2.2.9.x′′ − 2x′ + 2x = 1,
2.2.10.x′′ + x′ = cos t,
2.2.11.x′′ + 5x′ = e−2t ,
2.2.12.x′′ − 4x′ + 5x = 3 + 2t,
2.2.13.x′′ + 2x′ + 5x = 3,
2.2.14.x′′ + 4x = t,
2.2.15.x′′ − 2x′ + 5x = 1 − t,
2.2.16.x′′ − x′ = t et ,
2.2.17.x′′ + 2x′ + x = t,
2.2.18.x′′ − x′ − 2x = e−t ,
2.2.19.x′′ − 2x′ + x = t − sin t,
2.2.20.x′′ + 2x′ + x = 1 + cos 2t,
2.2.21.x′′ + x = t et ,
2.2.22.x′′ + 4x = 2,
2.2.23.x′′ + x = 2 − 2 cos 2t,
2.2.24.x′′ − x′ = t2 ,
2.2.25.x′′ + x′ = t cos 2t,
2.2.26.x′′ − 2x′ − 3x = t,
2.2.27.x′′ − 4x = sin t,
2.2.28.x′′ + 2x′ − 3x = t + 2,
2.2.29.x′′ + 4x = t sin t,
2.2.30.x′′ + x = t2 ,
x(0) = x′(0) = 0. x(0) = 2, x′(0) = 0.
x(0) = 0, x′(0) = 2. x(0) = x′(0) = 0. x(0) = 1, x′(0) = 0. x(0) = 1, x′(0) = 0. x(0) = x′(0) = 0. x(0) = 0, x′(0) = 0. x(0) = x′(0) = 0.
x(0) = 0, x′(0) = 1. x(0) = x′(0) = 0. x(0) = x′(0) = 0.
x(0) = x′(0) = 0. x(0) = x′(0) = 0. x(0) = 0, x′(0) = −1.
x(0) = 0, x′(0) = 1. x(0) = x′(0) = 0. x(0) = 0, x′(0) = 1. x(0) = 1, x′(0) = 0. x(0) = x′(0) = 0. x(0) = x′(0) = 0. x(0) = x′(0) = 0.
2.3. Операційним методом розв’яжіть систему диференціальних рівнянь.
2.3.1. |
x′ = x + 3y + 2, |
x(0) = −1, |
y(0) = 2. |
|
|
y′ = x − y + 1, |
|
|
2.3.2. |
x′ = − x + 3y + 1, |
x(0) = −1, |
y(0) = 2. |
|
|
y′ = x + y; |
|
|
381
Загальна характеристика модуля. Розглядаються набли-
жені методи розв’язання рівнянь, обчислення визначених інтегралів, наближення функцій многочленами, інтерполювання сплайнами, обробки експериментальних даних методом найменших квадратів.
Структура модуля
Тема 1. Наближені методи розв’язання рівнянь. Тема 2. Наближене обчислення визначених інтегралів.
Тема 3. Інтерполювання функцій. Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
Тема 4. Інтерполювання сплайнами. Тема 5. Метод найменших квадратів.
Тема 6. Чисельне інтегрування диференціальних рівнянь.
Базисні поняття. 1. Проміжок ізоляції кореня. 2. Квадратурна формула. 3. Інтерполяція. 3. Сплайн. 4. Наближення. 5. Похибка.
Основні задачі. 1. Відшукання наближеного розв’язку нелінійного рівняння. 2. Обчислення визначених інтегралів за допомогою квадратурних формул. 3. Побудова інтерполяційного многочлена Лагранжа. 4. Побудова лінійного та кубічного сплайнів. 5. Апроксимація експериментальних даних лінійною та квадратичною функціями. 6. Інтегрування диференціального рівняння першого порядку з початковою умовою методом Ейлера та методом Рунге—Кутта.
ЗНАННЯ ТА ВМІННЯ, ЯКИМИ ПОВИНЕН ВОЛОДІТИ СТУДЕНТ
1.Знання на рівні понять, означень, формулювань
1.1.Нелінійне рівняння. Найпростіші методи відокремлення коренів.
1.2.Методи половинного поділу, хорд, дотичних.
1.3.Геометричний зміст визначеного інтеграла.
1.4.Постановказадачіінтерполяції. ІнтерполяційниймногочленЛагранжа.
1.5.Сплайн.
1.6.Метод найменших квадратів (постановка задачі).
1.7.Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку.
2.Знання на рівні доведень та виведень
2.1.Методи спроб, хорд, Ньютона.
2.2.Формули прямокутників, трапецій, Сімпсона.
2.3.Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
2.4.Формули чисельного інтегрування методом Ейлера.
2.5.Підбір параметрів методом найменших квадратів на прикладі припущення лінійної залежності.
3.Уміння в розв’язанні задач
3.1.Знаходити проміжки ізоляції коренів рівняння.
3.2.Проводити уточнення кореня й оцінювати похибку.
3.3.Обчислювати наближено визначені інтеграли за допомогою квадратурних формул.
3.4.Будувати інтерполяційний многочлен Лагранжа.
3.5.Підбирати функціональну залежність двох змінних за відомими табличними даними.
3.6.Знаходити наближені розв’язки задачі Коші за методами Ейлера та Рунге—Кутта.
Тема 1. НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ
Постановка задачі. Метод спроб (половинного поділу або дихотомії). Методи хорд та дотичних (Ньютона). Комбінований метод.
Література: [6], [10, розділ 6, с. 121—133], [11], [14, розділ 8, §4], [18, розділ 6, с. 265—296].
Т.1 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ |
|
1.1. Постановка задачі |
|
Нехай треба розв’язати рівняння |
|
f (x) = 0 , |
(5.1) |
де x — дійсна змінна.
Рівняння (5.1) може бути як алгебраїчним, так і трансцендентним. У деяких випадках можна знайти точні розв’язки цього рівняння. Наприклад, корені квадратного рівняння можна визначити за відомими формулами. Взагалі будь-яке алгебраїчне рівняння степеня не вище четвертого є розв’яз-
386
ним у радикалах, тобто корені такого рівняння можна виразити за певними формулами, використовуючи скінченне число дій додавання, віднімання, множення, ділення і добування кореня з коефіцієнтами рівняння. Проте часто постає задача відшукання наближених коренів рівняння (5.1).
Рівняння (5.1) може мати:
а) порожню множину розв’язків; б) скінченну кількість коренів;
в) нескінченну кількість коренів (наприклад, якщо (5.1) є тригонометричне рівняння).
Відшукання одного кореня проводять у два етапи:
1)спочатку знаходять проміжок ізоляції кореня, тобто визначають відрізок, на якому міститься один корінь (такий процес називають відокрем-
ленням коренів);
2)корінь уточнюють до наперед заданої точності.
Найпростіший метод відокремлення коренів пов’язаний з побудовою графіків функцій. Геометрично розв’язки рівняння (5.1) — це абсциси то-
чок перетину графіка функції y = f (x) з віссю Ох. Якщо ця функція неперервна і на кінцях відрізка [a; b] набуває значень протилежних знаків, тобто f (a) f (b) < 0 , то існує принаймні одна точка x (a; b) , яка є коренем
рівняння (1.1) (рис. 5.1, а, б). Насправді при відсутності інших додаткових умов на заданому відрізку рівняння може мати більше, ніж один корінь, точніше непарну кількість коренів (рис. 5.1, в). На практиці часто доцільно
записати функцію f (x) у вигляді різниці двох функцій:
f (x) = f1 (x) − f2 (x) ,
тоді рівняння (5.1) рівносильне рівнянню
f1 (x) = f2 (x) .
у |
|
|
|
|
у |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(а) |
|
|
|
|
|
f(b) |
|
|
|
f(а) |
у = f(х) |
|
|
|
|
у = f(х) |
|
|
|
|
|
у = f(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
f(b) а |
|
b х |
|
|
|
b |
х |
|
|
|
b |
х |
|
f(b) |
|
|
|
f(а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
Рис. 5.1 |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Побудувавши графіки функцій f1 (x) |
та f2 (x) , оцінюють значення ко- |
ренів заданого рівняння як абсцис точок перетину графіків функцій. Звичайно намагаються зробити так, щоб графіки функцій f1 (x) та f2 (x) були якомога простішими.
Нехай, наприклад, треба відокремити корені рівняння
|
|
|
|
|
x3 − x2 + 4x −1 = 0 . |
Запишемо це рівняння у вигляді |
|
|
|
|
|
x3 −1 = x2 − 4x . |
Тоді |
f (x) = x3 |
− 1, |
f |
2 |
(x) = x2 − 4x . Побудувавши графіки цих функцій |
|
1 |
|
|
|
(рис. 5.2), дійдемо висновку, що рівняння має лише один корінь, причому цей корінь належить проміжку (0; 1) .
у
f1(х) = х3–1
O 
1 4 х f2(х) = х2– 4x
Рис. 5.2
Очевидно, якщо позначити f (x) = x3 − x2 +
+ 4x − 1, то з нерівностей f (0) = −1 < 0 , |
f (1) = |
= 3 > 0 випливає, що на проміжку [0; 1] |
задане |
рівняння має корінь. Проте такий підхід не дає відповіді на питання, скільки коренів має задане рівняння взагалі і на відрізку [0; 1] зокрема.
Виникає питання, за яких умов на проміжку [a; b] рівняння f (x) = 0 має лише один корінь.
Сформулюємо достатні умови, за яких рівняння має на заданому проміжку один корінь.
Теорема Нехай функція f (x) є двічі диференційовною і визначено відрізок [a; b] , на якому виконуються умови:
1)f (x) неперервна;
2)f (a) f (b) < 0 ;
3)похідні f ′(x) та f ′′(x) зберігають свої знаки.
Тоді рівняння f (x) = 0 має на [a; b] лише один корінь. Іншими словами, графік функції y = f (x) , де x [a; b] , перетинає вісь Ох тільки один раз.
Справді, з умови 2) випливає, що графік функції на відрізку [a; b] пе-
ретинає вісь абсцис не менше одного разу, а з умови 3) випливає, що на відрізку [a; b] функція монотонна і зберігає опуклість (або вгнутість), що
гарантує лише одну точку перетину графіка функції з віссю Ох (рис. 5.3).
у |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = f(х) |
|
|
у = f(х) |
|
|
|
f(а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
b |
х |
|
|
|
|
а |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f(b) |
|
|
|
|
|
f(b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.3
Розглянемо деякі методи розв’язання рівняння (5.1).
388
1.2. Метод спроб
Нехай рівняння f (x) = 0 на проміжку ізоляції [a; b] має один корінь. Звичайно вимагатимемо неперервність функції f (x) на цьому проміжку. Уточнення шуканого кореня можна проводити за таким алгоритмом. Роз-
іб’ємо відрізок [a; b] навпіл точкою x1 = |
a + b |
і обчислимо f (x ) . |
|
|
2 |
1 |
|
|
Можливі три варіанти:
1)якщо f(x1) = 0, то x1 буде коренем заданого рівняння;
2)знак f(x1) протилежний значенню f(а);
3)знак f(x1) протилежний значенню f(b).
Якщо f (x1 ) ≠ 0 , то робимо вибір, яку з двох частин відрізка [a; b]
([a; x1] або [x1; b]) взяти для подальшого уточнення кореня (рис. 5.4). Оскільки f(x) неперервна на [a; b], то корінь буде міститися в тій половині відрізка, на кінцях якого f(x) має різні знаки. Тобто один із відрізків [a; x1] або [x1; b] матиме ті самі властивості, що й відрізок [a; b]. Отже, на наступному кроці буде розглядатися вже не відрізок [a; b], а відрізок [a; x1] або [x1; b], довжина якого вдвічі менша за відрізок [a; b], після чого ділимо обраний відрізок навпіл і таким чином процес продовжуємо доти, доки довжина відрізка, на кінцях якого функція набуває значень протилежних знаків, не стане меншою від заданої точності.
Наприклад, якщо f (x) така, як на рис. 5.4, то уточнення кореня відбувається у такій послідовності:
1) x1 = |
|
a + b |
, |
оскільки |
f (x ) > 0 , |
а f (b) < 0 , тобто |
f (x ) f (b) < 0 ,то |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обираємо для уточнення відрізок [x1 ; b] ; |
|
|
2) x2 = |
x1 + b |
, оскільки |
f (x ) < 0 , а |
|
f (x ) > 0 , тобто |
f (x ) f (x |
) < 0 , то |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обираємо для уточнення відрізок [x1 ; x2 ] ; |
|
|
3) x3 = |
|
x1 + x2 |
, оскільки f (x ) f (x |
2 |
) < 0 , то обираємо для уточнення |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відрізок [x3 ; x2 ] і т. д.
Умовою зупинки ітераційного процесу є виконання нерівності xn+1 − xn < ε, де ε — задана точність, xn та xn+1 — наближені корені рівняння.
Викладений метод відшукання кореня називають ще методом дихото-
мії (половинного поділу).
Головні переваги методу — простота і надійність. Послідовність {xk} збігається до кореня х* рівняння f (x) = 0 для будь-яких неперервних фун-
кцій f(x). До недоліків відносяться:
1)невисока швидкість збігу методу (за одну ітерацію точність збільшується приблизно удвічі);
2)метод не узагальнюється на системи рівнянь.
Враховуючи недоліки методу спроб, на практиці частіше використовують швидкісніші методи, зокрема методи хорд та дотичних (Ньютона).
1.3. Метод хорд
Нехай на відрізку [a; b] рівняння f(x) = 0 має тільки один корінь, крім
цього виконуються умови: 1) f (a) < 0 , f (b) > 0 ;
2) f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0 , тобто функція f (x) на відрізку [a; b] моно-
тонно зростаюча і вгнута (рис. 5.5).
Вкажемо алгоритм уточнення кореня х* рівняння f(x) = 0 на проміж-ку ізоляції [a; b] .
у |
|
|
у |
|
|
|
f(а) |
у = f(х) |
|
|
|
|
|
|
х* |
|
a |
|
|
О f(a) |
а |
х1 х3 х2 |
b х |
f(b)
A
Рис. 5.4 Рис. 5.5
Сполучимо точки А і В відрізком. Позначимо через x1 точку перетину хорди АВ з віссю Ох, після цього обчислимо значення f (x1 ) (за даних умов f (x1 ) ≤ 0 ). Якщо f (x1 ) = 0 , то x1 — корінь рівняння і задача розв’язана. Якщо f (x1 ) < 0 , то проведемо хорду A1 B . Точку перетину цієї хорди з віссю Ох позначимо через x2 . Продовжуючи цей процес, дістанемо послідовність чисел {a, x1 , x2 ,..., xn ,...} , яка прямує до кореня х*. Процес зупиняють, якщо виконується нерівність
| xn − xn−1 | < ε .
Запишемо аналітичні вирази для відшукання членів послідовності {xn } . Нагадаєморівнянняпрямої, якапроходитьчерездвіточки (x1 , y1 ) та (x2 , y2 ) :
x − x1 |
= |
y − y1 |
. |
x |
− x |
|
|
y |
2 |
− y |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
390
