Оулы 1-2

таңбаны С 0 болатын етiп таңдап көбейтетiн болсақ, онда
xcos ysin p 0	(4.10)

теңдеуiн аламыз. Бұл теңдеу түзудiң нормаль теңдеуi деп аталады. Мұндағы p координаталар бас нүктесiнен түзуге түсiрiлген перпендикулярдың ұзындығы, ал осы перпендикулярдың Ox өсiнiң оң бағытымен жасайтын бұрышы болып табылады.

5) Берiлген нүкте арқылы өтетiн коэффициентi белгiлi түзу теңдеуi.

Егер түзу M0(x0, y0) нүктесi арқылы өтетiн болса және бұрыштық коэффициентi k болса, онда түзудiң теңдеуi келесi формуламен өрнектеледi

y y0 k(x x0) (4.11)

6) Түзудiң канондық теңдеуi.

Егер жазықтықта	M0(x0, y0) нүктесi және s m;n векторы берiлсе,
онда берiлген нүкте	арқылы өтiп, берiлген векторға параллель болатын

түзудiң теңдеуi
		x x0					y y0			(4.12)
								n
			m
формуласымен жазылады және түзудiң канондық теңдеуi деп аталады.
7)	Түзудiң параметрлiк теңдеуi.
	Жоғардағы (4.12) теңдеуiн қандай да бiр t									параметрiне теңестіру арқылы
мына теңдеудi аламыз:
			x x0				mt			(4.13)
						.
			y y0 nt
	Бұл түзудiң параметрлiк теңдеуi деп аталады.
8)	Екi нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуi.
	Жазықтықта M1(x1,y1) және M2(x2,y2)									нүктелерi берiлсе, онда осы екi
нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуi
			x x1					y y1		(4.14)
			x2 x1					y2 y1

формуласымен жазылады.

9) Түзулердiң арасындағы бұрыш.

Егер түзулер жалпы теңдеулерi

l1 : A1x B1y C1 0 және l2 : A2x B2 y C2 0

түрiнде берiлсе, онда олардың арасындағы бұрышын мына формуламен табамыз:

cos			A1A2 B1B2						.	(4.15)
		A2 B2			A2	B	2
1			1	2			2
Егер
A1A2 B1B2				0						(4.16)

теңдiгi орындалса, онда берiлген екi түзу бiр-бiрiне перпендикуляр, ал егер

53

	A1		B1		C1	(4.17)
	A2		B2		C2

теңдiгi орындалса, онда берілген екi түзу бiр-бiрiне параллель болады. Егер түзулер бұрыштық коэффициент теңдеулерiмен берiлсе, яғни

l1 : y k1x b1 және l2 : y k2x b2

болса, онда олардың арасындағы бұрышын мына формуламен табамыз:

tg

k2 k1

.

(4.18)

1 k1k2

Егер k k

1

немесе

k

1

болса,

онда

екi түзу

бiр-бiрiне

k2

1

2

1

перпендикуляр,

ал егер

k1 k2

болса,

онда екi

түзу

бiр-бiрiне

параллель

болады.

10) Түзулердiң қиылысуы.

Егер түзулер жалпы теңдеулерi

l1 : A1x B1y C1 0 және l2 : A2x B2y C2 0

түрiнде берiлiп және

A1

B1

болса, онда бұл екi түзу қиылысады. Қиылысу

A2

B2

нүктесiнiң координаттарын осы екi түзудi бiрiктiрiп шешу арқылы табамыз. Қиылысу бұрышының биссектриса теңдеуiн

A1x B1y C1

A2x

B2 y

C2

0

(4.19)

A2 B2

A2

B2

1

1

2

2

формуласымен анықтаймыз.

Егер l1 : A1x B1y C1

0

және

l2 : A2x B2 y C2

0

түзулерi

қиылысатын болса, онда

A1x B1y C1 A2x B2 y C2 0

(4.20)

теңдеуi қиылысу нүктесiнен -нiң әрбiр мәнiне сәйкес әртүрлi түзулер өтетiн түзулер шоғырын бередi.

11) Нүктеден түзуге дейiнгi арақашықтық.

Жазықтықтағы	берiлген M(x0;y0)								нүктесiнен	жалпы	теңдеуi
Ax By C 0 түзуiне дейiнгi арақашықтық
	d		Ax0 By0 C								(4.21)
				A2 B2
теңдеуiмен анықталады.
Мысалы, ABC	үшбұрышының A(4;3),								B( 3; 3),	C(2;7) үш	төбесі

берiлсiн. Есептеңіз:

1)AB қабырғасының теңдеуiн;

2)CH биiктiгiнiң теңдеуiн;

3)A нүктесi арқылы өтетiн BC қабырғасына параллель болатын түзудiң теңдеуiн;

4)AD медианасының теңдеуiн;

54

5) B нүктесiнен AC қабырғасына дейiнгi арақашықтықты;

6)ABC үшбұрышының ауданын. Шешуi:

1)Екi нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуі (4.14) формуласын қолданып, AB қабырғасының теңдеуiн аламыз:

													x 4			y 3	,
													3 4			3 3
	бұдан 6(x 4)						7(y 3) немесе 6x 7y 3 0 болады;
	2) (4.8) негiзiнде AB түзуiнiң теңдеуiнен y																	6	x		3	теңдеуiн аламыз,
					6										7					7
	демек k					. Ал CH биiктiгiнiң AB түзуiне перпендикулярлығын ескерсек,
	1			7
	k2	7		болады. Ендi CH								биiктiгiнiң теңдеуi								C(2;7)			нүктесiнен	өтетiн
	6								7
	коэффициентi						k2					болатын				түзудiң				теңдеуiн			бередi.	(4.11)
							6
	формуласының негiзiнде:
							y 7	7		(x 2) немесе					7x 6y 56 0 болады;
							6

3) Екi нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуi (4.14) формуласын ескерiп, BC қабырғасының теңдеуiн мына түрде жазамыз:

		x 3		y 3
				7 3
		2 3
бұдан 10(x 3) 5(y 3)	немесе 2x y 3 0					y 2x 3 демек	k1 2

болады. A(4;3) нүктесi арқылы өтiп, BC қабырғасына параллель болатын түзудiң бұрыштық коэффициентi k2 2 сондықтан (4.11) формуласын қолданып y 3 2(x 4) немесе 2x y 5 0 теңдеуiн аламыз;

4) AD медианасының теңдеуiн жазу үшiн BC қабырғасының ортасы D(x;y) нүктесiнiң координаттарын (4.2) формуласын қолданып табамыз:

						x			3 2				1	және y		3 7	2,
													2			2
			1					2
	сондықтан D(				;2)		болатындықтан,								(4.14)	формуласын қолданып, AD
	2
	медианасының теңдеуiн жазамыз:
			x 4							y 3	немесе				2x 9y 19 0 болады;
		1				4
					2					2 3

5) (4.14) формуласын ескерiп, AC қабырғасының теңдеуiн аламыз:

55

	x 4			y 3		немесе 4(x 4) 2(y 3)								2x y 11 0 болатындықтан
	2 4			7 3
														нүктесiнен AC қабырғасына
(4.21)			формуласын ескере отырып, B( 3; 3)
дейiнгi арақашықтықты табамыз:
						d		2 ( 3) 1 ( 3) 11						20
																			4 5;
									22 1					5

6) ABC үшбұрышының ауданын есептеу үшiн (4.5) және (4.6) формулаларын қолданамыз:

1 1 1

4 3 2 21 12 6 9 6 28 40,

3 3 7

S 1 40 20. 2

4.2 №4 өздiк жұмыс тапсырмалары

ABC үшбұрышының A(x1; y1), B(x2;y2), C(x3;y3) үш төбесi берiлсiн. Есептеңіз:

1)AB қабырғасының теңдеуiн;

2)CH биiктiгiнiң теңдеуiн;

3)A нүктесi арқылы өтетiн BC қабырғасына параллель болатын түзудiң теңдеуiн;

4)AD медианасының теңдеуiн;

5)B нүктесiнен AC қабырғасына дейiнгi арақашықтықты;

6)ABC үшбұрышының ауданын.

1.1A( 2;4), B(9;8), C(6;7).

1.2A( 8; 5), B(9;4), C(3;0).

1.3A(2;5), B( 3; 1), C(9;3).

1.4A(1;0), B( 1;8), C(9; 5).

1.5A(1; 2), B(5; 1), C(3;4) .

1.6A(2; 3), B(1;8), C(6;7) .

1.7A( 8;9), B(6;5), C(4;3).

1.8 A(4;8), B(7;3), C(1;6) .

1.9A(6; 4), B(8;2), C(3; 5).

1.10A(3; 3), B(5; 7), C(6;9).

1.11A(1;6), B(3;4), C( 3;5).

1.12A( 4;2), B(8; 6), C( 2;6).

1.13A( 5;2), B(0;4), C(5;7).

1.14A(5;3), B(6;2), C( 1;8).

56

1.15A( 3;8), B(7;2), C(0; 5).

1.16A(0; 9), B(3; 1), C( 4;1).

1.17A(4;0), B( 3; 1), C(7;8).

1.18A(4;2), B(6; 4), C(3; 9).

1.19A(3;1), B( 1; 3), C( 6;2).

1.20A(7; 2), B( 3;4), C(5; 5).

1.21A(1; 4), B(7;5), C(3;4) .

1.22A(9; 2), B(4;5), C(0;1) .

1.23A(3; 1), B(0; 5), C(8;1).

1.24A(2;6), B(3;5), C(4;0) .

1.25A( 7;2), B(3;8), C( 4;6).

1.26A(0;2), B(7; 4), C(3; 2).

1.27A(5; 5), B(1;3), C( 8; 4).

1.28A(1;3), B(0;5), C( 2;4).

1.29A( 5; 1), B(5; 2), C(1;4).

1.30 A(3;5), B(9;1), C(0;8) .

4.3 Кеңiстiктегi координаттар әдiсi

Егер кеңiстiкте тiк бұрышты декарттық координаталар жүйесi берiлсе, онда кеңiстiктегi M нүктесiнiң координаттарын M(x;y;z) деп белгiлеймiз, мұндағы x абсциссасы, y ординатасы, z апликатасы болады.

Кеңiстiктiң екi A(x1;y1;z1) және B(x2; y2;z2) нүктелерiнiң арақашықтығы

d (x	2	x )2	(y	2	y )2	(z	2	z )2	(4.22)
		1			1			1

формуласымен анықталады.

Дербес жағдайда M(x;y;z) нүктесiнен координаталардың бас нүктесiне дейiнгi арақашықтық

d

x2 y2

z2

(4.23)

формуласымен анықталады.

Егерде шеткi нүктелерi A(x1;y1;z1) және B(x2; y2;z2) нүктелерi болатын кесiндiнi C(x;y;z) нүктесi қатынасында бөлсе, онда C нүктесiнiң

координаталары мына формуламен анықталады:

x1 x2

;

y1 y2

;

z1 z2

.

(4.24)

x

y

z

1

1

1

Бұл формула кесiндiнi берiлген қатынаста бөлу формуласы.

Егер C нүктесi кесiндiнiң ортасы болса, онда

x1 x2

;

y1 y2

;

z1 z2

(4.25)

x

y

z

2

2

2

57

теңдіктері орындалады.
Мысалы, A(2;4; 2)	және B( 2;4;2) нүктелерiн қосатын кесiндiнi
C(x;y;z) нүктесi 3	қатынасында бөлетін болсын. C нүктесiнiң

координаталарын есептеңіз.

Шешiмi: Кесiндiнi берiлген қатынаста бөлу формуласы (4.24) пайдаланып, мына теңдеулерді аламыз:

			2 3 ( 2)	1,			4 3 4	4,			2 3 2	1.
	x				y				z
			1 3				1 3				1 3

Сонымен жауабы: C( 1;4;1).

4.4Кеңiстiктегi жазықтық теңдеулерi

1)Жазықтықтың жалпы теңдеуi.

Кеңiстiктегi тiк бұрышты декарттық координаталар жүйесiнде кез келген жазықтықтың жалпы теңдеуi келесi түрде жазылады

Ax By Cz D 0

(4.26)

мұндағы A,B,C,D теңдеудiң коэффициенттерi деп аталады, сонымен бiрге A2 B2 C2 0 болуы керек.

Жазықтықтың жалпы теңдеуінiң дербес түрлерiн төмендегідей түрде анықтаймыз: егер Ax By Cz D 0 жалпы теңдеуiнде

1)A 0 болса, онда By Cz D 0 жазықтығы Ox өсiне параллель болады;

2)B 0 болса, онда Ax Cz D 0 жазықтығы Oy өсiне параллель болады;

3)C 0 болса, онда Ax By D 0 жазықтығы Oz өсiне параллель болады;

4)D 0 болса, онда Ax By Cz 0 жазықтығы координаталардың бас

нүктесi арқылы өтедi;

5) A B 0 болса, онда Cz D 0 жазықтығы Oz перпендикуляр (Oxy жазықтығына параллель) болады;

6) A C 0 болса, онда By D 0 жазықтығы Oy перпендикуляр (Oxz жазықтығына параллель) болады;

7) B C 0 болса, онда Ax D 0 жазықтығы Ox перпендикуляр (Oyz жазықтығына параллель) болады;

8)A D 0 болса, онда By Cz 0 жазықтығы Ox өсi арқылы өтедi;

9)B D 0 болса, онда Ax Cz 0 жазықтығы Oy өсi арқылы өтедi;

10)C D 0 болса, онда Ax By 0 жазықтығы Oz өсi арқылы өтедi;

11)	A B D 0	болса,	онда	Cz 0	(z 0)	жазықтығы	Oxy
жазықтығымен беттеседi;
12)	A C D 0	болса,	онда	By 0	(y 0)	жазықтығы	Oxz
жазықтығымен беттеседi;
13)	B C D 0	болса,	онда	Ax 0	(x 0)	жазықтығы	Oyz
жазықтығымен беттеседi;

58

2)Жазықтықтың кесiндiдегi теңдеуi.

Егер жазықтықтың жалпы теңдеуiндегi D 0 коэффициентi болса, онда (4.26) теңдеуінiң барлық мүшелерiн D-ға бөлiп, жазықтық теңдеуін былай жазамыз:

x

y

z

1,

(4.27)

D

D

a b

c

мұндағы a

,

b

,

c

D

тең. Бұл теңдеу жазықтықтың кесiндiдегi

A

B

C

теңдеуi деп аталады. (4.27) теңдеуiндегi a,b,c жазықтықтың Ox,Oy және Oz өстерiмен қиылысу нүктелерiнiң сәйкес абсциссасы, ординатасы және апликатасы болып табылады.

3)Жазықтықтың берiлген нүкте арқылы өтетiн нормаль векторы бойынша теңдеуi.

Кеңiстiктегi Oxyz тiкбұрышты декарттық координат жүйесiнде қандайда

бiр жазықтық берiлсiн. Осы жазықтықтың теңдеуi жазықтықта жататын

M0(x0;y0;z0) нүктесi мен осы жазықтыққа		перпендикуляр	болатын
N Ai Bj Ck	(N A;B;C ) вектор арқылы	толық анықталады. Ал
N A;B;C векторы жазықтыққа нормаль вектор деп аталады. Қарастырып
отырған жазықтық теңдеуi мына түрде жазылады:
	A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0.		(4.28)

4)Берiлген үш нүкте арқылы өтетiн жазықтық теңдеуi.

Кеңiстiкте M1(x1; y1;z1), M2(x2;y2;z2) және M3(x3; y3;z3) үш нүктесi арқылы өтетiн жазықтық теңдеуiн жазу керек болсын. Ол үшiн M1(x1;y1;z1)

нүктесiн жазықтықтың берiлген нүктесi деп алып, жазықтықтың нормаль

векторын

табу

үшiн M1M2

және M1M3

векторларының

векторлық

көбейтiндiсiн табамыз:

M1M2 x2 x1;y2

y1;z2 z1

және

M1M3 x3 x1;y3

y1;z3 z1

болғандықтан

i

j

k

y2 y1

z2 z1

M

M

M

M

x

x

y

y

z

z

i-

1

2

1

3

2

1

2

1

2

1

y

3

y

z

3

z

x3 x1

y3 y1

z3 z1

1

1

-

x2 x1

z2 z1

j+

x2 x1

y2 y1

k

болады.

x3 x1

z3 z1

x3 x1

y3 y1

Бұл теңдеудi үш вектордың компланарлық шартын ескере отырып, жазуға да болады. Ол үшiн жазықтықтың бойында жататын қандайда бiр

M(x;y;z) нүктесiн алып, M1M , M1M2 және M1M3 векторларын құрастырамыз. Сонда векторлардың компланарлық шарты бойынша

59

x x1	y y1	z z1
x2 x1	y2 y1	z2 z1	0	(4.29)
x3 x1	y3 y1	z3 z1

анықтауышымен анықталады. Бұл теңдеу үш нүкте арқылы өтетiн

жазықтық теңдеуi деп аталады.

5) Екi жазықтықтың арасындағы бұрыш.

Кеңiстiкте екi жазықтық жалпы теңдеулерiмен берiлсiн.

Мысалы, P1 : A1x B1y C1z D1 0 және P2 : A2x B2 y C2z D2 0

жазықтықтары берілсе, онда олардың арасындағы бұрыш деп сәйкес нормаль

векторлары N1 A1;B1;C1

және

N

2 A2;B2;C2

арасындағы

бұрышты

алуға болады, ол бұрыш

cos

N1

N2

A1

A2

B1

B2 C1 C2

(4.30)

N1

N2

A2 B2

C2

A2 B2

C2

1

1

1

2

2

2

теңдеуімен анықталады. Сонымен екi жазықтықтың арасындағы бұрыш осы формуламен есептелiнедi.

Егер

	A1		B1		C1		D1	(4.31)
	A2		B2		C2		D2

шарты орындалса, онда берiлген P1 және P2 жазықтықтары параллель, ал егер

A1 A2 B1 B2 C1 C2 0, (4.32)

шарты орындалса, онда берiлген P1 және P2 жазықтықтары перпендикуляр болады.

6) Жазықтықтың нормальдық теңдеуi.

Егер жазықтықтың нормаль векторы N координат өстерiмен сәйкес, және бұрыштарын жасайтын болса, онда ол келесi түрде жазылады:

N cos i cos j cos k.	(4.33)
Жазықтықтан қандайда бiр M0(x0;y0;z0) нүктесiн алсақ,	онда (4.28)
теңдiгiн пайдалана отырып, жазықтық теңдеуiн былай жазамыз:
cos (x x0 ) cos (y y0 ) cos (z z0 ) 0.
Жақшаларды ашып бұл теңдеудi мына түрде жазамыз:

cos x cos y cos z (cos x0 cos y0 cos z0) 0.

Бұл теңдеудегi жақша iшiндегi өрнек координатаның бас нүктесiнен жазықтыққа дейiнгi арақашықтықты бередi, сондықтан оны p cos x0 cos y0 cos z0 деп белгiлесек жазықтық теңдеуiн былай

жазамыз:
cos x cos y cos z p 0.	(4.34)

Осы теңдеу жазықтықтың нормаль теңдеуi деп аталады.

60

7) Нүктеден жазықтыққа дейiнгi арақашықтық.

Кеңiстiкте қандайда бiр M0(x0;y0;z0) нүктесi және жазықтық жалпы теңдеуi Ax By Cz D 0 арқылы берiлсiн. Онда нүктеден жазықтыққа дейiнгi ара қашықтық мына формуламен есептелiнедi:

d	Ax0	By0	Cz0	D			.	(4.35)

A2 B2 C2

4.5 Кеңiстiктегi түзу теңдеулерi

Кеңiстiктегi түзулердiң берiлу әдiстерiне байланысты олардың теңдеулерi де әртүрлi болады:

1) Түзудiң векторлық теңдеуi.

Кеңiстiкте l түзуiнiң бойында жататын M0(x0;y0;z0) нүктесi мен осы түзуге параллель s m;n; p векторы, яғни бағыттаушы векторы берiлсе, түзудiң теңдеуiн толық анықтауға болады. Ол үшiн түзудiң бойында жататын

тағы бiр M(x;y;z) нүктесiн алып,	M0(x0;y0;z0) және M(x;y;z)
нүктелерiнiң радиус-векторларын сәйкес	r0 OM0	және r OM деп

белгiлеймiз. Сонда OM OM0 M0M теңдiгi орындалады мұндағы M0M

векторы l түзуiнiң бойында жататын болғандықтан	s m;n; p векторына
коллинеар болады. Қарастырып отырған M0M ts тең болатындықтан
r r0 ts	(4.36)

теңдеуімен анықталады. Осы теңдеу жазықтықтың векторлық теңдеуi деп аталады.

2) Түзудiң параметрлiк теңдеуi.
Ендi (4.36) теңдеуiн координаталық түрде жазамыз.					Ол үшiн
r OM xi y j zk,	r0 OM0 x0i y0		j z0k	және ts tmi tn j tpk
болатынын ескерiп, (4.36) теңдеуiнен
	x x0 mt
		nt			(4.37)
	y y0
		pt
	z z0

теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл теңдеулер жүйесі кеңiстiктегi түзудiң

параметрлiк теңдеуi деп аталады.

3) Түзудiң канондық теңдеуi.

Түзудiң параметрлiк теңдеуi (4.37) теңдеулер жүйесiнiң әрбiр теңдеуiнен

параметр t-ны табатын болсақ, онда
	x x0		y y0		z z0	(4.38)
	m		n		p

61

теңдеуi кеңiстiктегi түзудiң канондық теңдеуi деп аталады. Мұндағы m,n, p

түзудiң бағыттаушы s m;n; p	векторының	координаттары болып
табылады.
4) Екi нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуi.
Кеңiстiкте екi M1(x1; y1;z1) және M2(x2;y2;z2)		нүктелерi берiлсiн. Осы

екi нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуiн жазу үшiн, бағыттаушы вектор s ретiнде M1M2 векторын аламыз.

s M1M2 (x2 x1)i (y2 y1)j (z2 z1)k

Ендi M1(x1; y1;z1) нүктесi арқылы өтетiн және бағыттаушы векторының

координаттары m x2 x1,		n y2 y1,			p z2 z1		болатын түзудiң
канондық теңдеуiн жазамыз:
	x x1		y y1		z z1	.	(4.39)
	x2 x1		y2 y1
					z2 z1

Осы теңдеу кеңiстiктегi екi нүкте арқылы өтетiн түзудiң теңдеуi деп аталады.

5) Түзудiң жалпы теңдеуi.

Кеңiстiкте түзудiң жалпы теңдеуi екi жазықтықтың қиылысуы түрiнде

берiледi:
l: A1x B1y C1z D1 0 .	(4.40)
A2x B2 y C2z D2 0

Мұндай теңдеудi канондық түрде жазу үшiн (4.40) теңдеулер жүйесiнде айнымалылардың бiреуiне кез келген мән беру арқылы қалған екеуiн жүйеден табамыз, сонда бiз l түзуiнiң бойында жататын M0(x0;y0;z0)

нүктесiн аламыз. Ал бағыттаушы s табу үшiн жазықтықтардың сәйкес N1

және N2 нормаль векторларының векторлық көбейтiндiсiн табамыз:

	i	j	k
s N1 N2	A1	B1	C1	.	(4.41)
	A2	B2	C2

Себебi l түзуiнiң бағыттаушы векторы жазықтықтардың нормаль векторына перпендикуляр.

6) Екi түзудiң арасындағы бұрыш.

Кеңiстiкте екi түзу канондық теңдеулерiмен берiлсiн:

l :

x x1

y y1

z z1

,

(4.42)

1

m1

n1

p1

l2 :

x x2

y y2

z z2

.

(4.43)

m2

n2

p2

Кеңiстiкте қиылысатын екi түзудiң арасындағы бұрыш деп олардың арасындағы сүйiр бұрышты аламыз. Осы бұрыш олардың бағыттаушы векторларының арасындағы сүйiр бұрышқа тең. Берiлген l1 және l2

62