Індивідуальне завдання за темою „Лінійна алгебра”

Завдання І.Задані матриці. Необхідно:

1. Знайти величину визначника матриці () трьома способами:

а) використавши правило трикутника (правило Саррюса);

б) розклавши визначник за елементами того рядка, який містить нуль;

в) одержавши два нулі в будь-якому рядку і розклавши визначник по елементах цього рядка.

2. Знайти матрицю , якщо, де– одинична матриця третього порядку.

3. Знайти два можливі добутки, утворені з матриць .

4. Знайти матрицю , обернену до матриці.

Варіант 1
Варіант 2
Варіант 3
Варіант 4
Варіант 5
Варіант 6
Варіант 7
Варіант 8
Варіант 9
Варіант 10
Варіант 11
Варіант 12
Варіант 13
Варіант 14
Варіант 15
Варіант 16
Варіант 17
Варіант 18
Варіант 19
Варіант 20
Варіант 21
Варіант 22
Варіант 23
Варіант 24
Варіант 25
Варіант 26
Варіант 27
Варіант 28
Варіант 29
Варіант 30

Завдання ІІ.Знайти величину визначника четвертого порядку, скориставшись його властивостями та одержавши три нулі в будь-якому рядку.

Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3
Варіант 4	Варіант 5	Варіант 6
Варіант 7	Варіант 8	Варіант 9
Варіант 10	Варіант 11	Варіант 12
Варіант 13	Варіант 14	Варіант 15
Варіант 16	Варіант 17	Варіант 18

Варіант 19	Варіант 20	Варіант 21
Варіант 22	Варіант 23	Варіант 24
Варіант 25	Варіант 26	Варіант 27
Варіант 28	Варіант 29	Варіант 30

Завдання ІІІ.Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь трьома способами:

а) за формулами Крамера;

б) методом Гаусса;

в) методом оберненої матриці.

Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3
Варіант 4	Варіант 5	Варіант 6
Варіант 7	Варіант 8	Варіант 9
Варіант 10	Варіант 11	Варіант 12

Варіант 13	Варіант 14	Варіант 15
Варіант 16	Варіант 17	Варіант 18
Варіант 19	Варіант 20	Варіант 21
Варіант 22	Варіант 23	Варіант 24
Варіант 25	Варіант 26	Варіант 27
Варіант 28	Варіант 29	Варіант 30

Розділ 2. Векторна алгебра

2.1 Поняття вектора та лінійні операції над векторами

У математиці та прикладних дисциплінах розглядаються як скалярні, так і векторні величини.

Скалярна величинахарактеризується тільки своїм числовим значенням, наприклад: маса, енергія, площа, об’єм та інше.

Векторомназивається величина, що характеризується як числовим значенням, так і напрямком, наприклад: швидкість, прискорення, сила. Вектор, як направлений відрізок, позначаєтьсяабо(точка– початок і точка– кінець вектора).

Вектор має довжину та напрямок. Довжина вектора називається модулемта позначаєтьсяабо.

Одиничним векторомабоортомназивається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.Нульовим векторомназивається вектор, якщо його довжина дорівнює нулеві.

Два вектори називаються протилежними, якщо вони мають однаковий модуль та протилежний напрямок.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих.

Три вектори називаються компланарними, якщо вони розміщені в одній площині, або паралельні одній і тій же площині.

Лінійні операції над векторами:

1) Додавання векторів.

Два вектори геометрично додаються за правилом паралелограма або правилом трикутника.

Правило паралелограма: векторє сумою двох векторівта, тобто, якщо векторрозташований на діагоналі паралелограма, який побудований на векторахта, як на його сторонах, причому початок вектораспівпадає з початком векторівта(рис. 2.1).

Рис. 2.1	Рис. 2.2

Правило трикутника: векторє сумою двох векторівта, тобто, якщо початок вектораспівпадає з початком вектора, кінець вектора- з кінцем вектора, причому початок вектораповинен співпадати з кінцем вектора(рис. 2.2).

Властивості суми векторів:

• ;

• ;

• ;

• .

2) Віднімання векторів.

Різницею двох векторів тає третій вектор, який в сумі з векторомдорівнюють вектору(рис. 2.3).

3) Множення вектора на скаляр.

Добутком вектора на скалярє вектор, довжина якого дорівнює, якщовектормає той же напрямок, що і вектор; якщовекторнаправлений у протилежну сторону вектора(приклади на рис.º2.4).

Рис. 2.3	Рис. 2.4

Властивості множення вектора на скаляр:

• ;

• ;

• .

Нехай маємо векторівтаскалярних величин.

Запишемо лінійну комбінацію цих векторів, використовуючи скаляри, тобто розглянемо суму векторів .

Складемо рівність:

.

(2.1)

Якщо виконується рівність (2.1) при умові , то векториназиваютьсялінійно незалежними.

Якщо рівність (2.1) виконується і хоча б частина скалярів не дорівнює нулеві, то ці вектори називаютьсялінійно залежними.

Іншими словами, вектори називаються лінійно залежними, якщо будь-який з них можна виразити через лінійну комбінацію інших.

Проекція вектор на вісь

Нехай існує вектор та вісь(рис. 2.5). Вектор,– кут між векторомта віссю, точкита– проекції точоктана вісь.

Проекцією вектората вісьбуде величина відрізка.

Рис. 2.5

Проекціявектората вісьдорівнює добутку довжини векторана косинус кута між напрямком вектората додатнім напрямком осі:

.

(2.2)

Оскільки може бути в залежності від значення кутадодатною або від’ємною величиною, то і проекція вектора на вісь може мати: знак „+”, якщо кут–гострий; знак „–”, якщо кут–тупий.

Властивості проекції на вісь:

• 

• ;

• ;

• проекція замкнутої векторної лінії на вісь дорівнює нулю.