1.3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

За допомогою систем лінійних алгебраїчних рівнянь моделюється переважна більшість практичних задач з економіки.

,

(1.14)

де – коефіцієнти рівняння;– невідомі рівняння;– вільні члени рівняння.

Розв’язком системилінійних алгебраїчних рівнянь називають таку сукупність чисел, яка перетворює всі рівняння (1.14) на числові тотожності.

Якщо права частина (1.14) дорівнює нулю , то систему рівнянь називаютьоднорідною, абонеоднорідною, якщо.

Система рівнянь (1.14) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, інесумісною, якщо не має жодного розв’язку.

Складемо визначник третього порядку з коефіцієнтів систем – головний визначник системи:

.

(1.15)

Можливі наступні випадки розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

1) , тоді система (1.14) має єдиний розв’язок, який можна знайти або за формулами Крамера, або методом Гаусса, або матричним способом;

2) , тоді система (1.14) або несумісна, або має безліч розв’язків.

Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за формулами Крамера:необхідно скласти три визначники третього порядку з головного визначника (1.15) шляхом перестановки замість 1, 2, 3–го стовпця стовпець вільних членів – цедодаткові визначники

.

(1.16)

За формулами Крамера розв’язок системи рівнянь (1.14) має такий вигляд:

.

(1.17)

Метод Гаусса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь:метод послідовних вилучень невідомих, запропонований Гауссом можна розглянути на прикладі системи (1.14), поділивши перше рівняння на, друге – на, третє – на, матимемо:

,

(1.18)

де . Віднявши від другого і третього рівняння перше, дістанемо

,

(1.19)

де .

Поділивши перше рівняння на , а друге – на, отримаємо

.

(1.20)

Віднявши перше рівняння від другого, дістанемо

,

(1.21)

звідки

.

(1.22)

Тепер можна знайти та.

Матричний метод розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь:якщо систему (1.14) записати в матричній формі

.

(1.23)

де – матриця коефіцієнтів системи;

– матриця невідомих;

– матриця вільних членів.

.

(1.24)

Помножимо (1.23) на обернену матрицю . Оскільки, то дістанемо матричний спосіб розв’язування систем:

.

(1.25)

Розглянемо однорідну систему рівнянь:

.

(1.26)

Складемо головний визначник системи. При розв’язанні системи (1.26) можуть бути випадки:

1) , тоді система (1.26) має єдиний нульовий розв’язок, тобто;

2) , тоді система (1.26) може мати безліч ненульових розв’язків, тобто буде неозначеною. У цьому випадку одне з рівнянь системи є лінійною комбінацією двох інших і може бути відкинуте. Тоді система буде складатися з двох рівнянь з трьома невідомими і матиме, наприклад, вигляд:

.

(1.27)

Нехай із трьох визначників другого порядку цієї системи хоча б один не дорівнює нулеві, наприклад, визначник із коефіцієнтів при невідомих та:

.

(1.28)

Тоді система (1.27) є невизначеною і має безліч розв’язків, які знаходять за формулами:

.

(1.29)

де ,,– довільне дійсне число.

Може бути випадок, коли усі три визначники системи (1.27) дорівнюють нулю. Тоді одне з рівнянь системи є наслідком іншого і може бути відкинуто. Залишається одне рівняння системи (1.27), наприклад, перше. Якщо, наприклад, , то система має розв’язок, що знаходять за формулами:

,

(1.30)

де – довільні дійсні числа.