Оулы 1-5

6.25 lim

3

1 2x

1

6.26 lim

xcosx sin x

6.27 lim

1 x

3

x

2

x 1

2 x x

x 0

x

x 1

1 sin

tgx sin x

1

2tgx

tg3x

6.28 lim

6.29 lim

cos2 x

6.30 lim

x 0

4x sin x

x

4 1 cos4x

x

2 tg5x

7.25 Анықталмаған интеграл. Тiкелей интегралдау

немесе dF(x) f (x)dx

болса,

онда F(x) функциясы

Егер F (x) f (x)

f (x) функциясына алғашқы функция болады.

Егер f (x) функциясының алғашқы F(x) функциясы бар болса, онда оның алғашқы функциялары көп болады және олар мына өрнекпен анықталады F(x) C, мұндағы C-тұрақты шама.

Тұрақтының туындысы нөлге тең болатындықтан, төмендегі теңдеу орындалады:

F(x) C F (x) C F (x) 0 F (x) f (x). 49-анықтама. f (x) функциясының барлық алғашқы функцияларының

жиынтығы оның анықталмаған интегралы деп аталады және мына түрде белгiленеді:

	f (x)dx F x C .
	Интегралдаудың негiзгi ережелерi:
1)
	f (x)dx f (x);
2)	f (x)dx df (x) f (x) C;
3)	d f (x)dx d F(x) C f (x)dx;
4)	f (x) (x) dx f (x)dx (x)dx;
5)	af (x)dx a f (x)dx мұндағы a тұрақты;
6)	егер f (x)dx F(x) C болса, онда
	f (ax b)dx	1	F(ax b) C,
		a
мұндағы a, b- тұрақты және a 0;
7)	егер f (x)dx F(x) C және u (x) кез келген дифференциалданатын
	функция болса, онда

f (u)du F(u) C.

Анықталмаған интегралдың анықтамасының негiзiнде және жоғарыда көрсетiлген интегралдау ережесiнiң негiзiнде интегралдардың негiзгi

кестесiн көрсетемiз:

1. dx x C ;

170

xn 1

2. xndx C мұндағы n 1; n 1

3. dx ln x C ; x

	4. axdx	ax	C мұндағы a 0,	a 1;
		lna

5.exdx ex C;

6.sin xdx cosx C ;

7.cosxdx sin x C;

8.

dx

arctgx C arcctgx C;

1 x

2

9.

dx

1

x 1

C

1

ln

x 1

C ;

ln

1 x2

x 1

x 1

2

2

dx

10.

ln

x

x2

1

C ;

x2 1

11.

dx

arcsin x C arccosx C;

1 x2

12.

dx

tgx C;

cos2 x

13.

dx

ctgx C;

2

sin

x

14.

dx

x

C;

ln

tg

sin x

2

dx

x

15.

ln

tg

C;

cosx

2

4

16.shxdx ch C;

17.chxdx sh C;

dx

18. ch2x thx C;

dx

19. sh2x cthx C;

Осы кестелiк интегралдардың көмегiмен берілген мысалдарды есептейміз:

1. 2x3 5x2 7x 3dx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн 4) және 5) ережелердi қолданамыз:

2x3 5x2 7x 3dx 2 x3dx 5 x2dx 7 xdx 3 dx

171

	x4		x3		x2	1			4		5		3		7		2
2		5		7		3x C		x				x				x		3x C.
															2
4		3		2		2					3

2.5 dx интегралын есептеңіз.

x7

Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн, ең алдымен интеграл астындағы функцияны түрлендiрiп кестелiк интегралға келтiремiз:

		5	dx 5x 7dx 5 x 7dx 5	x 6	C	5	C.
		x7		6		6x6

Бұл интегралға қарап келесi қортынды интегралды алуға болады

	a	dx	a		C мұндағы k 1,	a const.
	k		(k 1)x	k 1
	x

3.3x x3 7dx интегралын есептеңіз.

x25

Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн, бiрiншi интеграл астындағы өрнектiң алымын бөлiмiне жеке – жеке бөлiп шығамыз:

		3x5 x3 7											3x3							7								x3dx				dx
										dx					x								dx 3							xdx 7
					x	2													x		2											x	2
													3		x	4		1		x		2			7	C.
																		2
									2				4												x
					1
			x						dx интегралын есептеңіз.
4.
					3 x

Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн, бiрiншi интеграл астындағы өрнектi квадраттаймыз, сонан соң әрбiр қосылғышты жеке-жеке интегралдаймыз:

x 31x 2dx x 23xx 31x2 dx x 2x16 x 32 dx

		1			2		x	2
	xdx 2 x6dx x				3dx
						2

			7						1				x2
	x6						x3								12
																		6	3
2												C					x		x 3		x C.
		7						1					2			7

		6					3
5.			sin2x		dx интегралын есептеңіз.
			cosx
	Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн, интеграл астындағы өрнектiң
алымындағы sin2x 2sinxcosx болатынын ескерiп интегралдаймыз:
	sin2x	dx		2sin xcosx		dx 2 sin xdx 2cosx C.
	cosx
					cosx
			1 2x2
6.			x2 1 x2 dx интегралын есептеңіз.

172

Шешуi: Бұл интегралдың алымын мынадай 1 2x2 1 x2 x2 жiктеу арқылы интегралдаймыз:

	1 2x2	1 x2 x2								1 x2	x2
	x2 1 x2 dx		x2 1 x2			dx		x2 1 x2 dx			x2 1 x2 dx
			dx		dx		1			arctgx C.
			x2		1 x2				x

7.26 Анықталмаған интегралда айнымалыны алмастыру

Анықталмаған интегралда айнымалыны алмастыру төмендегідей екі түрдегі ауыстырудың көмегімен орындалады.

1) Егер x t үздiксiз дифференциалданатын функция болса, онда

f x dx интегралын	жаңа айнымалы		t арқылы мына	формуламен
өрнектеймiз:		x t
	f x dx			(7.31)
			f t t dt.
2) Егер u g t ,		dx t dt
	мұндағы u жаңа айнымалы болса, онда
				du g t dt.

Сондықтан
	f g t g t dt интегралын жаңа айнымалы көмегiмен мына түрде
жазамыз:
		(7.32)
	f g t g t dt f u du.

1. xx 1dx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Бұл интегралда түбiрден құтылу үшiн

x 1 t2 айнымалыны

алмастыруын енгiземiз, сонда

x t2 1

бұдан dx 2tdt

болатынын көремiз,

(7.31) формула негiзiнде

x 1 t2

t2

1t 2tdt 2 t2

1t2dt

x

dx

x t2

1

x 1

dx 2tdt

2 t4 t2 dt

5

3

2

t5

2

t3 C

2

x 1

2

x 1

C

2

2

3

5

3

5

болады.

2. ex3 x2dx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Бұл интегралда x аргументiнiң ең

үлкен дәрежесiн t

айнымалысымен алмастырамыз, яғни x3 t, онда

3x2dx dt бұдан

x2dx

1

dt болады, сондықтан

3

173

x3 t

t 1

1

1

x3

2

2

t

x3

e

x

dx

3x

dx dt

e

dt

e

C

e

C

x2dx

1

3

3

3

dt

теңдігі орындалады.

3

3. 5 x 19dx

интегралын есептеңіз.

5 x t

Шешуi: Интегралды есептеу үшiн

алмастыруын қолданамыз,

сонда dx dt болатындығын ескерсек, онда

20

5 x t

t

20

5 x 19dx

t19dt

C

5 x

C

dx dt

20

20

теңдігін аламыз.

4. sin3 xcosxdx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Интегралды есептеу үшiн cosxdx d sin x болатынын ескерiп, u sinx алмастыруын қолданамыз, онда du cosxdx, сондықтан

sin3 xcosxdx u3du	u4	C	sin4 x	C
4		4
болады.

Кейбiр есептерде айнымалыны ауыстырумен бiрге интеграл астындағы өрнектiң айнымалы көбейткiштерiн дифференциал таңбасының астына енгiзе

отырып, интегралдау қолданылады, ол			үшiн	f
					(x)dx df (x) және
dx	1	d(ax b) болатынын ескеру керек.	Себебi	аргументтiң тұрақты
	a

көбейткiшi дифференциал таңбасының алдына шығарылады және тұрақтының дифференциалы нөлге тең, сондықтан интеграл астындағы өрнектiң тұрақтысына сәйкес кез келген тұрақтыны дифференциал таңбасының астына енгiзуге болады.

Мысалы, cosxdx sin x C ,		dx	ln		x		C	және xndx	xn 1		C
									n 1
		x

болатынын ескере отырып, төмендегі интегралдарды есептеймiз:

1.	cos(x 6)dx cos(x 6)d(x 6) sin(x 6) C.
2.	cos(4x 7)dx	1	cos(4x 7)d(4x 7)	1	sin(4x 7) C.
	4		4

	3. cos(5 2x)dx									1	cos(5 2x)d(5 2x)														1	sin(5 2x) C
							2													2
	4.		dx			1			d(8x 3)				1			ln		8x 3				C.
		8x 3							8x 3
					8							8
												2							1	2
	5. 3 (6x 5)2dx 6x 5														dx					6x 5				d 6x 5
														3									3
																			6

174

5

1

6x 5

1

3

C .

3

C

6x 5 5

6

5

10

3

6.

dx

9x 2 4dx

1

9x 2 4d 9x 2

9x 2 4

9

1

9x 2 3

C

1

C .

9

27 9x 2 3

3

Сонымен бiрге келесi формулаларды

n

n

f (x)

f n 1(x)

f

(x)f (x)dx f

(x)d

C ,

n 1

f (x)

d f (x)

f x

d

f x

dx

ln

f (x)

C және

dx

dx 2

C

f x

f (x)

f (x)

f x

f x

болатынын қолдана отырып, төмендегi интегралдарды есептеймiз:

1.

cosxdx

(d(sin x) cosxdx) sin 2

xd(sin x)

sin 2 1 x

C

1

C.

sin2 x

2 1

sinx

2.

ln5 x

dx

5

ln

6 x

C.

dx

d(ln x)

ln

xd(ln x)

x

x

6

arctg3x

dx

1

1

3.

dx

d(arctg3x)

arctg3xd(arctg3x)

1 9x2

3

3

1 9x2

1 arctg23x

C

arctg

23x

C.

3

2

6

4.

sin x

dx sin xdx d cosx 2

C .

cosx

cosx

Жоғарыда келтiрiлген кестелiк интегралдар формуласын келесi қосымша формулалармен толықтырамыз:

f x

20. f x dx ln f x C .

21.

f x

dx 2

C.

f x

f x

22.

dx

1

arctg

x

C, мұндағы a 0.

x

2 a2

a

a

23.

dx

1

x a

C, мұндағы a 0.

ln

x

2 a2

x a

2a

24.

dx

arcsin

x

C, мұндағы a 0.

a2 x2

a

dx

C, мұндағы нақты сан және 0.

25.

ln

x

x2

x2

175

26.

dx

ln

tg

x

C.

sin x

2

dx

x

27.

ln

tg

C.

cosx

4

2

28.tgxdx lncosx C.

29.ctgxdx lnsin x C.

Студент назарына: бұл берiлiп отырған 1 – 29 формулаларды жаттап алу керек, себебi жаттығу сабағында берiлетiн көптеген

интегралдар осы формулаларға келтiрiледi.

Берiлген формулаларға мысалдар келтiремiз:

1.

dx

1

arctg

x

C .

x

3

3

2 9

dx

1

x 5

C

1

ln

x 5

C.

2.

ln

x

x 5

x 5

2 25

2 5

10

3.

dx

arcsin

x

C.

7 x2

7

dx

C.

4.

ln

x

x2 5

x2 5

5.

dx

1

1

arctg

3x

C

1

arctg

3x

C.

9x2 16

4 3

4

12

4

7.27 Бөлiктеп интегралдау.

Бөлiктеп интегралдау әдiсi мына формулаға негiзделген:

udv uv vdu,

(7.33)

мұндағы u(x), v(x) - үзiлiссiз дифференциалданатын функциялар. Берiлген (7.33) формуласы бөлiктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл формуланың қолданылу мақсаты оң жақтағы интегралдың есептелуi, сол жақтағы интегралға қарағанда жеңiлдеу болуы керек.

Сондықтан u- деп дифференциалдану кезiнде жеңiлденетiн функцияны аламыз, ал dv- деп интеграл астындағы өрнектiң, интегралы белгiлi немесе оңай алынатын бөлiгi алынады.

Мәселен,	мына түрдегi интегралдар үшiн P(x)e xdx,	P(x)sin xdx,
P(x)cos xdx,	мұндағы P(x)- көпмүшелiк, u- деп P(x)-	көпмүшелiгiн

қабылдаймыз, ал dv- деп интеграл астындағы сәйкес келесi өрнектердi

белгiлеймiз	e xdx, sin xdx, cos xdx;		келесi	түрдегi	P(x)ln xdx,
P(x)arcsin xdx,		P(x)arccosxdx интегралдар		үшiн u-	деп	сәйкес
ln x, arcsin x,	arccosx функцияларын,		ал dv-	деп P(x)dx-		өрнегiн

176

белгiлеймiз. Дербес жағдайда, бөлiктеп интегралдауды керi тригонометриялық және логарифмдiк функциялардың интегралдарын тапқанда қолданамыз.

Төмендегі мысалдарды бөлiктеп интегралдау арқылы есептейміз: 1. xe 2xdx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Бөлiктеп интегралдау әдiсiн қолданамыз. Интеграл астында

көпмүшелiк пен	көрсеткiштiк функциялар көбейтiндiсi берiлген. Демек
u x, dv e 2xdx	деп белгiлесек, онда du dx,	v e 2xdx	1	e 2x C,
		2

мұндағы C тұрақты. Сондықтан оны C 0 деп есептеуге болады. (7.33) формуласын қолдана отырып, берiлген интегралды есептеймiз:

u x

xe

2x

dx

dv e 2x

1

xe

2x

1

e

2x

dx

1

xe

2x

1

e

2x

C .

du dx

2

2

2

4

1

v

e

2x

2

2. x2 cos2xdx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Интеграл астында көпмүшелiк пен тригонометриялық функциялардың көбейтiндiсi берiлген және көпмүшелiк екiншi реттi болғандықтан, бөлiктеп интегралдауды екi рет қолданамыз:

											u x2
				x	2	cos2xdx						dv cos2xdx											1		x	2	sin2x xsin2xdx
												du 2xdx
													1										2
											v			sin2x
											2
							u x
	1	x	2	sin2x			dv sin2xdx										1			x	2		sin2x						1		xcos2x	1	cos2xdx
							du dx
	2																2												2			2
										1
							v					cos2x
								1		2						1											1
									x	2	sin2x							xcos2x											sin2x C.
								2								2											4

3. xarctgxdx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Интеграл астында көпмүшелiк пен керi тригонометриялық функциялардың көбейтiндiсi берiлген, сондықтан интегралды мына түрде есептеймiз:

177

u arctgx

dv xdx

x2

x2

xarctgxdx

du

dx

arctgx

1

dx

2 1 x2

1 x2

2

v

x2

2

x2

1 1 x2 1

x2

1

1 dx

arctgx

dx

arctgx

dx

2

1 x2

2

2

1 x2

2

2

x2

1

1

arctgx

x

arctgx C .

2

2

2

4. lnxdx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Интеграл астында логарифмдiк функция берiлген, сондықтан u - деп логарифмдiк функцияның өзiн белгiлеймiз.

	u ln x
ln xdx	dv dx		xlnx x	dx	xln x dx xln x x C.
		dx
	du			x
		x
	v x

5. ex cosxdx интегралын есептеңіз.

Шешуi: Интеграл астында экспоненттiк және тригонометриялық функциялардың көбейтiндiсi берiлген, мұндай жағдайда қандай функцияны u- деп белгiлесек те бастапқы берiлген интегралға қайтып келемiз,

сондықтан I ex cosxdx белгiлеуiн енгiземiз.

	u ex
I ex cosxdx	dv cosxdx	ex sinx ex sinxdx
	du exdx
	v sinx

uex

ex sin x dv sin xdx ex sin x ex cosx ex cosxdx ex sin x ex cosx I . du exdx

vcosx

Бұл теңдiктегi I - дi теңдеудiң сол жағына шығарамыз, сонда

2I ex sin x ex cosx	бұдан I	ex sinx ex cosx	, яғни берiлген интеграл
	2

ex cosxdx ex sin x ex cosx болады. 2

178

Төмендегі анықталмаған интегралдарды есептеймiз:

										7	5													3																		7												5															dx
																	3																																								3
1.						5x					3					x											dx 5												x					dx 3												x				dx						3
																						x4
																																																						3														x4
			x8																																				5x8																													x 4 1
											3																																								x			5		1
5									3 x 5dx 3 x 4dx																																							3														3										C
			8																																							8											3	1														4 1
																																																					5
		5x8									15x5				x3						1						C .
	8										8											x3
																				3x 2 t																																					1			1
																																						1																1 t5																	5			5
			5																																								5																																	6
2.							3x				2dx									3dx dt																										tdt																				C									t			C
																																						3																3		1
																												1																															1										18
																				dx										dt																										5
																											3
		5			3x 2 5																					C.
																3x 2
	18
							dx							5x 8 t																		1					dt										1																	1			ln 5x 8 C.
3.														5dx dt																																				lnt C
				5x 8																	1								5									t							5															5
														dx											dt
																					5
4. sin 6x 5 dx																								6x 5 t																		1																					1														1		cos 6x 5 C.
																								6dx dt																					sintdt																				cost C
																																																																													6
																															1											6																		6
																								dx									dt
																											6

Көрсетiлген 2,3 және 4 есептерге ұқсас есептерді келесi әдiстермен де шығаруға болады.

																		3											3	1
	5. 7			5x 3				dx			1		5x 3							d 5x 3		1 5x 3 7									C
																		7
																						5				3
									5																			1
		7 5x 3 7																					7
						5x 3 3										C.
			dx		50					d 3 7x
	6.						1												1		ln 3 7x C .
			3 7x
					7					3 7x								7
	7. cos 4x 9 dx												1		cos 4x 9 d 4x 9										1		sin 4x 9 C.
									4														4

179