0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

	+ 1	−	t − 3a	−	t − 2a		η(t − 3a) − 1	−	t − 3a		η(t − 4a) = η(t) − η(t − a) +
			a		a				a

+ 1a ((t − 2a)η(t − 2a) − 2(t − 3a)η(t − 3a) + (t − 4a)η(t − 4a)).

Користуючись властивостями 20 і 40, дістанемо шукане зображення

1

1

−ap

1

1

−2ap

2

−3ap

1

−4ap

F( p) =

−

e

+

e

−

e

+

e

.

2

2

2

p

p

a

p

p

p

17. Знайдіть зображення прямокутного періодичного імпульсу з періодом 2b (рис. 4.9).

A

для

0 < t ≤ b,

f (t) =

0

для b< t ≤ 2b.

f(t)

f(t)

1

А

t

О

а 2а 3а 4а

t

О

b 2

b 3

b 4

b 5

b

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Розв’язання. Знайдемо зображення функції на проміжку 0 < t ≤ 2b (на одному періоді):

b

e

− pt

b

A

F0 ( p) = ∫ Ae− pt dt = A

=

(1 − e− pb ) .

− p

0

0

p

Тоді за формулою (1.5) дістанемо

f (t)

1

A

(1 − e− pb ) =

A

.

p(1 + e− pb )

1

− e−2 pb p

Т.1 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Перевірте, які з заданих функцій є функціями-оригіналами:

1) f (t) = bt η(t), b > 0, b ≠ 1.

2) f (t) = e (2+ 4i)t η(t).

351

	3)	f (t) =	1		η(t).	4)	f (t) = t2 η(t).
			t −	3
						6) f (t) = tg t η(t).
	5)	f (t) = ch (3 − i)t η(t).
	7)	f (t) = tη(t).				8)	f (t) = η(t)e−t cos t.

2. Користуючись означенням, знайдіть зображення функцій:

1) f (t) = t.		2) f (t) = (t − 1)et .
3)	f (t) = sin 3t.	4)	f (t) = t2 .
5)	f (t) = e2t .	6)	f (t) = (2t − 1)e−t .
7) f (t) = t et .		8) f (t) = tα (α > −1).

3. Знайдіть зображення оригіналів:

	1,	0 ≤ t	< 2,
1)			< 3,
	f (t) = −1, 2 ≤ t
		3 ≤ t.
	0,

4. Користуючись властивостями 20

1) f (t) = sin2t. 3) f (t) = cos3t.

5) f (t) = sinαt cosβt. 7) f (t) = sin4t.

5. Користуючись властивостями 40

1) f (t − 1) = (t − 1)2 η(t − 1). 3) f (t) = et cos nt.

		t,			0 ≤ t < 2,
2)	f (t) =	(4		− t)2	, 2 ≤ t < 4,
			0,		4 ≤ t.

і 30, знайдіть зображення функцій:

2) f (t) = cos2t. 4) f (t) = ch ωt.

6)f (t) = sinαt sinβt.

8)f (t) = cos3ωt.

і50, знайдіть зображення функцій:

2)f (t − b) = sin(t − b)η(t − b).

4)f (t) = e−tt3 .

6. Користуючись властивістю 60, знайдіть зображення функцій:

1)	f (t) = cos2t.	2)	f (t) = cos3t.
3)	f (t) = cos4 t.	4)	f (t) = t sin ωt.

352

7. Користуючись властивістю 70, знайдіть зображення функцій:

1) f (t) = t2 .

2) f (t) = tn .

3)

f (t) = t cos2t.

4) f (t) = t e−3t .

5) f (t) = t(et + ch t).

6) f (t) = t2sh t.

8. Користуючись властивістю 80, знайдіть зображення функцій:

1) f (t) = ∫t

sin τd τ.

2) f (t) = ∫t

(τ + 1)cosτd τ.

0

0

9. Користуючись властивістю 90, знайдіть зображення функцій:

1)

f (t) =

et − 1

.

2)

f (t) =

1− e−t

.

t

t

10. Користуючись властивістю 100, знайдіть зображення функцій:

1)

f (t) = ∫t

(t − τ)2 cos 2τd τ .

2) f (t) = ∫t

τet−τ sin (t − τ)d τ .

0

0

11. Знайдіть зображення функцій, заданих графічно (рис.4.10—4.12):

1)

2)

3)

f(t)

f(t)

f(t)

1

1

t

1

1

О

О

t

2

О

t

1

1

2

–1

Рис. 4.10

Рис. 4.11

Рис. 4.12

Відповіді

1.

1) так;

2) так;

3) ні; 4) так; 5) так;

6) ні; 7) так; 8) так.

2. 1)

1

;

2)

2 − p

;

p

2

( p − 1)

2

3)

3

; 4)

2

; 5)

1

; 6)

1 − p

3. 1)

1

(1 + e−3 p − 2e−2 p ); 2)

1

(2 − 2 pe−2 p −

p2 + 9

p3

p − 2

( p + 1)2

p

2 p2

−

3e

−2 p

+ e

−4 p

);

4.

1)

2

;

2)

p2 + 2

;

3)

p3 + 7 p

;

4)

p

;

p ( p2

+ 4)

p( p2 + 4)

( p2

+ 9)( p2

+ 1)

p2 − ω2

353

α( p2

+ α2 − β2 )

2α βp

1

3

p

4 p

5)

;

6)

;

7)

+

−

;

( p

2

+ α

2

+ β

2

)

2

− 4α

2

β

2

( p

2

+ α

2

+

β

2

)

2

− 4α

2

β

2

8

p

p

2

+ 16

p

2

+ 1

8)

ω( p3 + 7 pω)

.

5. 1)

2e− p

; 2)

e−b p

;

3)

p − 1

;

4)

6

. 6. 1)

p2 + 2

;

2

2

2

2

2

2

4

( p

+ 9ω

)( p

+ ω )

p

p

+ 1

( p − 1)

+ n

( p + 1)

p( p

+ 4)

2)

p3 + 7 p

; 3)

p4 + 16 p2 + 24

;

4)

2 ω p

. 7. 1)

2

;

2)

n!

; 3)

p2 − 4

;

( p2 + 9)( p2 + 1)

p3

pn+1

( p2 + 4)2

p( p2 + 4)( p2 + 16)

( p2 + ω2 )2

4)

1

;

5)

2( p2 + p + 1)

;

6)

2(1 − p2 )(1 + 3p2 )

.

8.

1)

1

;

2)

p3 + p2 + p − 1

.

( p + 3)2

( p2 − 1)2

( p2 − 1)4

p( p2

+ 1)

p( p2

+ 1)2

9. 1) ln

p

;

2) ln

p +1

. 10. 1)

2

;

2)

1

. 11. 1)

1− e− p

; 2)

1− 2e− p + e−2p

;

p2(p2 +

p2(p2 − 2p +

p −1

p

4)

2)

p

p

3)

p(1 − e−2 p ) − (1 − e− p )2

.

p2

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.1. Користуючись властивостями лінійності і подібності, знайдіть зображення функцій.

1.1.1.	f (t) = sin2 5t.
1.1.3.	f (t) = cos	3		t		.
			2
1.1.5.	f (t) = sin2t cos3t.
1.1.7.	f (t) = cos 2t cos7t .
1.1.9.	f (t) = −sin4 t + sh2 3t.
1.1.11.	f (t) = sht sh3t.
1.1.13.	f (t) = sin4 2t.
1.1.15.	f (t) = sin6t cos4t.
1.1.17.	f (t) = cos 2t cos3t.
1.1.19.	f (t) = sin3 4t.
1.1.21.	f (t) = cos		3		t		.
					3

354

1.1.2.	f (t) = cos2 9t.
1.1.4.	f (t) = ch	t		ch t.
	3
1.1.6.	f (t) = sin4t cos5t.
1.1.8.	f (t) = ch3 t.
1.1.10.	f (t) = sin 4t sin 3t.
1.1.12.	f (t) = ch3t − sin2t.
1.1.14.	f (t) = cos			4		t	.
					2
1.1.16.	f (t) = sin4t sin 8t.
1.1.18.	f (t) = cos 2t cos2t .
1.1.20.	f (t) = cos3 3t.
1.1.22. f (t) = sh			2t			ch		3t	.
				5			5

1.1.23.	f (t) = sht ch 2t.	1.1.24.	f (t) = ch3t sh t.
1.1.25.	f (t) = sh2 3t.	1.1.26.	f (t) = ch 3t ch 2t.
1.1.27.	f (t) = sh3t.	1.1.28.	f (t) = ch3 4t.
1.1.29.	f (t) = sin3t cos5t.	1.1.30.	f (t) = sin 2t sin2 t.

1.2. Користуючись властивостями 40

1.2.1.	f (t − 2) = (t − 2)2 η(t − 2).
1.2.3.	f (t − 4) = cos2 (t − 4)η(t − 4).
1.2.5.	f (t − 5) = et −5 η(t − 5).
1.2.7.	f (t − 2) = sin2 (t − 2)η(t − 2).
1.2.9.	f (t) = e− αt cos2βt.
1.2.11.	f (t) = et cos2t.
1.2.13.	f (t) = e2t sh3t.
1.2.15.	f (t) = e3t sin2 2t.
1.2.17.	f (t) = e−2t t3.
1.2.19.	f (t) = e3tsh 4t.

і50, знайдіть зображення функцій.

1.2.2.f (t − 3) = sin2 t − 3 η(t − 3).

					2
1.2.4.	f (t − 1) = e1−t η(t − 1).
1.2.6.	f (t − 3) = cos3 (t − 3)η(t − 3).
1.2.8.	f (t) = e−3t		(2t − 1).
1.2.10.	f (t) = e− αt sin2βt.
1.2.12.	f (t) = e−tt4 .
1.2.14.	f (t) = e4t cos t.
1.2.16.	f (t) = e2t sin5t.
1.2.18.	f (t) = e−3t t2 .
1.2.20.	f (t) = e	−t	cos	2	t	.
					2

1.2.21.	f (t) = e−3tsin2t.			1.2.22.	f (t) = e−2tsin 4t.
1.2.23.	f (t − 3) = e2(t−3) η(t − 3).			1.2.24.	f (t − 1) = cos3	t − 1		η(t − 1).
					2
1.2.25.	f (t − 4) = sin2	t − 4	η(t − 4).	1.2.26.	f (t) = e−4t+ 2η(t − 3).
	4
1.2.27.	f (t) = e−3t cos4t.			1.2.28.	f (t) = e−tt6 .
1.2.29.	f (t) = e−t ch5t.			1.2.30.	f (t) = (3t − 2)e2t .

1.3. Користуючисьвластивостями60 або70, знайдітьзображенняфункцій.

1.3.1.	f (t) = t sin2 2t.	1.3.2.	f (t) = t sin3 t.
1.3.3.	f (t) = tcos2t.	1.3.4.	f (t) = t sin3t.
1.3.5.	f (t) = t cos ωt.	1.3.6.	f (t) = t sh t.

355

1.3.7.	f (t) = t ch t.
1.3.9.	f (t) = t2 cos ωt.
1.3.11.	f (t) = t sin ωt shωt.
1.3.13.	f (t) = t2sin 3t.
1.3.15.	f (t) = t2 sh t.
1.3.17.	f (t) = t cos 5t.
1.3.19.	f (t) = t e−5t .
1.3.21.	f (t) = t(et − ch 2t).
1.3.23.	f (t) = t sh 3t.
1.3.25.	f (t) = t sin t sh t.
1.3.27.	f (t) = t cos t ch t.
1.3.29.	f (t) = t2e−2t .

1.3.8.	f (t) = t ch ωt.
1.3.10.	f (t) = t2sh t.
1.3.12.	f (t) = t cosωt chωt.
1.3.14.	f (t) = t2ch5t.
1.3.16.	f (t) = t2 ch 2t.
1.3.18.	f (t) = t sin 3t.
1.3.20.	f (t) = t2cos t.
1.3.22.	f (t) = (t + 1)sin 2t.
1.3.24.	f (t) = (t2 − 1) sh 2t.
1.3.26.	f (t) = t2ch 2t.
1.3.28.	f (t) = t ch 2t.
1.3.30.	f (t) = t2e4t .

1.4. Користуючисьвластивостями80 або90, знайдітьзображенняфункцій.

1.4.1.	f (t) = ∫t	τsin3τd τ.
	0
1.4.3.	t
	f (t) = ∫	τsh 2τd τ.
	0
	t
1.4.5.	f (t) = ∫	τch ωτd τ.
	0
1.4.7.	t
	f (t) = ∫ sin (2τ − 3)d τ.
	0
	t
1.4.9.	f (t) = ∫ e−3τ sin 5τ d τ.
	0

1.4.2.	f (t) = ∫t	(2τ − 3)cosτd τ.
	0
	t
1.4.4.	f (t) = ∫ cos2 ωτd τ.
	0
	t	τ2 e− τ d τ.
1.4.6.	f (t) = ∫
	0
	t		τ	3	e	2τ
1.4.8.	f (t) = ∫						d τ.
					6
	0

t

1.4.10. f (t) = ∫ e−4τ cos8τ d τ.

0

t

1.4.11. f (t) = ∫ τ cos 4τd τ.

0

1.4.13. f (t) = 1− cos2t . t

356

t

1.4.12. f (t) = ∫ (τ − 2)cos2τd τ.

0

t

1.4.14. f (t) = ∫ (τ − 1)sh 4τd τ.

0

1.4.15.

f (t) =

et

−

1

.

t

1.4.17.

f (t) =

sin2t

.

t

1.4.19.

f (t) =

et

− 1− t

.

t

1.4.21.

f (t) =

e−at sin t

.

t

1.4.23.

f (t) =

cos 3t − cos 2t

.

t

1.4.25.

f (t) =

1 − eat

.

t et

1.4.27.

f (t) =

cos 23t

.

t

1.4.29.

f (t) =

cos t − cos 2t

.

t

1.4.16. f (t)

1.4.18. f (t)

1.4.20. f (t)

1.4.22. f (t)

1.4.24. f (t)

1.4.26. f (t)

1.4.28. f (t)

1.4.30. f (t)

=1 − e−t . t

=1− cos t . t

=(1 − e2t )et 1 .

t

=		sin 7t sin 3t							.
		t
=	1− cos t			e	−t			.
		t
=		e− at sin2bt					.
		t
= e−2t sin 2t						1		.
							t
=		et − e−t		.
		t

1.5. Знайдіть зображення функцій, заданих графічно.

1.5.1.				1.5.2.
f(t)				f(t)
1				O	a	2a	3a
O	a	2a 3a	t				t
				–1
–1

1.5.3.

1.5.4.

f(t)

f(t)

1

1

O

t

О

a

2 3

5

2a

3a

t

–1

–2

–2

357

	1.5.5.				1.5.6.
	f(t)				f(t)
	1				1
	O	a	2a	3a t	O	a	2a	3a t
	–1				–1

1.5.7.

1.5.8.

f(t)

f(t)

2

1

1

O

a

2a

3a t

O

a

2a

3a t

1.5.9.

f(t)

1

O

a 2a t

–1

1.5.11.

	f(t)
	1		3a
	O	a
			5a t
	–1

1.5.13.

	f(t)
	1
	O	a 2a 3a	t
	–1

358

1.5.10.

	f(t)
	1
	O	a	2a	t
	–1

1.5.12.

f(t)
1
O	a 2a 3a 4a	t

1.5.14.

	f(t)
	1
	O	a	2a	t
	–1

	1.5.15.			1.5.16.
	f(t)			f(t)
				2
	1			1
	O	a 2a 3a	t	O
					a 2a		3a		t
	–1			–1

	1.5.17.				1.5.18.
	f(t)				f(t)
	1
	O			t	O			t
		a	2a			a	2a
					–1
	–2				–2

1.5.19.			1.5.20.
f(t)			f(t)
1			1
O	3a	t	O	a 2a		3a	t
a 2a
–1			–1

	1.5.21.			1.5.22.
	f(t)			f(t)
	1			1
	O	a	2a 3a t	O	a	2a	t
	–1			–1

	1.5.23.			1.5.24.
	f(t)			f(t)
	1			1
				O
	O	a 2a 3a	t		a 2a	3a t
				–1

359

	1.5.25.			1.5.26.
	f(t)			f(t)
	O	a 2a	3a t	1	a 2a	3a
	–1			O
						t
	–2			–1

	1.5.27.			1.5.28.
	f(t)			f(t)
	1	a 2a	3a	1
	O			O	a	2a 3a	4at
			t
	–1			–1

	1.5.29.				1.5.30.
	f(t)				f(t)
	2				1
	1
					O
	O			t		a	2a 3a t
		a 2a 3a 4a
	–1				–1

Тема 2. ВІДШУКАННЯ ОРИГІНАЛУ ЗА ЙОГО ЗОБРАЖЕННЯМ.

ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ. ФОРМУЛА ДЮАМЕЛЯ

Обернене перетворення Лапласа. Елементарні засоби відшукання оригіналів. Перша та друга теореми розкладання. Розв’я- зання лінійних диференціальних рівнянь. Інтеграл Дюамеля. Розв’язання систем лінійних диференціальних рівнянь

Література: [4, розділ 2, пп. 2.4—2.7], [5, гл.2, пп. 2.11— 2.12], [12, розділ 32, §3—4], [13, розділ 2, §12—14], [15, розділ 16, п.п. 16.2.6—16.2.8], [17, розділ 9, §33—34]

360