Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Система mлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными имеет вид:

(1.2)

Совокупность чисел , которые, будучи подставленными в систему (1.2) вместо неизвестных, обращают все уравнения СЛАУ в числовые тождества, называетсярешением системы.

Если система (1.2) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае –несовместной.

Совместная система может обладать либо единственным решением, либо бесчисленным множеством решений.

Пусть А - матрица коэффициентов системы, - вектор- столбец неизвестных,- вектор-столбец свободных членов. Тогда в матричном виде система запишется в виде

Если количество уравнений m равно количеству неизвестных n, система имеет квадратную матрицу А порядка n. Определитель называетсяопределителем системы.

Правило Крамера

Теорема 1.6.Если определитель системыотличен от нуля (т. е. r(A) = n), то система совместна и имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

( j = 1, 2, ..., n ), (1.3)

где есть определитель, полученный из определителя системызаменой j-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (1.3) называютсяформулами Крамера.

Доказательство

Поскольку , матрица А коэффициентов системы невырожденная и имеет обратную матрицу А^-1, причем А^-1 является единственной.

Умножим левую и правую части системы АX = B на А^-1

слева. Получим А^-1АX = А^-1-B, откуда EX= А^-1B и, окончательно,

X= А^-1B (1.4)

Решение (1.4) – единственное решение СЛАУ в силу единственности существования обратной матрицы.

Запишем равенство (1.4) в координатной форме:

Выражение b₁A_1j + b₂A_2j+ ...+ b_nA_njесть разложение определителяпо элементам j-го столбца (теорема Лапласа).

Таким образом, (j = 1, 2, ..., n).

Задача 1.6. Решить СЛАУ

Решение

Найдем определитель системы

, следовательно, система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера. Вычислим вспомогательные определители:

Тогда решение СЛАУ

; ;

Матричный метод

Для систем с невырожденной квадратной матрицей коэффициентов системы довольно часто используют матричный метод.

Итак, пусть система уравнений заданная своей матричной формой записи:

.

В соответствии с условием задачи матрица есть невырожденной, тогда у нее существует обратная матрица , причем такая матрица будет единственной.

;

;

;

.

Последнее соотношение задает матричную форму решения систем линейных алгебраических уравнений размерностей с невырожденной матрицей коэффициентов .

Задача 1.7.Найти решение СЛАУ матричным методом

Решение

Вычислим определитель матрицы коэффициентов системы

Поскольку , то исходная система имеет единственное решение.

На следующем этапе необходимо найти обратную матрицу к матрице коэффициентов системыA.

Для этого найдем соответствующие алгебраические дополнения.

; ;;

; ;;

; ;.

Присоединенная матрица будет иметь вид

.

Обратная матрица определяется таким образом:

.

Непосредственно решение исходной системы найдем из соотношения:

.

Итак, ,.

Проверка:

СЛАУ решена верно.