Практическое правило вычисление определителей

При вычислении определителей широко используются формулы разложения по строке или столбцу (теорема Лапласа), а также свойство, позволяющее, не изменяя величины определителя, преобразовать его к такому виду, когда какой-либо ряд содержит максимально возможное число нулей. Именно этот ряд рационально принять в качестве ряда для разложения по Лапласу. Такой подход к вычислению определителей называется правилом понижения порядка.

Задача 1.2.Вычислить определитель

В качестве ряда для разложения рационально использовать вторую строку, которая содержит два нулевых элемента. Для уменьшения объема последующих вычислений можно добиться большего числа нулей в этой строке. Работать будем со столбцами. Сложим соответствующие элементы второго и третьего столбцов и запишем результат на месте третьего столбца.

Используя свойство 8, добавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на число 2. Получим

Далее разложим определитель по элементам второй строки.

.

Теперь в определителе четвертого порядка добьемся наибольшего числа нулей в третьей строке. Для этого умножим на элементы первой строки и сложим их с соответствующими элементами третьей строки.

.

Разложим определитель четвертого порядка по элементам третьей строки

.

В определителе третьего порядка добьемся наибольшего числа нулей во втором столбце. Будем работать со строками. Все элементы первой строки умножим на число и сложим с соответствующими элементами третьей строки

.

Применим теорему Лапласа, выбрав в качестве ряда для разложения второй столбец. Получим:

.

Наконец, вычисляя определитель второго порядка, окончательно имеем

Обратная матрица

Одно из важнейших свойств умножения чисел состоит в том, что для каждого числа , отличного от нуля, существует обратноетакое, что

.

Оказывается, что нечто подобное имеет место и для матриц, причем роль условия играет условие, состоящее в том, что определитель матрицыотличен от нуля.

Определение 1.13.Квадратная матрица называетсяневырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случаематрица называетсявырожденной.

Определение 1.14.Матрицаназывается обратной по отношению к матрице, если выполняется соотношение:

.

Условие существования обратной матрицы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1.1.Для того, чтобы квадратная матрицаимела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Обратная матрица находится по следующей схеме:

1. Вычисляется определитель исходной квадратной матрицы-го порядка.

2. Формируется матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной квадратной матрицы. Такая матрица называетсясоюзной по отношению к матрицеи обозначается:

.

3. Транспонируют союзную матрицу, определяя тем самым так называемую присоединенную матрицу. Такая матрица обозначаетсяи выглядит следующим образом:

.

4. Обратная матрица по отношению к матриценаходится по формуле:

.

Задача 1.3.Дана матрица. Найти обратную матрицу по отношению к заданной.

Вычислим определитель матрицы .

.

Матрица невырождена, следовательно, обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов определителя.

;;;

;;;

;;.

Формируем союзную матрицу

.

Определим присоединенную матрицу

.

Найдем обратную матрицу по отношению к матрице:

.