0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

3.3.7.			z2	+ 4		.	3.3.8.	cos	2	1	.
	(z − 3)2			(z2	+ 9)					z
3.3.10.		sin3		z	.		3.3.11. ctg πz .
		z(1	− cos z)

3.3.13.ez −1 . z sin z

3.3.16. ez −1 . sin πz

ez − 1

3.3.19. z4 (z − 1) .

3.3.22. z2 sin 1 . z

3.3.25. z3 exp 1 . z

cos π z

3.3.28. 4 . z2 − 4

3.3.14.	1					.
	sin z2
3.3.17.			sin z									.
	z3 (1− cos z)
3.3.20.	1		+ sin						1		.
	z2								z2
	cos			π	z
3.3.23.	2						.
		z4 − 1
			cos				π		z
3.3.26.	6												.
		(z − 3)(z + 2)
3.3.29.			sin 3z							.
	z(1 − cos z)

3.3.9. sin			2	1				.
				2z
3.3.12.		sin πz						.
	(z − 1)3
3.3.15.				sin z								.
		(ez		−		1) cos z
3.3.18. cos				1	− sin				2	.
				z					z

3.3.21.ez − e . sin πz

3.3.24.		sin πz
				.
		2z2 − z − 1
3.3.27.		sin 3z2
			.
	z(z2 + 1)
3.3.30.	2z − sin 2z
					.
		z2 (z2 + 1)

3.4. Знайдіть лишки функцій в особливих точках.

3.4.1.		1									3.4.2.		exp z
							.											.
	(z + 2)2 z3												(z + 1)3 (z − 2)
3.4.4.		1								.	3.4.5.		ez
														.
		(2z − 1)4 z2
												(1+ z)2
3.4.7.			ez					.			3.4.8. sin z sin				1		.
	z2 (z2 +				9)										z
3.4.10.			z4								3.4.11.		ez
				.												.
			1 + z2
													(2 + z)2
3.4.13.			z2 exp			1			.		3.4.14.		ez				.
													z3 (z − 1)
						z

3.4.3.	z4 + cos πz					.
	(1+ z)3
3.4.6.	z6							.
	(1 − z)2
			(2 + z)
3.4.9.	sinπ z						.
	(z + 2)3 (z − 1)
3.4.12. z2 sin			1	.
			z2

3.4.15. (z − 2)exp z −1 2 .

331

		z2 − 3								1
	3.4.16.								3.4.17. (z3 − 1)e					.
				.								z
		z(z − 2)3
	3.4.19. cos z − sin					1	.		3.4.20. (z2 + 1) sin								1	.
						z											z
	3.4.22.	1 − cos z			.				3.4.23.	sin(iz)						.
		z3 (z − 3)								(z2 − 4)z
	3.4.25.	eiz							3.4.26.	z4
								.				.
		(z2 − 1)(z + 3)								(z − 1)2
		cos z	.							2					.
	3.4.28.								3.4.29. (z3 − 2)e				z
		2z2 − πz

3.4.18.				z
								.
	(z + 1)3 (z − 2)2
3.4.21. cos			1	+ z3.
			z
3.4.24.		cos z
						.
		z2 (z − 2)
3.4.27.		eπz
					.
		(z − i)2
				ch z
3.4.30.							.
		(z2 + 1)(z − 3)

3.5. Вважаючи, що обхід замкнених контурів відбувається в додатному напрямку, обчисліть за допомогою лишків інтеграли.

3.5.1.

∫

cos z2 − 1

dz .

z

3

|z|=1

1

3.5.3.

∫

e

z

+ 1

dz .

|z|=3

z

3.5.5.

∫

1 − 2z + 3z2

dz .

z

2

|z|=1/ 3

3.5.7.

∫

3z4 − 2z3 + 5

dz .

z

4

|z|=1

3.5.9.

∫

e2z2

− 1

dz .

3

|z|=1/ 2

z

∫z − sin z

3.5.11.2z4 dz .

|z|=2

332

3.5.2. ∫	2 − z2	+ 3z3	dz .
	4z	3
|z|=1/ 2

∫sin z3

3.5.4.dz .

−cos z1

|z|=2

3.5.6.

∫

1− cos z3

dz .

z

7

|z|=2

1

− sin

1

3.5.8.

∫

z

dz .

|z|=3

z

∫

3 − 2z + 4z2

3.5.10.

dz .

z

3

|z|=1/ 3

∫z3 − 3z2 + 1

3.5.12.4 dz .

|z|=1 2z

3.5.13.

∫

4z5 − 3z3 + 1

dz .

z

4

|z|=1/ 3

3.5.15.

∫

cos iz − 1

dz .

z

3

|z|=1

1 −

2z

4

3z

5

3.5.17.

∫

+

dz .

z

4

|z|=1/ 3

3.5.19.

∫

z5

− 3z3 + 5z

dz .

4

|z|=1/ 2

z

3.5.21.

∫

cos z3 − 1

dz .

z

4

|z|=3

1

3.5.23.

∫

ze z

− z − 1

dz .

z

3

|z|=1

3.5.25.

∫

z4

+ 2z2 + 3

dz .

6

|z|=1/ 2

2z

3.5.27.

∫

1 − z4 + 3z6

dz .

2z

3

|z|=1/ 3

3.5.29.

∫

ez

− sin z

dz .

z

2

|z|=1/ 3

∫ e2z − z

3.5.14. |z|=1 z2 dz .

∫cos iz − 1

3.5.16.3 dz .

|z|=1

z

3.5.18.

∫

z3 + cos z

dz .

z

3

|z|=3

3.5.20.

∫

z + sin 2z

dz .

z

4

|z|=2

3

− 5z

4

3.5.22.

∫

2 + 3z

dz .

5

|z|=1/ 2

z

3.5.24.

∫

z2 sin

i

dz .

2

|z|=2

z

3.5.26.

∫

eiz − 1

dz .

3

|z|=1 z

3.5.28.

∫

z3 cos

2i

dz .

|z|=2

z

3.5.30.

∫

2z3 + 3z2 − 2

dz .

2z

5

|z|=3

333

Модуль
4	ОПЕРАЦІЙНЕЧИСЛЕННЯ

Загальна характеристика модуля. Розглядаються пере-

творення Лапласа та його властивості. Використовуються знання з розділів «Невласні інтеграли», «Теорія функції комплексної змінної» та ін. Операційне числення широко застосовується при розв’язуванні лінійних диференціальних рівнянь, до яких зводяться задачі електротехніки, імпульсної техніки, теорії автоматичного регулювання тощо.

СТРУКТУРА МОДУЛЯ

Тема 1. Оригінал та зображення за Лапласом. Властивості перетворення Лапласа. Відшукання зображень різних функцій.

Тема 2. Відшукання оригіналу за його зображенням. Застосування перетворення Лапласа до розв’язання диференціальних рівнянь. Формула Дюамеля.

Базисні поняття. 1. Оригінал. 2. Зображення. 3. Функція Хевісайда. 4. Диференціювання оригіналу. 5. Диференціювання зображення. 6. Інтегрування оригіналу. 7. Інтегрування зображення. 8. Згортка функцій. 9. Формула Дюамеля.

Основні задачі. 1. Відшукання зображення оригіналів. 2. Відшукання оригінала за зображенням. 3. Застосування перетворення Лапласа до розв’я- зування прикладних задач.

ЗНАННЯ ТА ВМІННЯ, ЯКИМИ ПОВИНЕН ВОЛОДІТИ СТУДЕНТ

1.Знання на рівні понять, означень, формулювань

1.1.Оригінал; зображення; перетворення Лапласа.

1.2.Функція Хевісайда.

1.3.Зображення основних елементарних функцій.

1.4.Теореми лінійності, подібності, зміщення, запізнення.

1.5.Теореми про диференціювання та інтегрування оригіналу і зображення.

1.6.Згортка функцій.

1.7.Формула Дюамеля.

334

2.Знання на рівні доведень та виведень

2.1.Зображення основних функцій.

2.2.Властивості оригіналів і зображень.

3.Уміння в розв’язанні задач

3.1.Знаходити зображення оригіналів.

3.2.Знаходити оригінали зображень.

3.3.Уміти застосовувати операційний метод для розв’язання диференціальних рівнянь та систем диференціальних рівнянь.

Тема 1. ОРИГІНАЛ ТА ЗОБРАЖЕННЯ ЗА ЛАПЛАСОМ.

ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА. ЗНАХОДЖЕННЯ ЗОБРАЖЕНЬ РІЗНИХ ФУНКЦІЙ.

Оригінал та зображення за Лапласом. Теореми лінійності, подібності, зміщення, запізнення. Диференціювання та інтегрування оригіналу і зображення. Зображення згортки функцій. Зображення деяких найпростіших функцій. Зображення періодичних та ступінчастих функцій.

Література: [4, розділ 2, пп.2.1—2.3], [5, гл.2, пп.2.1—2.10], [12, розділ 32, §1—2], [13, розділ 2, §11], [15, розділ 16, п.п. 16.2.1—16.2.4], [17, розділ 9, §32].

Т.1 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1.1. Операційний метод

Операційне (символічне) числення виникло у середині ХІХ століття. Одним із його засновників є український вчений, професор Київського університету М.Є. Ващенко-Захарченко, який в 1862 році в своїй дисертації «Символічне числення і застосування його до інтегрування диференціальних рівнянь» уперше висловив ідею операційного методу до розрахунків процесів в електричних колах. Англійський фізик і математик О. Хевісайд поклав початок систематичному застосуванню операційного числення до розв’язання багатьох фізико-технічних задач, тому виникнення цього методу найчастіше пов’язують з його ім’ям.

Розглянемо суть операційного методу. Нехай потрібно знайти функцію x(t) з деякого рівняння, яке містить цю функцію під знаком похідних або

інтегралів. Операційний метод зводиться до таких етапів.

335

1.Від шуканої функції x(t) переходять до функції X ( p) комплексної змінної р.

2.Над зображенням X ( p) проводять операції, які відповідають зада-

ним операціям над х(t), і одержують операторне рівняння відносно X ( p) .

При цьому операції над зображенням виявляються простішими: диференціюванню відповідає множення на р, інтегруванню ― ділення на р та ін.

3. Одержане операторне рівняння розв’язують відносно X ( p) , що, як

правило, зводиться до простих алгебраїчних дій.

4. Від знайденого зображення X ( p) переходять до оригіналу x(t) , який і є шуканою функцією.

1.2. Оригінал і зображення. Перетворення Лапласа

Функцією-оригіналом називають будь-яку комплекснозначну функцію

f(t) = u(t) + iv(t) дійсної змінної t, яка задовольняє такі умови:

1)f (t) кусково-неперервна на всій осі t, тобто вона неперервна або має точки розриву першого роду, причому на будь-якому скінченному проміжку осі t таких точок розриву скінченне число;

2)f(t) = 0 для t < 0;

3)існують такі сталі M > 0 і σ ≥ 0 , що для всіх t > 0 виконується не-

рівність
f (t) ≤ Meσ t .	(4.1)

Умова 3) означає, що f (t) може зростати не швидше деякої показ-

никової функції.

Нижню грань σ0 усіх чисел, для яких виконується (4.1), називають показником зростання функції f (t) .

Для обмежених функцій показник зростання можна покласти σ0 = 0 .

Найпростішою функцією-оригіналом є так звана одинична функція Хевісайда (рис. 4.1, а)

0	для t < 0,	(4.2)
η(t) =
1	для t ≥ 0.

Очевидно, якщо функція ϕ(t) задовольняє умови 1) і 3), але не задовольняє умову 2) (рис. 4.1, б), то функція

ϕ(t)	для t ≥ 0,
ϕ(t) η(t) =
0	для t < 0
336

вже буде оригіналом (рис. 4.1, в). Тут роль множника η(t) полягає в тому, що він «гасить» (обертає в нуль) функцію при t < 0 .

η(t)

у

y

1

t

у = φ(t)

у = φ(t)η(t)

О

О

t

t

О

a

б

в

Рис. 4.1

Зауваження. Далі, для скорочення запису,

писатимемо f (t) замість

f (t)η(t),

вважаючи,

що розглядувані

нами

функції

задовольняють

умову2).

Приклади оригіналів: tn ( n ≥ 0 ), eat , sin at, cos at

(а ― стала).

Не є оригіналами, наприклад, такі функції:

1

,

e

t

2

,

tg t ,

ln t .

t

Зображенням функції-оригіналу f (t) називають функцію F (p) комплексної змінної p = σ + iω, яку визначають рівністю

∞
F( p) = ∫ e− pt f (t)dt.	(4.3)
0

Інтеграл в (4.3) називають інтегралом Лапласа, а операцію переходу від оригіналу f (t) до зображення F (p) ― перетворенням Лапласа. Той факт, що F (p) є зображенням оригіналу f (t), символічно позначають так:

f(t) F(p), або F(p) = L(f (t)).

Функція F (p) визначена в півплощині Re p = σ > σ0 , де σ0 ― показник

зростання, і є в цій півплощині аналітичною функцією, при цьому F (p) → 0, якщо σ → +∞.

Наприклад, не існує жодної функції-оригіналу, зображення якої має ви-

	гляд F( p) =	p		, оскільки lim	F( p) =	1	≠ 0 .
		2 p + 1				2
				p→∞

Сукупність усіх оригіналів f (t) називають простором оригіналів, а су-

купність зображень F ( p) ― простором зображень.

337

1.3. Зображення деяких найпростіших функцій

Використовуючи означення, знайдемо зображення таких функцій: 1. f (t) = η(t) (одинична функція Хевісайда) (див. (4.2)): Розв’язання. За формулою (4.3) дістанемо

∞

∞

e− pt

a

e− pa

1

1

F( p) = ∫ e− pt η(t)dt = ∫ e− pt dt = lim

= lim

−

+

=

.

− p

0

p

p

0

0

a→∞

p

a→∞

Отже,

η (t )

1

.

p

Показник зростання σ0 = 0.

2. f (t) = et .

Розв’язання. Показник зростання функції f (t) дорівнює 1. Вважаючи Re p > 1 , дістанемо

∞

e

−( p−1)t

a

1

F( p) = L(et ) = ∫

e−( p−1)t dt = lim

=

.

1− p

p − 1

0

a→∞

0

Отже,

L(et ) =

1

.

p − 1

Зауваження Зображення основних функцій-оригіналів наведені в додатку 1.

1.4. Властивості перетворення Лапласа

10. Теорема єдиності.

Якщо функція F( p) є зображенням деяких двох оригіналів f1 (t) і f2 (t) , то ці оригінали тотожно рівні в точках своєї неперервності.

20. Лінійність зображення.

Якщо f1 (t), f2 (t) ― функції-оригінали, то для будь-яких сталих А і В виконується рівність:

L(Af1(t) + Bf2(t)) = AL(f1(t)) + BL(f2(t)).

338

30. Подібність.

Якщо f(t)

F(p), то для будь-якої сталої a > 0

1

p

f (at)

F

.

a

a

Доведення. Застосуємо перетворення Лапласа до функції

f (at) :

∞

− pt

at = z,

1

∞ −

p

z

1

p

Lf (at) = ∫ e

f (at)dt =

dz

=

∫ e a f (z)dz =

F

.

0

dt =

, 0

≤ z < ∞

a

0

a

a

a

40. Запізнення оригіналу.

Якщо f(t) F(p), то для будь-якого τ >0

f(t – τ)

e−pτF(p).

Доведення. Оскільки f(t – τ)

∞

L( f (t − τ)) = ∫ e− pt f (t − τ)dt

0

∞

= ∫ e− p(z+ τ) f (z)dz

0

≡ 0 для t < τ (рис. 4.2), то

∞		t − τ = z,
= ∫ e− pt f (t − τ)dz =			=
τ		dt = dz, 0 ≤ z < ∞
	∞
=e− pτ ∫ e− pz f (z)dz =e− pτ F( p).
	0

y		y
	у = f(t)			у = f(t – τ)

О

t

О

τ

t

Рис. 4.2

Цю властивість зручно використовувати для відшукання зображень функцій, які на різних проміжках задаються різними аналітичними виразами.

Зауваження. Якщо f(t) F(p), то для будь-якого τ >0

	τ		(4.4)
f(t + τ) epτ F( p) − ∫ e− pt f (t)dt .
	0

Доведіть це твердження самостійно.

339

50. Зміщення зображення.

Якщо f(t) F(p) і p0 ― будь-яке комплексне число, то

	f(t) e p0t	F(p – p0).
Доведення.
f(t) e p0t	∞	∞
	∫ f (t)e p0t e− pt dt = ∫ f (t)e−( p− p0 )t dt =F( p − p0 ) .
	0	0
60. Диференціювання оригіналу.
Якщо функція f (t) та її похідні		f ′(t), f ′′(t),...,	f (n) (t) є функціями-
оригіналами і f(t)	F(p), тоді
	L( f ′(t)) = pF( p) − f (0),
	L ( f ′′ (t)) = p2 F ( p) − pf (0) − f ′ (0),
L( f (n) (t)) = pn F( p) − pn−1 f (0) − pn−2 f ′(0) −			− f (n−1) (0).

Іншими словами, операції диференціювання у просторі оригіналів відповідає множення зображення на аргумент p з подальшим відніманням

початкового значення оригінала.

Доведення. За означенням зображення маємо

f ′(t)

∞

f ′(t)e− pt dt =

u = e

− pt

,

du = − pe

− pt

dt

= f (t)e− pt

∞

∫

+

0

dv = f ′(t)dt, v = f (t)

0

∞

+ p∫ f (t)e− pt dt = − f (0) + pF( p).

0

Отже,

f ′(t)

pF( p) − f (0) . Звідси випливає, що

f ′′(t) = ( f ′(t))′ p( pF( p) − f (0)) − f ′(0) = p2 F( p) − pf (0)) − f ′(0)

і т. д.

Зауваження.

1. Позначення f (k ) (0) означає правосторонню границю

f (k ) (0) = lim f (k) (t) ( k = 0, 1,..., n − 1 ).

t→+0

340