Определитель квадратной матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу произвольного порядка. Определитель (детерминант) матрицы обозначаетсяили.

Определение 1.10.Определителем, соответствующим квадратной матрице- го порядка, называется число, полученное из элементов этой матрицы по следующим правилам:

– определитель - го порядка равен алгебраической суммеэлементов матрицы;

– каждое слагаемое представляет собой произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Сомножители располагаются таким образом, чтобы первым был элемент из первой строки, вторым - элемент из второй строки и т.д.;

– слагаемое берется со знаком плюс, если число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей четное, и со знаком минус – в противном случае.

Итак, по определению имеем:

В последней формуле суммирование распространяется на все перестановки , которые можно составить из чисел.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть . В общем виде определитель второго порядка записывается следующим образом:

.

Членом такого определения будет произведение вида:

где – любая перестановка из чисел 1, 2. Возможных перестановок две:. В первом случае имееминверсий, а во втором – одну. Следовательно, в первом случае четное число инверсий, а во втором – нечетное.

Следовательно,

.

Таким образом, определитель второго порядка, соответствующий квадратной матрице второго порядка, равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пусть . Определитель третьего порядка имеет вид

.

Членами определителя третьего порядка являются произведения вида: где– перестановки из чисел. Таких возможных перестановок шесть:

Отметим, что первая группа перестановок имеет четное число инверсий, вторая – нечетное, поэтому:

Минор и алгебраическое дополнение

Пусть – определитель матрицы-го порядка.

Определение 1.11.Миноромэлементаопределителя- го порядка называется определитель-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием-й строки и-го столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Определение 1.12.Алгебраическое дополнениеэлементаопределителяравно минору этого элемента, умноженному на, т.е.

.

Например, если задан определитель третьего порядка

, то

;.

В то же время

;. Свойства определителей

Приведем ряд свойств, которыми обладает определитель -го порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов.

При транспонировании матрицы величина ее определителя сохраняется, т.е. .

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов).

Если в определителе поменять местами два параллельных ряда (две строки или два столбца) то его знак изменится на противоположный.

3. Линейное свойство определителя.

Если в определителе -го порядканекоторая-я строкаявляется линейной комбинацией двух строкис коэффициентамии, то

,

где - определитель, у которого-я строка равна, а все остальные такие же строки, как и у, а- определитель, у которого-я строка равна, а все остальные строки те же, что и у.

Следующие пять свойств являются логическим следствием трех основных свойств.

4. Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы некоторого ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, то определитель равен нулю.

7. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.

8. Если к элементам какого-либо ряда определителя добавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число k, то значение определителя при этом не изменится.

9. Теорема ЛАПЛАСА (разложение определителя по элементам строки или столбца).

Определитель произвольного порядка равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Например,

.

10. Свойство алгебраических дополнений параллельных рядов.

Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ему ряда равна нулю. Например,