2.2 Вектори у декартовій системі координат

У прямокутній декартовій системі координат розглянемо довільний вектор (рис. .6).

Вектор називають полярнимрадіусом-векторомточкиМ. Спроектуємо цей вектор на координатні осі. Інакше кажучи, розкладемо векторна складові вектори за координатними осями. Як показано на рис. 2.6 точки– проекції точкина відповідні координатні осі.

Вектори – складові вектораза відповідними координатними осями.

Рис. 2.6

Вектор є сумою векторів, тобто

.

(2.3)

Кожний з цих складових векторів можна надати у вигляді: ,,, де– базисні вектори декартової системи координат у просторі. Підставляючи ці значення в (2.3), одержуємо:

,

(2.4)

де – скалярні величини, які називаються координатами радіус-векторау заданому базисі.

Точка має координати свого радіус-вектора, тобто. Координати точки у просторі або її радіус-вектороднозначно вказують на її положення в просторі відносно вибраної системи координат.

Довільний вектор можна надати у вигляді:

.

(2.5)

Подання вектора у вигляді суми компонентів (2.5) називається розкладанням вектора за координатним базисом (рис. 2.7).

Довжина (модуль) векторавизначається за формулою

.	(2.6)
Рис. 2.7

На рисунку 2.7 вектор утворює з координатними осямикутивідповідно. Тодіназиваютьсянапрямними косинусамивектора. Очевидно, напрямні косинуси та модуль вектора повністю визначають положення вектора у просторі. Враховуючи властивості проекції вектора на вісь, маємо:

, ,;	(2.7)
	(2.8)

Лінійні операції над векторами у координатній формі:

Дано вектори та:

1) додавання та віднімання

;	(2.9)
;	(2.10)

2) множення вектора на скаляр

.

(2.11)

Умови колінеарності двох векторів тавизначаються співвідношенням

.

(2.12)

2.3 Скалярний добуток векторів

Скалярним добуткомдвох векторівта(рис. 2.8) називається скаляр, який дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

.	(2.13)
Рис. 2.8

Фізичне тлумачення скалярного добутку двох векторів полягає в тому, що такий добуток являє собою роботу, виконану при переміщенні матеріальної точки під дією одного вектора вздовж другого.

Беручи до уваги властивості проекції вектора на вісь, маємо (рис. 2.9)

.

(2.14)

Властивості скалярного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , якщо;

6) добутки ортів ,.

Якщо вектори задані в координатній формі та, то скалярний добуток векторів можна записати у вигляді (2.15)

.

(2.15)

Основні задачі, які розв’язуються з використанням скалярного добутку векторів:

1) довжина вектора

;

(2.16)

2) косинус кута між векторами

;

(2.17)

3) проекція вектора на інший вектор

;

(2.18)

4) умова перпендикулярності

.

(2.19)

2.4 Векторний добуток векторів

Векторним добуткомвекторівтаназивається вектор, який задовольняє умови:

– напрям вектора такий, що він перпендикулярний до площини, в якій лежать векторита, тобто;

– вектор утворює з векторамитатак звану праву трійку векторів, тобто векторпроведений так, що спостерігач бачить з його кінця найкоротший шлях від векторадо векторапроти годинникової стрілки (рис. 2.9);

– довжина вектора визначається за формулою (2.20)

.	(2.20)
Рис. 2.9

Геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма, сторонами якого є дані вектори.

Властивості векторного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , якщо;

6) добутки ортів ,,,,,,.

Якщо вектори задані в координатній формі та, то векторний добуток векторів можна записати у вигляді (2.21)

.

(2.21)

Основні задачі, які розв’язуються з використанням векторного добутку векторів:

1) площа паралелограма, побудованого на векторах та

;

(2.22)

2) площа трикутника, побудованого на векторах та

;

(2.23)

3) висота паралелограма

;

(2.24)

4) висота трикутника

.

(2.25)