- •Нүктенің жылдамдығы мен үдеуі
- •Векторлық тәсіл. Нүктенің уақыттағы орны радиус-вектормен, ал уақыттағы орны радиус-вектормен анықталсын (4-сурет). Осы векторлардың айырмасын арқылы белгілейік, яғни
- •Координаталық тәсіл. Декарттық координата жүйесіндегі нүкте қозғалысын қарастырайық. Сонда бірлік вектоларының тұрақты екендігін ескеріп, (11) өрнегінен мынаны аламыз:
- •Табиғи тәсіл. Нүктенің уақыттағы орны радиус-вектормен, ал уақыттағы орны радиус-вектормен анықталсын (6а-сурет).
- •Нүкте қозғалысының кейбір дербес жағдайлары
- •Өзіндік бақылау сұрақтары:
- •Қатты дененің тұрақты өсті айнала қозғалуы
- •Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайлары
- •Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы мен үдеуі
- •Өзіндік бақылау сұрақтары:
- •Жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы
- •Жылдамдықтардың лездік центрінің орнын анықтаудың дербес жағдайлары
- •Жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің үдеуі
- •Жылдамдықтарды қосу туралы теорема
- •Үдеулерді қосу туралы Кориолис теоремасы
- •Өзіндік бақылау сұрақтары:
Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайлары
Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайын қарастырайық.
-
Бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық жылдамдығы тұрақты болады (=const). Бұрыштық жылдамдықтың алгебралық шамасы тек таңбасымен ерекшеленетін болғандықтан, ол да тұрақты: . Сонда (7) өрнегінен мынаны аламыз:
немесе , (10)
демек бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық үдеуі нөлге тең.
Енді (4) өрнегін dt-ға көбейтіп, интегралдасақ қатты дененің бірқалыпты айналу заңын алуға болады:
. (11)
-
Бірқалыпты айнымалы айналу кезінде дененің бұрыштық үдеуі тұрақты болады (). Бұл жағдайда бұрыштық үдеудің алгебралық шамасы да тұрақты: .
(7) өрнегін dt-ға көбейтіп, интегралдаймыз:
,
сонда бірқалыпты айнымалы айналу кезіндегі бұрыштық жылдамдықтың өзгеру заңын аламыз:
. (12)
Енді (12) өрнегінен дененің бірқалыпты айнымалы айналу заңы алынады:
. (13)
Егер бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеудің таңбалары бірдей болса дененің айналуы бірқалыпты үдемелі, бірдей болмаса – бірқалыпты кемімелі деп аталады.
Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы мен үдеуі
Дене уақытта бұрышқа бұрылсын делік. Осы кезде айналу өсінен h қашықтықта жатқан нүкте жол жүріп өтеді. 5ә-суретте Oz өсін айналатын дененің М нүктесі сызатын шеңбер бейнеленген. Осы нүкте жылдамдығының жанама өске проекциясын былай жазуға болады:
. (14)
Бұл жерде шеңбер доғасының ұзындығы оның радиусы мен осы доғаны керетін бұрыштың көбейтіндісіне тең екендігі ескерілген, яғни . Сонда нүкте жылдамдығының шамасы (сызықтық жылдамдық) дененің бұрыштық жылдамдығының модулі мен осы нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісі ретінде анықталады:
. (15)
Нүкте жылдамдығының векторы шеңберге жанама бойымен (5-сурет) бұрыштық жылдамдық бағытына қарай бағытталады.
М нүктесі жылдамдығының векторын бұрыштық жылдамдықтың векторы мен осы нүктенің радиус-векторының векторлық көбейтіндісі арқылы да жазуға болады (5а-сурет):
. (16)
М нүктесінің үдеуін анықтау үшін оның (16) жылдамдығы векторынан уақыт бойынша туынды алу керек:
.
, ал екенін ескерсек:
. (17)
(17) өрнектің бірінші қосылғышын нүкте үдеуі векторының айналмалы құраушысы деп атап, былай белгілейміз:
,
ал екінші қосылғышын центрге тартқыш құраушысы деп атап, былай белгілейтін боламыз:
.
Сонымен, айналмалы қозғалыстағы дененің М нүктесі үдеуінің векторы оның айналмалы және центрге тартқыш құраушыларының геометриялық қосындысына тең екен:
. (18)
а) ә)
5-сурет
М нүктесі үдеуінің құраушыларының абсолют шамалары нүктенің айналмалы және центрге тартқыш үдеулері деп аталады. 5а) суреттен болғандықтан, екі вектордың векторлық көбейтіндісінің модулін анықтау ережесі бойынша
,
демек нүктенің айналмалы үдеуі бұрыштық үдеу мен нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең екен:
. (19)
Дәл осылай центрге тартқыш үдеу үшін де
(15) өрнегін ескерсек, нүктенің центрге тартқыш үдеуі бұрыштық жылдамдық квадраты мен нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең болады:
(20)
Векторлардың векторлық көбейтіндісінің ережесі бойынша анықталған векторы шеңберге жанама бойымен бұрыштық үдеудің бағытына қарай, ал векторы – шеңбер радиусымен айналу өсіне қарай бағытталады (6-сурет). 6-суреттен нүктенің толық үдеуінің шамасын анықтаймыз:
. (21)
Нүктенің толық үдеуінің векторы М нүктесі сызатын шеңбер радиусымен бұрышын құрайды. Бұл бұрыштың тангенсі (6-сурет):
немесе (19) пен (20) өрнектерін ескере отырып мынаны аламыз:
. (22)