0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Система (5.32) складається з 3n рівнянь та 3n невідомих bi , ci , di ( i = 1, 2, ..., n ). Розв’язавши цю систему, наприклад методом Гаусса, дістанемо сукупність усіх формул для шуканого інтерполяційного сплайна.

Т.4 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Для функції, заданої на проміжку [0; 0,3] таблицею 5.15, побудуйте сплайн-функцію першого степеня.

Таблиця 5.15

x	0	0,1	0,2		0,3
f(х)	0	1	– 1		2

Розв’язання. У даному разі інтерполяційний сплайн має таку структуру:

S (x)1

S(x) = S2 (x)

S (x)

3

За формулою (5.22) дістаємо:

для x [0; 0,1], для x [0,1; 0, 2], для x [0, 2; 0, 3].

	S (x) = 0 +			(x −0)(1−0)		=10x , x [0; 0,1];
	1				0,1−0
	S2	(x) = 1+	(x − 0,1)(−1−1)					= 3 − 20x , x [0,1; 0,2];
					0, 2 − 0,1
	S3	(x) = −1+			(x − 0, 2)(2 + 1)			= 30x − 7 , x[0,2; 0,3].
					0, 3 − 0, 2

Отже, задача розв’язана.

2. Інтерполяційна функція задана таблицею 5.16. Знайдіть значення коефіцієнтів b1 , c1 , d1 , b2 , c2 , d 2 , b3 , c3 , d3 , які визначають кубічний сплайн

	1		(x)	для x [2; 3],
S
			(x)	для x [3; 5],
S(x) = S2
			(x)	для x [5; 7].
S		3

421

				Таблиця 5.16
x	2	3	5	7
f(х)	4	–2	6	–3

Розв’язання. Записуємо вираз для S(x) :

S1 (x) = 4 + b1 (x − 2) + c1 (x − 2)2 + d1 (x − 2)3 , x [2; 3] ;

S

2

(x) = −2 + b (x − 3) + c (x − 3)2 + d

2

(x − 3)3

, x [3; 5] ;

2

2

S

3

(x) = 6 + b (x − 5) + c (x − 5)2 + d

3

(x − 5)3 ,

x [5; 7] .

3

3

Складаємо систему (5.32):

2b1

+ c1 + d1 = −6,

2b

+ 4c

+ 8d

= 8,

2b2

+ 4c2

+ 8d

2

= −9,

3

3

−

3

= 0,

b

− b

− 2c

3d

(5.33)

2

1

1

1

b3

− b2

− 4c2

− 12d2 = 0,

c2

− c1

− 3d1

= 0,

c3

− c2

− 6d2 = 0,

= 0.

c

= 0,

c + 6d

3

1

3

Система (5.33) складається з дев’яти лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язавши цю систему методом Гаусса, дістанемо такі значення (результати округлені до двох знаків після коми):

b1	= −11, 6,	c1	= 5, 6,	d1	= 0,
b2	= −0, 4,	c2	= 6, 6,	d2	= −1, 7,
b3	= 1, 62,	c3	= −4,59,	d3	= 0, 76.

У таблиці 5.17 вміщено результати перевірки всіх умов, які повинен задовольняти знайдений сплайн.

Таблиця 5.17

x	2	3	5	7
f(х)	4	–2	6	–3
S1(х)	4	–2	–	–
S2(х)	–	–2	6	–
S3(х)	–	–	6	–3,04
S1′(x)	–11,6	– 0,4	–	–
S2′(x)	–	– 0,4	1,60	–
S3′(x)	–	–	1,62	–7,62

Проаналізуйте результати таблиці 5.17 самостійно.

422

Т.4 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Для функції, заданої таблицею 5.18,

				Таблиця 5.18
x	0	0,2	0,6	1
f(x)	1	–3	– 1	5

побудуйте сплайн-функцію першого степеня.

2. Нехай функція ƒ(x) задана на проміжку [0; 0,3] таблицею 5.19. Побудуйте кубічну сплайн-функцію.

				Таблиця 5.19
x	0	0,1	0,2	0,3
f(x)	0,5	0,3	0,7	0,6

Відповіді

1. у = 1–20х, якщо x [0; 0,2]; у = 5х – 4, якщо x [0,2; 0,6]; у = 15х – 10, якщо x [0,6; 1]. 2. S1(x) ≈ 193x3– 3,93x + 0,5, x [0; 0,1]; S2(x) ≈ 193(0,2 – x)3 – 173(x – 0,1)3 +

+ 1,07(0,2 – x) + 3,73(x – 0,1), x [0,1; 0,2]; S3(x) ≈ – 173(0,3 – x)3 + 3,73(0,3 – x) + + 6(x – 0,2), x [0,2; 0,3].

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1. Для функції, заданої на проміжку [0; 0,3 + 0,3k] (табл. 5.20), побудуйте сплайн-функцію першого степеня.

				Таблиця 5.20
x	0	0,1 + 0,1k	0,2 + 0,2k	0,3 + 0,3k
f(x)	0	1	– 1	2

Тут k — номер варіанта.

Тема 5. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

Постановка задачі. Принципи побудови методу найменших квадратів. Оцінка якості апроксимації методом найменших квадратів.

Література: [10, розділ 7, с. 134—147], [11], [18, розділ 9, с. 662—665].

423

Т.5 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

5.1. Постановка задачі

Припустимо, що в результаті експерименту одержано набір n пар значень двох змінних величин xi і yi (1 ≤ i ≤ n), які є характеристиками деякого фізичного процесу (у — функція від х). Результати вимірювань подані у таблиці 5.21.

					Таблиця 5.21
х	х1	х2	х3	…		хn
у	y1	y2	y3	…		yn

Потрібно встановити функціональну залежність між цими величинами у вигляді неперервної функції y = ϕ(x), яка б найкраще відбивала характер зміни експериментальних даних.

Для побудови функції y = ϕ(x) використовують метод найменших квадратів, який ґрунтується на мінімізації виразу

δ12 + δ22 + …+ δn2	n
	= ∑ δk2 ,
	k =1

де δk — абсолютна похибка k-го вимірювання.

2. Принципи побудови методу найменших квадратів

Припустимо, вигляд функції y = ϕ(x), що наближає експериментальні дані, відомий. Її вибір, зазвичай, ґрунтується на попередньому (часто візуальному) аналізі поведінки експериментальних даних, зокрема на основі характеру розміщення на координатній площині Оху точок, які відповідають експериментальним даним, або на апріорній інформації щодо законів, що керують перебігом досліджуваного процесу.

Нехай, наприклад, пари значень (x1, y1),

у

yn		δn
y1		δ1
y2
х1 х2	xn	х

Рис. 5.17

424

(x2, y2), ..., (хn, уn) розміщені на координатній площині так, як зображено на рис. 5.17, тобто майже на прямій лінії. Враховуючи, що при проведенні експерименту вимірювання проводяться з похибками, природно припустити, що змінні x і y зв’язані лінійною залежністю

y = аx + b,

(5.34)

де а і b — невідомі параметри.

Знайдемо модуль відхилення (похибки) точок (хk , уk) від прямої (5.34):

δ1 = ax1 + b − y1 , δ2 = ax2 + b − y2 ,

-------------------

δn = axn + b − yn .

За методом найменших квадратів (МНК) сталі а і b визначають так, щоб сума квадратів похибок

Ф(a, b) = δ12 + δ22 + …+ δn2	n
	= ∑ (axk + b − yk )2	(5.35)

k =1

була мінімальною. Шукані значення а і b задовольняють систему рівнянь

∂Ф(a, b)

= 0 ,

∂Ô(a,b)

= 0.

(5.36)

∂a

∂b

Виконаємо перетворення

Ф(a, b) = (ax + b − y )2 + (ax + b − y

2

)2

+ + (ax + b − y

n

)2

=

1

1

2

n

= a2 (x2

+ + x2 ) + nb2

+ ( y2 + + y2 ) + 2ab(x + + x ) −

1

n

1

n

1

n

−2a(x1 y1 + + xn yn ) − 2b( y1 + + yn ) =

n	n	n	n
= a2 ∑ xk2 + nb2	+ ∑ yk2	+ 2ab∑ xk − 2a∑ xk yk
k =1	k =1	k =1	k =1

n

− 2b∑ yk .

k =1

Тепер знайдемо частинні похідні

∂Ф(a, b)		n	n	n
	= 2a∑ xk2		+ 2b∑ xk − 2∑ xk yk ;
∂a		k =1	k =1	k =1
∂Ф(a, b)			n	n
		= 2nb + 2a∑ xk − 2∑ yk .
∂b			k =1	k =1

Отже, система (5.36) набирає вигляду

	n	n	n
a∑ xk2		+ b∑ xk	=∑ xk yk ,
	k =1	k =1	k =1	(5.37)
	n		n
a∑ xk		+ b n	= ∑ yk .
	k =1		k =1

Одержана система — це система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих а і b, її розв’язання не вимагає значних зусиль (можна, наприклад, скористатися методом Гаусса або методом Крамера).

425

Зауваження.

1. Можна довести, що система (5.37) має єдиний розв’язок. Для цього достатньо перевірити, що основний визначник системи не дорівнює нулю.

Справді,

	n	n
	∑ xk2	∑ xk	n		n		2
	k =1	k =1					= ∑ (xi − x j )2 > 0.
			= n∑ xk2	−	∑ xk
	n		k =1	k =1			i, j
	∑ xk	n
							i< j

k=1

2.Умова (5.36) є лише необхідною умовою екстремуму функції двох змінних Ф(a, b) . Проте можна показати, що єдиний розв’язок системи —

пара (a, b) є точкою мінімуму функції Ô (a,b). Справді,

∂

2

Ф

n

∂

2

Ф

n

∂

2

Ф

=

2∑ xk2 ,

= 2∑ xk ,

= 2n.

∂a2

∂a∂b

∂b2

k =1

k =1

Тоді

∂ 2Ф ∂2Ф

∂2Ф 2

n

2

n

2

2

=

2

2

−

=

4n∑ xk

−

2∑ xk =

4∑ (xi − x j )

> 0 .

∂a

∂b

∂a∂b

k =1

k =1

i, j

i< j

Оскільки > 0 і ∂2Ф > 0, тофункція Ф(a,b) уточці (a,b) сягає мінімуму.

∂a2

3. Покажіть самостійно, що у разі припущення між x і y лінійної залежності y = ax , число а знаходять за формулою

n

∑ xk yk

a = k =1 .

n

∑ xk2

k =1

Нехай тепер функція, що наближує експериментальні дані, має три невідомі параметри a, b, c, тобто y = ϕ(x, a, b, c). За критерій вибору значень a, b, c, при яких функція y = ϕ(x, a, b, c) щонайкраще буде наближати експериментальні значення, використовують суму квадратів різниць значень функційy = ϕ(x, a, b, c) іyi = f(xi) уточках x = xi , тобтофункціоналвигляду

n
Φ (a, b, c) = ∑ ( f (xi ) − ϕ(xi , a, b, c))2 .	(5.38)

i=1

426

Задача зводиться до відшукання такого набору значень a, b, c, при якому функціонал (5.38) набиратиме мінімального значення з усіх можливих. Для пошуку мінімуму Φ (a, b, c) використовують необхідну умову екстремуму функції кількох змінних, а саме: прирівнюють до нуля всі частинні похідні функціонала Φ (a, b, c) за його аргументами a, b, c:

	∂Ф(a, b)	= 0,	∂Ф(a, b)	= 0,	∂Ф(a, b)	= 0.	(5.39)
	∂a		∂b		∂c

Нехай функціонал Φ (a, b, c) має вигляд квадратного тричлена:

Φ(a, b, c) = ax2 + bx + c.

Уцьому разі після належних перетворень система рівнянь (5.39) набуває вигляду

a n x4

∑ ii=1

na∑ xi3

i=1n

a∑ xi2

i=1

n

+ b∑ xi3

i=1

n

+ b∑ xi2

i=1

n

+ b∑ xi

i=1

n	n
+ c∑ xi2	= ∑ ( yi xi2 ),
i=1	i=1
n	n
+ c∑ xi	= ∑ ( yi xi ),	(5.40)
i=1	i=1

n

+ c n = ∑ yi .

i=1

Отримана система є системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) відносно невідомих a, b, c. Коефіцієнтами (5.40) є, окрім кількості експериментальних точок n, такі суми:

n	n	n	n	n	n	n
∑ xi4 ,	∑ xi3 ,	∑ xi2	, ∑ xi ,	∑ ( yi xi2 ) ,	∑ ( yi xi ) ,	∑ yi , (5.41)
i=1	i=1	i=1	i=1	i=1	i=1	i=1

які легко знаходяться за відомими значеннями координат експериментальних точок xi та yi. Лінійність системи (5.40) дозволяє використовувати для її розв’язання довільний метод розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, зокрема методи Гаусса, Крамера або інші методи, які більшою мірою адаптовані до специфіки та особливостей конкретного випадку, що розглядається. Знайдені в результаті розв’язання значення a, b, c завершують, як зазначалося вище, процес визначення залежності, що апроксимує експериментальні дані. Зауважимо, що підібрана таким чином функція

Φ (a, b, c) називається рівнянням регресії.

427

5.3. Оцінка якості апроксимації методом найменших квадратів

Якість апроксимації експериментальних даних знайденої аналітичної залежності оцінюється так званою залишковою дисперсією або дисперсією адекватності

		n
		∑ ( yi − ϕ(xi , a, b, c))2
	S 2 =	i=1	,	(5.42)
		n − k

де n — число дослідних значень, k — кількістю коефіцієнтів (параметрів апроксимуючої залежності)

При наближенні одного й того самого набору експериментальних даних функціями y = ϕ(x, a, b, c) різного вигляду, значення дисперсії адекватності, яке визначається відповідно до формули (5.42), може слугувати критерієм, за яким вибирається найкращий із розглянутих видів апроксимуючих функцій. Для кількох різних функцій із різною, в загальному випадку, кількістю параметрів k, кращою слід визнати ту з них, для якої значення дисперсії адекватності S2, визначене за формулою (5.42), виявиться найменшим щодо значень цієї величини для інших розглянутих функцій.

Т.5 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Результати вимірювань величин х і у подано у табл. 5.2.

						Таблиця 5.22
х	–2	–1	0	1	2	3
у	3,4	2,3	1,9	1,7	1,2	0,6

Установіть залежність між величинами х і у і визначте параметри емпіричної формули.

Розв’язання. Зобразимо на координатній площині точки (–2; 3,4), (–1; 2,3), (0; 1,9), (1; 1,7), (2; 1,2), (3; 0,6) (рис. 5.18). З рисунка видно, що ці точ-

ки розміщені приблизно на деякій прямій y = аx + b, отже, можемо припустити, що між х і у існує лінійна залежність y = аx + b.

Результати вимірювань величин х і у та підсумки їх обробки занесемо в таблицю 5.23.

				Таблиця 5.23
k	xk	yk	xk yk		xk2
1	–2	3,4	–6,8		4
2	–1	2,3	–2,3		1

428

Закінчення табл. 5.23

k	xk	yk	xk yk	xk2
3	0	1,9	0	0
4	1	1,7	1,7	1
5	2	1,2	2,4	4
6	3	0,6	1,8	9
Σ	3	11,1	–4,2	19

Система рівнянь (5.37) набирає вигляду

19a + 3b = −42,3a + 6b = 11,1,

розв’язок якої а = – 0,5, b = 2,1.

Отже, залежністьміж х і у виражаєтьсянаближеноюформулою

у= – 0,5х+2,1.

2.Результати вимірювань величин х і у подано в табл. 5.24.

							Таблиця 5.24
х	–3	–2	–1	0	1	2		3
у	0	0	1	2	3	5		8

Установіть залежність між величинами х і у і визначте параметри емпіричної формули.

Розв’язання. Зобразимо на координатній площині Оху точки (–3; 0), (–2; 0), (–1; 1), (0; 2), (1; 3), (2; 5), (3; 8). Помічаємо, що ці точки незначно відхи-

ляються від точок дуги деякої параболи (рис. 5.19).

Отже, припускаємо, що між х і у існує квадратична залежність

y = ax2 + bx + c .

у

3

1

–2 –1 О 1 2 3 х

Рис. 5.18

у

8

1
–3 О	1 3 х

Рис. 5.19

429

Результати вимірювань величин х і у та підсумки їх обробки занесемо в таблицю 5.25.

Таблиця 5.25

k	xk	xk2	xk3	xk4	yk	xk yk	yk xk2
1	–3	9	–27	81	0	0	0
2	–2	4	–8	16	0	0	0
3	–1	1	–1	1	1	–1	1
4	0	0	0	0	2	0	0
5	1	1	1	1	3	3	3
6	2	4	8	16	5	10	20
7	3	9	27	81	8	24	72
Σ	0	28	0	196	19	36	96

Система (5.40) набуває вигляду

196a				+		28c = 96,
				28b		= 36,
				+		7c = 19.
28a
Розв’язавши цю систему, дістанемо
a =	5		, b =		9	, c =	37	.
					7
21						21

Отже,

y = 215 x2 + 97 x + 3721 .

Характер проходження графіка апроксимуючої кривої (рис. 5.19) дає можливість зробити висновок про те, що знайдена залежність відбиває загальну тенденцію зміни отриманих експериментальним шляхом значень.

Проаналізуйте результати таблиці 5.25 самостійно.

Зауваження. Якщо між x і y припускається залежність y = ax2 , то сума квадратівпохибок δk = axk2 − yk ( k = 1, 2, ..., n ) найменшатоді, коли

		n
		∑ yk xk2
	a =	k =1	.
		n
		∑ xk4
		k =1

430