12.7. Поняття про ядро перерізу

Розглянемо деякі характерні властивості, пов'язані з поведінкою нульової лінії при різних положеннях сили (Рис.12.22). Якщо сила прикладена в центрі ваги перерізу при, то нульова лінія відтинає на осівідрізок, який дорівнює нескінченності:

.

Це означає, що нульова лінія буде розташована паралельно осі .

Припустимо, що сила переміщується уздовж прямої лінії, яка проходить через центр ваги перерізу, але не співпадає з жодною з головних осей інерції. У цьому випадку нульова лінія буде переміщатися паралельно самій собі (Рис.12.22). Щоб це довести, запишемо співвідношення відрізків, що відтинаються нульовою лінією на осях координат:

.

Звідси можна зробити висновок, що тангенс кута нахилу нульової лінії не залежить від чисельного значення координат точки прикладення сили, а залежить від їх співвідношення.

Припустимо тепер, що сила переміщується уздовж осівід центра ваги до краю перерізу. У цьому випадку нульова лінія переміщується з нескінченності до перерізу, залишаючись увесь час паралельною осі. На рис.12.22 показані точки прикладення сили 1,2,3,4. Нульова лінія при цьому відповідно займає положення II, IIII, IIIIII, IVIV.

Розглянемо ще одну характерну властивість поведінки нульової лінії [6]. Припустимо, що сила переміщується по прямій АВ, яка не проходить через центр ваги перерізу (Рис.12.23). Для двох крайніх випадків, коли сила прикладена в точках А і В, нульові лінії паралельні відповідним осямі.

Рис.12.22

Припустимо, що ці лінії перетинаються в деякій точці D. Зважаючи на те, що ця нульова лінія належить двом нульовим лініям, напруження в ній від двох сил, одночасно прикладених у точках А і В, дорівнюють нулю. Прикладемо тепер силу в точці С, що лежить на прямій АВ (Рис.12.23). Цю силу можна розкласти на дві паралельні складові і, прикладені у точках А і В. Від цих двох складових, а отже, і від їх рівнодіючої напруження в точці D дорівнюватимуть нулю. Зважаючи на те, що точка С була взята довільно, при будь-якому положенні силина прямій АВ напруження в точці D дорівнює нулю.

Рис.12.23

Звідси можна зробити висновок, що при переміщенні точки прикладення сили уздовж прямої АВ нульова лінія обертається навколо точки D, займаючи послідовно положення ,,.

Розглянемо випадок позацентрового стискання колони довільного поперечного перерізу. Припустимо, що сила переміщується від центра ваги перерізу уздовж прямої лінії ОА (Рис.12.24). Нульова лінія також переміщується з нескінченності в напрямку центра ваги перерізу, залишаючись увесь час паралельною первісному своєму положенню.

Рис.12.24

В процесі свого переміщення нульова лінія торкнеться перерізу в якій-небудь точці і займе положення II. Цьому положенню нульової лінії на прямій ОА буде відповідати точка №1, до якої буде прикладена сила . Якщо силу пересунути за точку №1 далі від центра ваги, то нульова лінія також переміститься і перетне переріз, розділивши його на стиснуту і розтягнуту зони. Таким чином, точка №1 лежить на межі області, за яку не можна переміщати силу, якщо ми не хочемо, щоб у поперечному перерізі виникли розтягальні напруження.

Точно так само на прямих ОВ і ОС можна визначити точки №2 і №3, що мають ті ж самі властивості, що і точка №1. Дотичні IIII і IIIIII є нульовими лініями для тих випадків, коли сила прикладена в точках №2 і №3.

Якщо тепер думкою провести нескінченну безліч прямих, що виходять з точки О, і визначити на них граничні точки, то геометричне місце цих точок утворить криву, яка окреслить навколо центра ваги перерізу деяку зону, звану ядром перерізу, тобто зону, характерну тим, що всяка поздовжня сила, прикладена усередині цієї зони, викликає у всіх точках поперечного перерізу напруження одного знаку.

Дуже важливо заздалегідь знати розміри ядра перерізу і його форму для конструкцій, виготовлених з матеріалів, які незадовільно працюють на розтягання (камінь, бетон, чавун та ін.). Щоб побудувати ядро перерізу, необхідно розглянути всілякі положення дотичних до контуру перерізу і, припускаючи, що ці дотичні є нульовими лініями, знайти стосовно головних осей інерції перерізу відповідні координати граничних точок ядра перерізу, а потім по цих точках окреслити саме ядро.

Приклад 12.9. Побудувати ядро перерізу для прямокутного перерізу зі сторонами і(Рис.12.25,а).

Рис.12.25

Розв’язок:

1. Задамо положення для нульової лінії II таким чином, щоб нульова лінія торкнулася перерізу і збіглася з його верхньою крайкою. У цьому випадку, відрізок, що нульова лінія відітне на осі дорівнюватиме. Відрізок.

2. З рівняння нульової лінії знаходимо граничне положення точки прикладення сили  координати точки №1:

. . (а)

3. Задамо положення для нульової лінії IIII таким чином, щоб нульова лінія торкнулася перерізу і збіглася з його правою крайкою. У цьому випадку, відрізок, що нульова лінія відітне на осі дорівнюватиме. Відрізок.

4. З рівняння нульової лінії знаходимо граничне положення точки прикладення сили  координати точки №2:

. . (б)

5. Задаючи подібним чином положення для нульової лінії IIIIII і IVIV, знайдемо координати точок №3 і №4:

. ; (в)

. . (г)

6. Відкладаємо знайдені координати від осей координат і будуємо точки №1, №2, №3 та №4. Щоб встановити, яким чином з'єднувати точки №1, №2, №3 і №4, будемо обертати нульову лінію, що проходить через точку А перерізу, переводячи її з положення II у положення IIII. На підставі доведеного вище в цьому випадку будь-яка точка, що лежить на відрізку 12, буде переміщуватися уздовж прямої лінії. Тому, завершуючи побудову ядра перерізу, з'єднуємо точки прикладення сили №1, №2, №3 та №4 прямими лініями (Рис.12.25,а).

Ядро перерізу для прямокутного перерізу являє собою ромб. Такої самої форми буде ядро перерізу для будь-якої фігури, яка має дві осі симетрії і вписується в прямокутник, наприклад, двотавр (Рис.12.25,б).

Для круглого суцільного перерізу радіуса через його полярну симетрію ядро перерізу також має форму круга, радіус якогознайдемо з формули:

. (12.36)