простий по-

z2 + 2z + 2

люс z = –1 + i. Тоді за теоремою 13:

I = Im

2πi Re s

z + 1

e2iz

= Im

2πi

1

e−2−2i

=

2

z=−1+i

z

+ 2z

+ 2

2

= Im (πie−2 (cos2−isin 2)) = πe−2 cos 2.

∞

cos

λx

∞

xsin λx

25. Обчисліть інтеграли: а) ∫

dx,

б) ∫

dx.

2

2

2 2

0

x

+ a

0

x

+ a

Розв’язання: а) на підставі формули (3.33), де R(x) ― парна функція, маємо:

∞ cos λx		dx = πi Re s	eiλz		=	πe−λa	(λ > 0, a > 0);
∫0 a2 + x2		z=ia	z2	+ a2		2a

б) аналогічно, на підставі формули (3.34), де R(x) ― непарна функція, маємо

	∞ x sin λx		dx = π Re s	zeiλz		=	πe−λa	(λ > 0, a > 0).
	∫0 x2 + a2			z2	+ a2		2
			z=ia

324

Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Розкладіть у ряд Тейлора в околі точки z = 0 функції:

1) f (z) =		1	;		2)	f (z) =	2z − 5	;
	(z + 1)(z − 2)						z2 − 5z + 6
3) f (z) =		z		;	4)	f (z) =	z3		.
		(z2 + 1)(z2 − 4)
							(z2 + 1)(z − 1)

Вказівка. Попередньо подайте задану функцію у вигляді суми найпростіших дробів.

Розкладіть у ряд Лорана в околі точки z0 функції:

2.

ze2z

,

z0

= 1 .

3. cos

1

+

z

, z0

= 0 .

4.

z

,

z0 = 0.

z − 1

z2

z −

(z + 1)2

1

sin z

1

ez − 1

5.

,

z0

= 0.

6. z3e

z

, z0 = 0.

7.

,

z0 = 0 .

z2

z

1

∞

1

∞

8. Використовуючирозклади

=

∑ zn ,

= ∑ (−1)n zn ,

де

z

< 1,

1 − z

1 + z

n=0

n=0

та властивість про почленне диференціювання степеневого ряду, знайдіть у вказаних областях розклади в ряд за степенями z таких функцій:

1) f (z) =

1

(

z

< 1);

2) f (z) =

2

(

z

< 1).

(1− z)2

(1+ z)3

Розкладіть у ряд Лорана за степенями z функції у вказаних кільцях:

9.

1

,

а) 2 <

z

< 3;

б) 3 <

z

< +∞ .

(z − 2)(z − 3)

10.

1

,

а) 0 <

z

< 1;

б) 1 <

z

< +∞.

z2 + z

11.

z − 1

,

0 <

z + 4

< 6 .

z2

+ 2z − 8

z + 1

12.

1

z − 3

13.

z − 3

,

> 4 .

,

> 8 .

z2

− 2z − 3

z2 + 2z − 15

325

Знайдіть нулі функцій f(z) та визначте їх порядок.

	14. f (z) = (z2 + 9)(z2 + 4)3.				15. f (z) = (1 – ez)(z2 – 4)3.		16. f (z) = z sin z.
	Визначте порядок полюсів z0 для функцій.
	17. f (z) =		2z	.	18. f (z) =	z2 − 3z + 2		, z0 = 2, z0 = 1 .
		z2	− 2z − 15			(z2 − 4)2 (z − 1)	3

Доведіть, що точка z0 є істотно особливою точкою для функцій.

					1			cos	1
			1
									z + 1
	19. f (z) =			+ e z−i , z0			= i. 20. f (z) =			, z0 = –1.
		z2	+ 1					z2 − z + 2

21. Вкажіть усі скінченні особливі точки і визначте їх характер для функцій:

1)

1

;

2)

z + 2

; 3)

1

;

4)

z

;

(z2 + 1)3

z(z + 1)(z − 1)3

sin z

(z + 1)(z − 2)3 (z + i)5

1

z

z(π − z)

z −

π

5)

; 6)

; 7)

;

8)

4

;

z2s in(z − 1)

(z + 1)3 (ez − 1)

sin 2z

tg z − 1

tg3 z;

1

1

cos2

1

9)

10) e z−3i ;

11)

cos

;

12)

;

z

+ 2i

z − 1

13)

tg(z − 1)

;

14)

1 − cos z

;

15)

sin z

;

16)

1

.

z − 1

z2

z5

ez −

3

Визначте характер точки z0 = ∞ для функцій:

22.

z2

+ z + 1

.

23.

z3 + z + 5

.

(z + i)2

(z − 4)3

z(z2 + 7)

Обчисліть лишки функцій в особливих точках z0.

24. 1)

z3 + 1

, z0

= 3, z0

= −2 ; 2)

cos z

,

z0

= 0 ;

(z

+

2)2 (z − 3)

z3 (z + 4)

z4 + 2

1

3)

,

z0

= ∞ ;

4)

exp

,

z0 = −2 ;

z

2

+ 16

z + 2

5)

sin

4

,

z0

= 1 ;

6)

tg z, z0

=

π

.

2

z − 1

326

Вважаючи, що обхід замкнених контурів відбувається в додатному напрямку, обчисліть за допомогою лишків такі інтеграли:

25. ∫		dz
			.
	1	z(z2 + 4)
|z|=	2

∫2dz

27.|z−1−i|= 54 z2 (z − 1) .

	∫			dz
26.						.
				z(z2 + 4)
	|z−i|=3/ 2
28.	∫		2 + sin z		dz .
	|z|=3		z(z + 2i)

29.

31.

32.

∫

ez dz

.

30.

∫

z(sin z + 2)

dz .

|z−3|=

1

sin z

|z−

3

|=2

sin z

2

2

x2

y2

∫

z sin

z

dz, де C — еліпс

+

= 1 .

5

3

C

(z − 1)

9

C∫

dz

, де C — коло x2 + y2

= 2x .

z4 + 1

33. Обчисліть за допомогою лишків визначені інтеграли.

2π

dx

2π

dx

1)

∫

;

2)

∫

.

5

0

− cos x

0

2

+

3 sin x

4

34. Обчисліть за допомогою лишків невласні інтеграли.

∞

dx

∞

xeix dx

1)

∫

;

2)

∫

;

(x

2

+ 25)(9x

2

+

1)

2

+ 14x +

5

-∞

−∞ x

∞

x sin 4x

∞

cos x

3)

∫

dx

;

4)

∫

dx .

2

+ 4x

+ 5

4

+ 17x

2

+ 16

−∞ x

−∞ x

Відповіді

1

∞

− 2−n

∞

+ 3−n−1)zn ; 3) 1

∞

− 4−n−1)z2n+1 ;

1. 1)

∑ ((−1)n+1

−1) zn; 2) − ∑ (2−n−1

∑ ((−1)n+1

3

n=0

n=0

5

n=0

∞

∞

n

n+1

∞

n

4) − ∑ (z4n + z4n−1) . 2.

e2 (

1

+

∑ (

2

+

2

)(z −1)n )

при 0 <

z − 1

< ∞ . 3.

∑

(−1)

−

2n

n=0

z −1

n=0

n!

(n + 1)!

n=0

(2n)!z

∞

∞

(−1)

n

∞

1

∞

− ∑ zn+1

при 0 <

z

< 1 або

∑

+

∑

при

z

> 1 . 4. ∑ (−1)n+1n zn

при

z

< 1

або

(2n)!z

2n

n

n=0

n=0

n=0 z

n=1

327

∞

(−1)n (n + 1)

1

z

z3

z5

∞

z

3− n

∞

zn

∑

при

z

> 1 .

5.

−

+

−

+ ...

при

z

> 0 . 6.

∑

.

7.

∑

.

z

n+1

z

3!

5!

7!

n!

(n + 1)!

n=0

n=0

n=0

∞

n

∞

2n−1

1

∞

z

n

∞

3n−1

− 2n−1

1

∞

n

n

∞

1

8.

∑

(n + 1)z

. 9. а) − ∑

n

−

∑

(

)

; б)

∑

. 10. а)

− ∑

(−1)

z

; б)

∑

.

z

3

z

n

z

n+2

n=0

n=1

3 n=0

n=1

n=0

n=0 z

5

∞

(z + 4)n

1

1

∞

n

4n

1

1

∞

n

8n

11.

− ∑

n+2

. 12.

−

∑(−1)

. 13.

+

∑(−1)

.

6(z + 4)

6

4(z − 3)

(z

− 3)

n

z − 3

(z

− 3)

n+1

n=0

4(z − 3) n=0

2 n=1

14. z = ±3i – нулі першого порядку; z = ±2i – нулі третього порядку. 15. zk = 2kπi ( k Z ) – нулі

першого порядку; z = ±2 – нулі третього порядку. 16. z = 0 – нуль другого порядку; zk = kπ (k = 0, +1, +2,...) – нулі першого порядку. 17. z0 = 0 – полюс другого порядку, z0 = kπ, k = ±1, ±2,..., – полюси третього порядку. 18. z0 = 2 – полюс першого порядку, z0 = 1− полюс другого порядку.

21. 1)

z1 = i,

z2 = −i

– полюси третього порядку; 2) z1 = 0,

z2

= −1 – полюси першого порядку,

z3 = 1

– полюс третього порядку; 3)

zk = kπ,

k Z, полюси першого порядку; 4) z0

= −1 –

полюс першого порядку,

z1 = 2 – полюс третього порядку,

z2

= −i – полюс п’ятого поряд-

ку;

5)

z1 = 0

– полюс другого порядку,

zk = 1+ kπ, k Z

– полюси першого порядку;

6)

z1 = −1 – полюс третього порядку,

z2 = 0 – усувна особлива точка, zk = 2kπi,

k Z,

k ≠ 0 –

полюси першого порядку;

7) z0 = 0,

z2 = π

–

усувні особливі точки, zk

= πk 2,

k = ±1,

−2, ±3,

..., – полюси першого порядку; 8)

z0

=

π

– усувна особлива точка,

zk

= π(4k + 1) / 4,

4

k Z – полюси третього по-

k = ±1,

±2, ..., – полюси першого порядку; 9)

zk

= π(2k + 1) / 2,

рядку; 10) z0

= 3i – істотно особлива точка; 11) z0 = −2i – істотно особлива точка; 12)

z = 1 –

істотно особлива точка; 13)

z = 1 – усувна особлива точка,

zk = 1+

π(2k + 1)

,

k Z – полюси

першого порядку; 14) z0

= 0

z0

= 0

2

– усувна особлива точка; 15)

– полюс четвертого порядку;

16)

zk

= ln 3 + 2kπi,

k Z

– полюси першого порядку. 22. Нуль порядку 3. 23. Усувна особлива

точка.

24. 1)

28 ; −

53 ;

2)

−

7

; 3) 0; 4) 1; 5) 4; 6) −1 . 25.

πi

. 26.

πi

. 27. 4πi . 28. iπsh2 .

25

25

64

2

4

29. −2πieπ . 30. −4π2i.

2) 4π(sin 2 + i cos 2) ; 3)

31.

sin1− 4cos1

πi .

32. −

πi

.

33. 1)

8π

;

2) 2π . 34. 1)

7π

;

12

2

3

560

π

((sin 2 − 2cos 2) + i(cos 2 + 2sin 2))

; 4)

π 4e3 − 1

.

e

60

e4

Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

3.1.Задані функції розкладіть у ряд Тейлора за степенями z − z0 , використовуючи відомі розвинення функцій, і знайдіть радіуси збіжності рядів.

3.1.1.

f (z) =

1

,

z0

= 2 .

3.1.2.

f (z) =

1

,

z0

= 1 .

z

−

z

3

2z

3.1.3.

f (z) =

, z0 = 0 .

3.1.4.

f (z) =

2z

,

z0

= 0 .

z2

+ 1

z

2 − 1

328

3.1.5.

f (z) =

1

,

z0

= 2 .

5

− 3z

3.1.7.

f (z) =

z

,

z0

= 0 .

z

2 −

4

3.1.9.

f (z) = cos2 (iz) ,

z0

= 0 .

3.1.11.

f (z) =

z − 3

,

z0

= −1.

z + 2

3.1.13.

f (z) =

1

,

z0

= 3 .

3z

+ 7

3.1.15.

f (z) =

2

,

z0

= 0 .

3z

+ 2

3.1.17.

f (z) = cos2

iz

,

z0

= 0 .

2

3.1.19.

f (z) = sin2

z

,

z0

= 0 .

2i

3.1.21.

f (z) =

z

,

z0

= 3.

z − 2

3.1.23.

f (z) = cos(2z − 3) , z0 = 1.

3.1.25.

f (z) = ez ,

z0

= 1.

3.1.27.

f (z) =

z

,

z0

= 1 .

2z

− 3

3.1.29.

f (z) =

z + 1

,

z0

= 3 .

z + 4

3.1.6.

f (z) =

1

, z0

= −2 .

3

+ z

3.1.8.

f (z) =

1

,

z0

= 0 .

z

2

+ i

3.1.10.

f (z) = sh

2

z

,

z0

= 0 .

2

3.1.12.

f (z) =

z − 1

,

z0

= 1 .

2z − 3

3.1.14.

f (z) =

1

,

z0

= 4 .

5z

− 3

3.1.16.

f (z) =

z

,

z0

= 0 .

z2

− 1

3.1.18.

f (z) = ch2 (iz) ,

z0

= 0 .

3.1.20.

f (z) =

1

,

z0

= −2.

5

− 4z

3.1.22.

f (z) =

1

,

z0

= −1.

6

+

5z

3.1.24.

f (z) =

1

,

z0

= −1.

4

− 3z

3.1.26.

f (z) =

1

,

z0

= −2.

3z

+ 5

3.1.28.

f (z) =

z − 3

,

z0

= 0 .

z − 4

3.1.30.

f (z) =

z − 1

,

z0

= 0 .

z − 2

3.2. Знайдіть усі лоранівські розклади заданої функції за степенями z − z0.

3.2.1.

z − 2

, z0

= −1.

3.2.2.

z − 4

,

z0 = 0 .

2z

2

+ z − 1

z2

+ z − 2

3.2.3.

z − 6

,

z0 = −3 .

3.2.4.

z − 8

,

z0 = 0 .

2z

2

+ 3z −

9

z

2

+ 2z − 8

329

3.2.5.				z − 3					,		z0	= −2 .
	2z2 + 3z − 2
3.2.7.			z − 12						,		z0	= 3 .
	z	2	+ 3z − 18
3.2.9.				z − 1					,		z0	= 4 .
	z	2	− 7z + 12
3.2.11.				z + 3						,	z0 = 2 .
		z	2	− 7 z	+ 10
3.2.13.				z + 4					,		z0	= −2 .
		z	2	+ 5z	+	6
3.2.15.				2z + 1					,		z0	= 3 .
		z	2	+ z − 12
3.2.17.				z					,		z0	= 1 .
		z	2	+ 2z	− 3
3.2.19.				z + 1					,		z0	= −1.
		z	2	− 3z	−	4
3.2.21.				z + 8					,		z0	= −2 .
		8	+ 2z − z			2
3.2.23.				2z + 4					,		z0	= −1.
		z	2	− 4z	− 5
3.2.25.				2					,		z0	= 4 .
		z	2	− 6z	+	8
3.2.27.				7					,		z0	= 1 .
		z	2	+ 5z	−	6
3.2.29.				1					,		z0	= −2 .
		z	2	− 2z	−	8

3.2.6.

z − 16

,

z0

= 0 .

z

2 + 4z − 32

3.2.8.

z − 18

,

z0

= 0 .

2z2

+ 9z −

81

3.2.10.

2z − 1

,

z0

= 0 .

z2

− z − 6

3.2.12.

3z − 6

,

z0

= 0 .

z

2

− 5z + 4

3.2.14.

2z − 7

,

z0

= 0 .

z

2

− z − 2

3.2.16.

z + 5

,

z0

= 0 .

z

2

+ 4z +

3

3.2.18.

z − 4

,

z0

= 0 .

z

2

− 2z − 15

3.2.20.

2z − 5

,

z0

= 0 .

z2

− 5z + 6

3.2.22.

2z − 7

,

z0

= 0 .

z2

− 7z +

12

3.2.24.

2z + 9

,

z0

= 0 .

z

2

+ 9z + 20

3.2.26.

z − 4

,

z0

= 0 .

z

2

− 8z + 15

3.2.28.

1

,

z0

= 0 .

z

2

− z − 12

3.2.30.

z

,

z0

= 0 .

z

2

− 2z −

3

3.3. Для заданої функції знайдіть ізольовані особливі точки та визначте їх характер.

3.3.1.	cos πz					3.3.2.	1			3.3.3. tg2z .
					.			.
	(2z − 1)(z2 + 1)						cos z
3.3.4.	z3	+ 1		.		3.3.5.	ez	− 1	.	3.3.6.	sin πz	.
	z2 (z	2 +	4)				z2 (z	+ 1)2
											(z − 2)4

330