Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

01 случайные события / 05_геометрическое представление событий

.doc
Скачиваний:
24
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
508.42 Кб
Скачать

§5. Геометрическое представление событий и их вероятностей.

Диаграммы Эйлера.

Новые определения.

Многие задачи, связанные со случайными событиями и с подсчетом вероятностей случайных событий гораздо удобнее и проще решать, если пользоваться изложенными в этом параграфе методами – геометрическим представлением событий. Метод был предложен Леонардом Эйлером.

Все возможные исходы опыта будем изображать точками единичного квадрата (квадрата со стороной, равной единице).

Исходы, благоприятствующие событию Аточками области А.

Изобразим достоверное и невозможное события.

По классическому определению для подсчета вероятности нужно подсчитывать количество исходов: благоприятствующих А, и всех возможных.

Геометрически исходы изображаются точками. Измерить количество точек можно площадью. Поэтому общее количество исходов интерпретируем как площадь квадрата (равна 1). Количество исходов, благоприятствующих событию А – площадью круга А. Вероятность события – это отношение этих двух площадей:

( 12 )

Чем больше у события благоприятствующих исходов, тем больше точек включается в круг А, тем больше его площадь, т.е., вероятность события. Максимально возможная площадь – это площадь всего квадрата, т.е. единица.

Изобразим операции над событиями: сумму и произведение.

Сумма ( она же объединение ) событий А и В включает в себя все исходы, принадлежащие А (при них появляется событие А)

и все исходы, принадлежащие В

(при них появляется событие В)

объединение исходов

Произведение ( оно же пересечение ) событий А и В включает в себя все исходы, принадлежащие

обоим событиям А и В одновременно.

пересечение двух множеств исходов

Это наглядное представление очень облегчает решение многих задач и позволяет анализировать свойства вероятностей. Мы будем его постоянно использовать, когда будем строить формулы для:

  • вероятностей суммы событий и

  • вероятностей произведения событий

А сейчас рассмотрим примеры:

Пример 1:

Опыт – извлечение одной карты из колоды.

С

обытие
А – появление туза

Событие В – появление туза черной масти

Что представляют собой события: A + B, A · B ?

Изобразим геометрически множества исходов каждого события, учитывая, что событие B

это частный случай события A

Теперь совершенно очевидно, что

A + B = A , A · B = B .

Пример 2:

Используя геометрическое представление событий, определить:

ч

то представляют собой события:
A + U, A · U, A + V, A · V ?

Попробуйте разобрать этот пример самостоятельно. Ответы проверьте, посмотрев в конец параграфа.

Дадим несколько новых определений:

Пример 1:

О

пыт – бросание монеты.

События: А – появление герба, В – появление решки.

События несовместные, они не могут появиться вместе в одном опыте.

Пример 2:

Опыт – два человека стреляют в цель.

События: А – попадание 1-го, В – появление попадание 2-го.

События совместные, они могут оба попасть в цель.

Пример 3:

Опыт – бросание кубика.

События: А – выпадение четного числа очков.

В – выпадение числа очков, большего четырех.

Выпишем исходы, из которых состоят эти события:

А = { 2, 4, 6 } В = { 5, 6 }

Эти события появятся вместе, если выпадет { 6 } они совместны.

Общее правило: События совместны, если у них есть общие исходы.

Если общих исходов нет, события несовместны.

Геометрическое представление:

О8 События А1 , А2 , А3 , . . . , Аn образуют полную группу если

в результате опыта обязательно появляется хотя бы одно из них.

Это же определение можно записать иначе, формулой:

Левая часть равенства – хотя бы одно событие, правая часть – обязательно.

Пример 1:

Опыт – бросание кубика.

События: А1 – выпадение четного числа очков;

А2 – выпадение числа очков, большего либо равного 5;

А3 – выпадение 1;

А4 – выпадение числа очков, меньшего либо равного 4.

Проверить, образуют ли они полную группу.

Чтобы ответить на этот вопрос нужно выписать исходы, из которых состоят эти события:

А1 = { 2, 4, 6 }

А2 = { 5, 6 }

А3 = { 1 }

А4 = { 1, 2, 3, 4 }

Перебираем по порядку все возможные исходы опыта и проверяем, появляются ли перечисленные выше события:

Выпадает { 1 }появляются А3 и А4 ;

Выпадает { 2 }появляются А1 и А4 ;

Выпадает { 3 }появляется А4 ;

и т.д.

Убеждаемся, что какое бы число ни выпало, обязательно появляется одно или несколько из записанных событий. Значит, эти события образуют полную группу.

Пример 2:

Опыт – пытаются поступить на работу в банк два выпускника ДУЭП.

События: А1 – первого из них в банк приняли;

А2 – на работу приняли только одного.

Проверить, образуют ли они полную группу.

В

ыписываем все возможные исходы опыта, используя для удобства такую символику

1 = { + , + }первого приняли, второго приняли

2 = { + , – }первого приняли, второго нет, и т.д.

3 = { – , + }

4 = { – , – }

Теперь рассмотрим, из каких исходов состоят заданные события:

А1 = { 1, 2 }

А2 = { 2, 3 }

Убеждаемся, что при появлении исхода ( 4 ) ни одно из записанных событий не происходит. Следовательно, эти события не образуют полную группу.

Замечание :

Для того, чтобы некоторый набор событий составлял полную группу,

все исходы опыта должны быть между этими событиями распределены.

Геометрическое представление полной группы:

Полная группа

Все исходы опыта

распределены между событиями

Это же определение тоже можно записать формулами:

Пример 1:

Опыт – бросание кубика.

События: А – выпадение числа очков, большего 4;

А – выпадение числа очков, меньшего либо равного 4.

Замечание :

Обычно, не задумываясь, говорят, что противоположным к больше 4 будет слово меньше. Но при этом теряется один исход: равно 4. И тогда нет полной группы.

Пример 2:

Опыт – бросание точки случайным образом на числовую ось

События: А – точка попадает в область ( -4 ≤ x < 5 );

А ( –∞ < x < – 4) или ( 5 ≤ x < + ∞)

Пример 3:

Событие B = A 1· A 2 + A 1 · A 2 .

Что представляет собой событие B ?

Здесь событие B связано с появлением или непоявлением некоторых двух событий A 1 и A 2. Перечислим все возможные исходы, связанные с появлением или непоявлением этих событий:

1 = { + , + }первое событие появилось, второе появилось;

2 = { + , – }первое событие появилось, второе нет, и т.д.

3 = { – , + }

4 = { – , – }

Событие B включает в себя исходы 3 и 1 : B = { 3 , 1 }.

В противоположное B нужно включить все оставшиеся исходы:

B = { 2 , 4 } = A 1· A 2 + A 1 · A 2.

.

А теперь пример, который будет очень важным для нас, когда мы будем подсчитывать вероятность суммы событий

Пример 4:

Событие B = A 1+ A 2 + A 3 .

Что представляет собой событие B ?

Событие B это сумма, т.е., появление хотя бы одного из слагаемых.

Хотя бы одного – это значит: или одного, или двух, или всех трех.

На долю противоположно события остается один исход:

не появление ни одного.

Итак: B = A 1· A 2 · A 3

Выделим особо этот полученный результат. Он нам очень понадобится в дальнейшем:

( 16 )

Ответ к примеру:

Пример 2:

Используя геометрическое представление событий, определить:

ч

то представляют собой события:
A + U, A · U, A + V, A · V ?

A + U = U, A · U = A,

A + V = A, A · V = V .

Это, кстати означает, что:

событие U играет среди событий ту же роль, что и число 1 среди чисел,

событие V играет среди событий ту же роль, что и число 0 среди чисел.