Оулы 1-2

түзулерiнiң

сәйкес

бағыттаушы

векторлары

s1 m1i n1 j p1k

және

s2 m2i n2

j p2k

болатынын ескерiп екi

түзудiң арасындағы бұрышты

мына түрде жазамыз:

cos

s1

s2

m1

m2 n1

n2 p1 p2

.

(4.44)

s1

s2

m2 n2 p2

m2

n2 p2

Егер

1

1

1

2

2

2

m1

n1

p1

(4.45)

m2 n2 p2

шарты орындалса, онда кеңiстiктегi

l1 және l2 түзулерi

өзара параллель, ал

егер

m1 m2

n1 n2 p1

p2 0

(4.46)

шарты орындалса, онда кеңiстiктегi l1 және l2 түзулерi өзара перпендикуляр болады.

7) Кеңiстiктегi түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш.

Кеңiстiкте l түзуi канондық теңдеуiмен

l :		x a		y b		z c		(4.47)
				n		p
		m
және P жазықтығы жалпы теңдеуiмен
P:	Ax By Cz D 0							(4.48)

берiлсiн.

1-анықтама. Кеңiстiктегi l түзу мен осы түзудiң P жазықтығындағы проекциясының арасындағы сыбайлас екi бұрыштың сүйiр бұрышы l түзуi мен P жазықтығының арасындағы бұрыш деп аталады.

Осы бұрышты түзу мен жазықтықтың нормаль векторының арасындағы

	бұрыш арқылы өрнектеймiз. Яғни								болатынын ескерсек, онда
						2
				sin теңдігінен
	cos cos				сыбайлас				бұрыштардың синустары
	2

өзара тең болатындығын ескерiп, sin 0 деп алуымызға болады. Сондықтан l түзуi мен P жазықтығының арасындағы бұрыш

sin

cos

N s

A m B n C p

(4.49)

N

s

A2 B2 C2

m2 n2 p2

формуласымен есептелiнедi.

Егер

A m B n C p 0

(4.50)

шарты орындалса, берiлген l түзуi мен P жазықтығы параллель, ал егер

A		B		C	(4.51)
m		n p

шарты орындалса, берiлген l түзуi мен P жазықтығы перпендикуляр.

63

Мысалы, төрт нүкте берiлген A1(4;7;8), A2( 1;13;0), A3(2;4;9) және A4(1;8;9). Есептеңіз:

1)A1A2 A3 жазықтығының теңдеуiн;

2)A1A2 түзуiнiң теңдеуiн;

3)A1A2 A3 жазықтығына перпендикуляр болатын A4M түзуiнiң теңдеуiн;

4)	A1A2 түзуiне параллель болатын A4N түзуiнiң теңдеуiн;
5)	A1A2 A3 жазықтығы мен A1A4 түзуiнiң арасындағы бұрыштың синусын
	есептеңiз;
6)	Oxy координаттық жазықтығы мен A1A2 A3 жазықтығы арасындағы

бұрыштың косинусын есептеңiз. Шешуi:

1)A1A2 A3 жазықтығының теңдеуiн жазу үшiн (4.29) формуласын

пайдаланамыз, сонда

x 4

y 7

z 8

5

6

8

0 18(x 4) 21(y 7) 27(z 8) 0

2

3

1

6x 7y 9z 97 0 болады.

Сонымен A1A2 A3 жазықтығының теңдеуi:

6x 7y 9z 97 0 түрінде жазылады;

2) A1A2

түзуiнiң теңдеуiн жазу үшiн екi нүкте арқылы өтетiн түзудiң (4.39)

теңдеуiн пайдаланамыз

x 4

y 7

z 8

x 4

y 7

z 8

x 4

y 7

z 8

.

0 8

6

5

1 4

13 7

5

8

6

8

Сонымен A A

түзуiнiң теңдеуi:

x 4

y 7

z 8

болады;

1

2

5

6

8

3) A4M

түзуi A1A2A3

жазықтығына перпендикуляр болғандықтан,

түзудiң

бағыттаушы

векторы

ретiнде A1A2A3 жазықтығының

нормаль

векторы

s N 6; 7; 9 аламыз,

сонда (4.38) теңдеуiн пайдаланып, A4M түзуiнiң

теңдеуiн былай жазамыз:

x 1

y 8

z 9

A M :

;

4

6

7

9

4) A4N түзуi A1A2

түзуiне параллель болатындықтан олардың бағыттаушы

векторлары

s1 және s2

беттеседi деп есептеуге болады

s1 s2 5; 6;8 .

Сондықтан

A4N

түзуiнiң теңдеуiн (4.38)

формуласын пайдаланып былай

жазамыз:

x 1

y 8

z 9

A N :

;

4

5

6

8

64

	5) A1A4	түзуiнiң бағыттаушы векторы s A1A4										3;1;1 векторы болады, ал
	A1A2 A3	жазықтығының теңдеуi					6x 7y 9z 97 0 тең, яғни оның нормаль
	векторы N 6; 7; 9 . Онда (4.49) формуласы бойынша
	sin				6 ( 3) ( 7) 1 ( 9) 1								34						0,8
				62 ( 7)2 ( 9)2			( 3)2 12 12						11			166

болады.

6) Oxy координаттық жазықтығының нормал векторы деп Ozөсiнiң бiрлiк

векторы

N1 0;0;1 аламыз,

ал A1A2A3

жазықтығының нормаль векторы

N2 6; 7; 9 болады. Сондықтан (4.44) формуласы бойынша

cos

0 6 0 ( 7) 1 ( 9)

9

0,7

62 ( 7)2 ( 9)2

166

1

болады.

4.6 №5 өздiк жұмыс тапсырмалары

Төрт

нүкте

берiлген

A1(x1;y1;z1),

A2(x2;y2;z2), A3(x3;y3;z3) және

A4(x4;y4;z4). Есептеңіз:

1)A1A2A3 жазықтығының теңдеуiн;

2)A1A2 түзуiнiң теңдеуiн;

3)A1A2A3 жазықтығына перпендикуляр болатын A4M түзуiнiң теңдеуiн;

4)A1A2 түзуiне параллель болатын A4N түзуiнiң теңдеуiн;

5)A1A2A3 жазықтығы мен A1A4 түзуiнiң арасындағы бұрыштың синусын

есептеңiз;

6) Oxy координаттық жазықтығы мен A1A2A3 жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусын есептеңiз.

1.1	A1	2;1;3 ,	A2 4;6;2 ,	A3 1;3;0 ,	A4 5;2;1 .
1.2	A1	5;1; 3 ,	A2 4; 1;2 ,	A3 7;0;1 ,	A4 1;3;4 .

1.3A1 2; 4;3 , A2 5;2;1 , A3 0;5;2 , A4 1; 2; 1 .

1.4A1 0;5; 3 , A2 2;1;5 , A3 3;4;1 , A4 5; 2;3

1.5A1 4;5;1 , A2 7;3; 1 , A3 2;1; 2 , A4 1;3;7 .

1.6A1 1;5;2 , A2 3;4;7 , A3 2; 1;9 , A4 8;7; 2 .

1.7A1 1;4;8 , A2 2;5;7 , A3 3; 1; 7 , A4 7; 1;7 .

1.8A1 2; 8;5 , A2 7;4;1 , A3 2; 6;3 , A4 7; 7; 1 .

1.9A1 1;8; 7 , A2 5; 7;4 , A3 2;1; 9 , A4 8; 5; 1 .

1.10A1 4;3; 8 , A2 7; 5; 1 , A3 2;1; 3 , A4 4;5;2 .

1.11A1 5;1; 9 , A2 5;7;2 , A3 8;4;7 , A1 3; 7; 1 .

1.12A1 7;1;5 , A2 9;3; 1, A3 6;5; 2 , A4 1; 4;3 .

65