Г.Н. НИГМЕТОВА КОМПЛЕКСТІК АНАЛИЗ

түріндегі қатар z 0 нүктесінде жинақты болатындығы айқын, яғни нӛлдік нүкте әрқашанда жинақтылық облысында жатады.

Абель теоремасы.		1) Егер z z0 0 нүктесінде (2.8) дәрежелік қатары
жинақты болса, онда	z		z0	теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген z үшін

берілген қатар абсолют жинақты болады.

2) Егер z z0 0 нүктесінде (2.8) дәрежелік қатары жинақсыз болса, онда

z

z0

теңсіздігін

қанағаттандыратын кез

келген z

үшін берілген

қатар

жинақсыз болады.

z0

R

шамасын (2.8) қатарының жинақталу радиусы деп, ал

z

R

z

R

дӛңгелегін

(2.8)

қатарының жинақталу

дөңгелегі

деп атайды.

дӛңгелегін (2.8) қатарының жинақталады, ал осы дӛңгелектің сыртында – жинақталмайды.

Дәрежелік қатардың жинақталу облысын анықтайық. Ол үшін (2.8) дәрежелік қатардың коэффициенттерін негізге алып,

с1

,

с2

, 3

с3

,..., n

сn

,...

(2.9)

сандық тізбегін құрамыз. Бұл тізбектің барлық мүшелері теріс емес нақты сандар ретінде қарастырылады.

(2.9) сандар тізбегінің ең үлкен шегін l арқылы белгілелік, яғни

l lim n сn .

n

Сонда (2.8) дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы мына формула бойынша анықталады:

R 1l .

Бұл формула Коши-Адамар формуласы деп аталады.

(2.8) дәрежелік қатардың жинақталу радиусы мына формула бойынша анықталады:

R lim

cn

немесе

R

1

.

cn 1

n

lim n

c

n

n

n

2.4 -мысал.

, z C функционалдық қатарының жинақталу

(z i)n

n 1

облысын табыңыздар.

Шешуі. Даламбер белгісін қолданып,

lim

(n 1)(z i)n

1

1

n(z i)n 1

z i

n

теңсіздігін деп жаза аламыз. Бұдан қатардың центрі i нүктесінде радиусы 1-ге

тең дӛңгелектің сыртында абсолют жинақталатындығы шығады.		z i		1
шеңберінде қатар жинақталмайды.

21

2.6. Элементар аналитикалық функциялар

Комплекс облыстағы элементар функциялар нақты облыстағы элементар функциялардың жалғасы болып табылады. Бірақ бұл олардан гӛрі кеңдеу, мысалға кӛрсеткіштік функция периодты, тригонометриялық функция sin z, cos z шектелмеген, санның логарифмі кӛп мәнді және кез келген оң, теріс, комплекс сандардың да логарифмін табуға болады. Енді ол функцияларға қысқаша тоқталайық.

Кӛрсеткіштік функция.
e z кӛрсеткіштік функциясы
ez ez cos y i sin y	(2.10)

формуласымен анықталады.

Нақты облыста анықталған кӛрсеткіштік функцияның барлық қасиеттері комплекс облыс үшін де орындалады, мысалы:

ez1 ez2

ez1 z2 ,

ez1 : ez2 ez1 z2 ,

ez n en z .

Шынында да, ez1 ez2

ex1

ex2 cos y

y

2

i sin y

y

2

1

1

e x1 x2

cos y y

2

i sin y

y

2

e x1 x2 i y1 y2 e z1 z2 .

1

1

e z

функциясы периодты,

периоды 2πi -ге тең. Бұл Эйлер формуласы

мен кӛрсеткіштік функциясының қасиетінің кӛмегімен дәлелденеді:

ez 2 i ez e2 i ez cos 2 i sin 2 ez ,

ez 2 i ez

e z функциясы әрқашан нӛлден үлкен болмайтынын атап ӛтейік. Мысалы,

e i 1 0 .

Логарифмдік функция.

Комплекс айнымалы логарифмдік функцияны

кӛрсеткіштік функцияға

кері ретінде енгіземіз.

Егер e z болса, онда ω саны

z 0 санының логарифмі деп аталады

және ол

Ln z белгіленеді.

e

z кӛрсеткіштік функциясының мәні әрқашан нӛлден ӛзге болса, онда

Ln z

логарифмдік

функциясы

комплекс

жазықтықтың z 0 нүктесінен

басқа нүктелерде анықталған болады.

Логарифмдік функцияны анықтау үшін

z r ei , u i

десек,	онда логарифмдік функцияның анықтамасы бойынша eu i r ei ,
немесе	eu ei r ei аламыз. Бұдан

eu r , 2k ,

яғни u ln r , 2k k 0, 1, 2,... .

22

шығады. Демек ,

Ln z u i ln r i 2k ln z i arg z 2k .

Сонымен логарифмдік функция
				Ln z ln		z		i arg z 2k , k 0, 1, 2,...	(2.11)
немесе
Ln z ln		z		i Arg z ,

мұндағы Arg z arg z 2k , k 0, 1, 2,... түрінде анықталады.

(2.11) формуласынан k-кез келген бүтін сан болғанда комплекс айнымалы

логарифмдік функция шексіз мәндер жиынына ие болады, сондықтан					Ln z –
кӛпмәнді функция.
k 0 мәніне сәйкес келетін функцияның мәні логарифмнің бас мәні деп
атайды және ол ln z деп белгіленеді:
ln z ln		z		i arg z , мұндағы arg z	(2.12)

Егер z – нақты оң сан болса, онда arg z 0 және ln z ln z , яғни нақты оң

санның логарифмінің бас мәні мектептегі осы санның натурал логарифмімен сәйкес келеді.

(2.11) формуласын

Ln z ln z 2k i , k 0, 1, 2,...

етіп жазуға болады.

Комплекс облыстағы логарифмдік функция мектептен білетін логарифмдік функцияның кӛптеген қасиеттерін қанағаттандырады, айталық:

1.

Ln z1 z2 Ln z1 Ln z2 ,

2.

z

Ln z ,

Ln

1

Ln z

1

2

z2

3.

Ln zn

n Ln z ,

4.

1

Ln z .

Ln n z

n

Мысалы, бірінші қасиетті дәлелдейік:

z2 ln

i Arg z1 Arg z2

Ln z1

z2 ln

z1 z2

iArg z1

z1

z2

ln

z1

i Arg z1 ln

z2

i Arg z2 Ln z1

Ln z2 .

Мысалы 2.5. Ln 1

және ln 1 ;

ln 2 i

есептеңіздер.

Шешуі: z 1 үшін

z

1 , arg z .

Демек, Ln 1 ln1 i 2k i 2k 1 ,

ln 1 i

және

ln 2i ln

2 i

i arg 2 i ln 2 i .

2

Келтірілген мысалдан теріс санның логарифмін табуға болатынын кӛрсетеді.

23

Тригонометриялық функциялар.

Комплекс айнымалы тригонометриялық функциялар

sin z

e iz

e i z

cos z

ei z e i z

sin z

cos z

2i

,

2

, tgz cos z , ctgz sin z

теңдіктерімен анықталады.

Комплекс айнымалы тригонометриялық функция үшін нақты айнымалы

тригонометриялық функция кӛптеген формулалары сақталады.

Дербес жағдайда,

cos z cos z ,

sin2 z cos2

z 1,

sin 2z 2sin z cos z ,

sin z sin z ,

cos z1 z2 cos z1 cos z2

sin z1 sin z2 ,

tg z tgz ,

sin z 2 sin z ,

tg 2z

2tgz

,

1

tg 2 z

			cos z ,
	sin z					sin
		2
	cos z 0		, мұндағы z		k , k 0,	1, 2,...
				2

Мысалы, бірінші формуланы дәлелдейік:

z	3		cos z ,
	2

т.с.с.

i z

e

i z 2

iz

e

i z 2

2 i z

2 e

2 i z

sin 2

z cos2

z

e

e

e

2i

2

4

		e2 i z 2 e 2 iz	e2 i z		2 e 2 i z		4
								1.
		4					4
	sin x және cos x		тригонометриялық функциялары
	шектелмеген функция екенін атап ӛтейік:
		lim sin z ,	lim		cos z .
	Im z		Im z
				e e 1
	Сонымен, мысалы, cos i					1,54 1	, cos 3i 10 .
				2

Гиперболалық функциялар.

Комплекс айнымалы гиперболалық функциялар

e2 i z 2 e 2 i z

4

комплекс жазықтықта

sh z	ez e z	,	ch z	ez e z	, th z	sh z	, cth z	ch z
								sh z
2			2			ch z

теңдіктерімен анықталады.

Гиперболалық және тригонометриялық функциялар арасындағы байланысты анықтауға болады. Ол үшін кӛрсетілген функциялардағы z-тің орнын iz-пен ауыстырсақ, онда

sh iz i sin z ,	sin z i shiz ,	ch iz cos z ,
tg iz i tg z ,	ctg iz i ctg z

теңдіктерін аламыз.

Осы теңдіктерді пайдалана отырып, гиперболалық функцияларға байланысты формулаларды алуға болады. Мысалы, sin2 z cos2 z 1

24

формуласындағы	тригонометриялық	функцияларды	гиперболалық
функциялармен ауыстырсақ, онда

i shiz 2 ch iz 2 1,

немесе sh2iz ch2iz 1 аламыз. Ӛйткені мұнда z – кез келген комплекс сан, олай

болса iz-ті z-пен ауыстыруға болады. Сонда									ch2 z sh2 z 1 формуласын аламыз.
Енді бірнеше формулаларды келтірейік:
ch 2z ch2 z sh2 z ,									ch z ch z ,
sh2z 2sh z ch z ,									sh z sh z ,
ch z	z	2	ch z ch z		2	shz sh z	2	,	sh z ch z ez .
1			1			1
Гиперболалық				функциялардың анықтамасынан sh z						және ch z
функциялары периодты,						периоды 2 i -ге тең, ал th z және cth z				функциялары
да периодты, периоды i -ге тең.

Кері тригонометриялық және кері гиперболалық функциялар.

Егер sin z болса, онда ω саны z санының арксинусы деп аталады және

ол Arcsin z деп белгіленеді.
Гиперболалық функцияларға кері функцияларды Arsh z ,									Arch z ,
Arth z , Arcth z			таңбаларымен белгілейді.
Синустың анықтамасын пайдалана отырып,
z sin		ei	e i			,
			2i
немесе
e2 i 2 izei 1 0
теңдеуін аламыз. Осы теңдеудің шешіміі
ei iz	iz 2		1 , немесе ei iz				1 z2
болады да, бұдан					.
i Ln i z
			1 z 2

Сонымен, кері тригонометриялық функцияны логарифмдік функция арқылы ӛрнектеуге болады:

Arc sin z i Ln i z 1 z 2 .

Қалған кері тригонометриялық және кері гиперболалық функцияларда осы сияқты анықталады:

Arc cos z i Ln z

,

z2

1

Arctg z

i

Ln

i z

z i ,

Arcctg z

i

Ln

z i

z i ,

i z

z i

2

2

Arsh z Ln z

,

1

Ln

1 z

,

z2 1

Arth z

Arch z Ln z

,

2

1 z

Arcth z

1

Ln

z 1

.

z2 1

2

z 1

Барлық кері тригонометриялық және кері гиперболалық функциялар кӛпмәнді функциялар болады.

25

2.7. Комплекс айнымалы функцияны дифференциалдау

Айталық f (z) функциясы |D облысында анықталған бір мәнді функция болсын.

Егер z 0 ( z нӛлге ұмтылғанда) функция ӛсімшесінің аргумент ӛсімшесіне қатынасының

lim

lim

f (z z) f (z)

,

(2.13)

z

z 0

z 0

z

ақырлы шегі бар болса, онда ол шек

f (z) функциясының

z нүктесіндегі

туындысы деп аталады және ол

f (z)

таңбасымен белгіленеді.

Бұл шек ∆ z -тің нӛлге қалай ұмтылғанына тәуелсіз.

z нүктесінде туындысы бар

z

нүктесінде дифференциалданатын f (z)

функция сол нүктеде моногенді функция деп аталады.

Сонымен анықтама бойынша

f (z) lim

.

z 0

z

Теорема.

Егер

u x;y

i x;y

функциясы

z x iy

нүктесінің

аймағында анықталған және u x;y

и x;y нақты функциялары осы нүктеде

дифференциалданатын

функциялар

болса,

онда

z

нүктесінде

f (z) дифференциалданатын функциясы үшін

u

u

x

y ,

y

x

(2.14)

теңдіктері орындалуы қажетті және жеткілікті

(2.14) теңдіктері Коши – Риман шарттары деп аталады.

Дәлелдеу.

Қажеттілігі.

Айталық,

f (z) функциясы кейбір z

нүктесінде

белгілі бір шектеулі туындысы бар болсын делік. Сонда:

lim		lim	u i			(2.15)
	z				f (z)
z 0		z 0 x i y
z x i y нӛлге қалауымызша алынған заң бойынша						ұмтылатын
болғандықтан, дербес жағдайда,			y 0 және		x 0 деп санауға болады.

7-сурет

26

z z

Геометриялық түрғыдан, (7-сурет) мұның мағынасы мынадай: біз нүктесін z нүктесіне нақты оське параллель түзудің бойымен жуықтауға мәжбүр етеміз. Осы жағдайда (2.15) теңдік шарты бізге мынаны береді:

lim	u i	f (z)
x 0	x

немесе

	u		i lim			f
lim	x			x			(z) ,
x 0			x 0
ал мұны мына түрде жазуға болады
	u	i f z .					(2.16)
	x		x
Осы сияқты x 0 деп			қабылдап,			яғни z z нүктесін z нүктесіне

жорымал оське параллель түзудің бойымен жуықтауға (7-сурет) мәжбүр етіп, (2.14) теңдіктен мынаны аламыз:

lim u i f (z)						,
y 0	i y
немесе
		u
i lim		y		lim	y	f (z)		,
y 0				y 0
ал мұны мына түрде жазуға болады
						i	u			f z .	(2.17)
							y		y

(2.16) пен (2.17) теңдіктерінің оң жақтары ӛз ара тең, ендеше, ол теңдіктердің сол жақтары да тең болулары тиіс:

u

υ

υ

u

x

i x

y i

y .

(2.18)

Сонда (2.18) тендіктің екі жағындағы нақты және жорымал бӛліктерді

салыстырып, мынаны аламыз:

u

υ

u

x

y ,

y

x . ■

Жеткіліктілігі.

Айталық,

(2.15) шарттары орындалсын. f (z) функциясы z

нүктесінде дифференциалданатынын дәлелдейік.

u x;y

және

x;y

функциялары

z x iy

нүктесінде

дифференциалданатын болғандықтан, олардың толық ӛсімшелерін

u u x

u y 1 ,

x

y

x

y

2

x

y

түрінде жазуға

болады, мұндағы

1, 2 –

z

x 2 y 2

шамасына

қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шамалар.

Бұл шартты ескере отырып, былай жаза аламыз:

27

u i

u

x

u

y i

x i

y

1 i 2

x

y

x

y

z

x i y

x i y

x i y

(2.14) шарттарын қолдансақ, онда

		u	x		y i		x i	u	y
		x		x		x		x
										3
z					x i y

аламыз, мұндағы

3

1 i 2 .

x i y

Олай болса

u

x i y i x i y

u

x

x

3

i

3 ,

z

x i y

x

x

ал 3

шамасы

z

-ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама.

Соңғы теңдіктен z нӛлге ұмтылғанда шекке кӛшіп, мына теңдікті аламыз:

f z lim

u i

z 0

z

x

x .

Теорема толығымен дәлелденді. ■

(2.14) Коши-Риман шарттары орындалғанда

f (z) функциясының

туындысы мына формулалардың кез келгенімен анықтауға болады:

u

f

z

x

i

x ,

f

z

y

i x

(2.19)

u

u

u

f

z

x

i

y

,

f z

y

i

y

(2.20)

Шектің қасиеттері негізінде туындының негізгі қасиеттері шығады.

Қасиеттері:

Егер

f1 z және

f2 z

функциялары комплекс жазықтықтың кез келген z

нүктесінде диффернциалданатын болса, онда мына теңдіктер орындалады:

1. f1 z f2 z

z ,

f1 z f

2

2. f1 z f

2 z f1

z f 2 z f1 z

f2 z

f

z

f

z f

z f

z f

z

f 2 z 0 .

3.

2

1

1

1

2

2

f 2 z

z

f 2

z

4. Егер

z функциясы

z

нүктесінде,

ал

f

функциясы

нүктесінде

дифференциалданатын болса,

онда күрделі

f ( (z)) функциясы z

нүктесінде дифференциалданады және f z

z .

f

z

5. Егер f (z) функциясының z нүктесіндегі туындысы бар және

f (z) 0

болса, онда сәйкес кері

z ( )

функциясының нүктесінде туындысы бар

және

1

.

( )

f (z)

28

Бұл дәрежелік қатарларының

ez 1

z

z 2

z3

...

z n

... ,

z

1,

1! 2! 3!

n !

z 2n 1

z3

z5

z 7

sin z z

... ( 1)n 1

... ,

z

,

3! 5! 7 !

(2n 1) !

z 2

z 4

z 6

z 2n

.

cos z 1

... ( 1)n

...,

z

2!

4! 6!

(2n) !

бүкіл комплекс жазықтықта абсолют жинақты болады. Осы функциялардың дифференциалдау формулаларын табайық. Дәрежелік қатардың қосындысының туындысын дәрежелік қатарды мүшелеп дифференциалдау арқылы алуға болады, яғни

z

2z 3z 2

nz n 1

(n 1)z n

z z 2

z n

z

(e )

1 2!

3!

...

n!

(n 1)!

... 1 1! 2! ... n! ... e ,

(sin z) 1

z 2

z 4

... ( 1)n

z 2n

... cos z ,

2!

4!

(2n)!

z

3

z 5

n

z 2n 1

sin z ,

(cos z) z

... ( 1)

...

3!

5!

(2n 1)!

sin z

1

(sin z) cos z

(cos z) sin z

(tgz)

,

cos z

cos2 z

cos2

z

(a

z

e

z ln a

ln a

)

z

e

z ln a

ln a a

z

ln a .

)

(e

Ал гиперболалық функциялар үшін

i cos iz i cos(iz) chz ,

(shz)

[ i sin iz]

i sin iz shz ,

(chz)

[cosiz]

(thz)

1

,

(cthz )

1

.

ch2 z

sh2 z

Функциялардың туындыларының кестесі.

1. z

n

n 1

,

n z

8. sh z ch z ,

2.

cos z ,

9.

sh z

,

sin z

ch z

1

3.

cos z

sin z ,

10.

th z

,

ch2 z

1

1

4.

tg z

,

11. Arcsin z

,

cos2 z

1 z2

1

1

5.

ctg z

,

12.

Arc cos z

,

sin 2 z

1 z2

z

z

1

6.

a

a

ln a ,

13.

Arctgz

,

1 z2

z

z

1

7.

e

e

,

14.

Arcctgz

.

1 z2

29

2.8. Аналитикалық функциялар. Гармониялық функциялар

Егер f (z) функциясы z нүктесінің қандай да бір аймағында дифференциалданатын функция болса, онда ол z нүктесінде аналитикалық функция деп аталады. Аналитикалық функция бір мәнді де, кӛп мәнді де бола береді. Бір мәнді аналитикалық функция голоморфты функция деп аталады.

Егер f (z) функциясы D облысының әрбір нүктесінде моногенді болса, онда ол D облысында аналитикалық функция деп аталады. Демек, анықтама бойынша D облысының әрбір нүктесінде шектеулі туындысы бар бір мәнді

функция сол облыста аналитикалық деп аталады.
Айталық,	f (z)			функциясы	z нүктесінде аналитикалық функция
болсын. Сонда	lim					f z , мұндағы 0	егер	z 0 .
		z		f z . Бұдан	z
	z 0

Сонда функцияның ӛсімшесін

f z z z

түрінде жазуға болады.

Сонымен, функцияның ӛсімшесі екі қосылғыштан тұрады: бірінші

қосылғыш z -ке қарағанда сызықты, ал екінші қосылғыш z -	бұл z -ке
қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама.
Функция ӛсімшесіндегі функция туындысы мен аргумент ӛсімшесінің
кӛбейтіндісіне тең, z -ке қарағанда сызықты бас бӛлігі f z z	функцияның

дифференциалы деп аталады да d түрінде белгіленеді.

Сонымен, анықтама бойынша функция дифференциалы d f z z .

Егер	z	болса, онда	dz z z z болады. Сондықтан z	нүктесіндегі
f (z) функциясының дифференциалын
				(2.21)
		d f z d z
түрінде жазуға болады.
Алынған	(2.21)	теңдіктен	z нүктесіндегі берілген f (z)	функциясы

туындысының тағы да бір жаңа формуласын аламыз:

		f z		d	.
				dz
2		2			Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын	кез келген
			0
x 2		y 2
(x, y) функциясы гармониялық функция деп аталады.
Егер		f (z) u(x, y) i (x, y) функциясы D облысында				аналитикалық

функция болса, онда нақты және жорымал бӛліктері гармониялық функциялар болады.

Шынында да, Коши-Риман шарттарындағы бірінші теңдікті у бойынша, ал екінші теңдікті х бойынша дифференциалдасақ, онда

2u		2	,	2		2u
x y		y 2		x 2
						x y

аламыз, бұдан

30