Г.Н. НИГМЕТОВА КОМПЛЕКСТІК АНАЛИЗ

1

z0

z0

n

z0

n

...

...

2

n1

n1

z z 0

z z0

z z0

z z0

n0

L1 шеңберінің барлық ξ

нүктелері үшін бір қалыпты

(5.5) қатарды аламыз , ӛйткені

z0

1 .

z z 0

. (5.5)

жинақты болатын

(5.4) және (5.5) жіктеулерді (5.3) формуладағы интегралдарға қойып, және ξ-ге қатысты бір қалыпты жинақтылықтың салдарынан мүшелеп интегралдауды орындап, мынаны аламыз:

1

z z

n

f

1

z z0

n

z0

n 1

f d .

f (z)

0

d

n 1

2 i

2 i

n 0

L2

z0

n 1

L1

Қысқартып жазуды осылайша ұйғарып:

cn

1

f

d ,

n

1, 2, 3,... ,

2 i L z0 n 1

2

f

c n

1

d ,

n

1, 2, 3,... ,

2 i

L z0 n 1

1

(5.6) теңдікті мына түрде жазамыз:

f z

cn z z0 n c n z z0 n cn z z0

n .

n 0

n 1

n

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

cn мен c n (5.7) және (5.8) формулаларын біріктіріп бір формула түрінде

жазуға болады:

f

cn

1

d , n 0, 1, 2,... ,

(5.10)

2 i z

0

n1

L

мұндағы L интегралдау контуры центрі

z

0

нүктесіндегі берілген L

және L

1

2

сақинасының ішінде жатқан кез келген шеңбер. ■

f z аналитикалық

функциясының

берілген

r

z z0

R сақинасында

Лоран қатарына жіктелуі біреу ғана болатынын дәлелдеуге болады.

Шынында, айталық кейбір сақинаға іштей орналасқан барлық z нүктелерде екі Лоран қатарына жіктелу бар болсын:

f z cn z z0			z z0	.	(5.11)
		cn
	n			n
n		n
Екі жіктелуді (5.11) z z0 k 1 -ға кӛбейтіп					және қатардың екеуінде бір

қалыпты жинақты болатын сақина ішінде жатқан центрі z0 нүктесіндегі кез келген шеңбер бойынша интегралдап, мынаны аламыз:

2 ick			k 0, 1,				2,... .
	2 ick немесе ck ck
Алдыңғы пункттегі айтылғаннан, Лоранның (5.1) жинақтылық қатарының
нақты облысы ішінде		f z функциясы					голоморфты болатын центрі z0
нүктесінде	дӛңгелек сақина және				z z0		R мен		z z0		r шеңберлерінің

әрқайсысында кем дегенде бір-бәрден осы функцияның ерекше нүктесі бар

51

f z

f z

екендігі шығады. Дербес жағдайда, егер функциясының

z z0		R шеңберінің ішінде ерекше нүктесі болмаса, онда оның Лоран жіктелуі

Тейлор қатарына айналады. функциясы үшін

n

n

c n

f z cn z z0

cn z z0

n

n

n 0

n 1

z z0

Лоран қатары екі бӛліктен тұрады. Лоран қатарының бірінші бӛлігі, яғни

f1 z cn z z0 n ,

n 0

қатары Лоран

қатарының

дұрыс

бөлігі деп аталады; бұл қатар

z z0

R

шеңберінің ішінде

f1 z

голоморфты

функциясына жинақталады.

Лоран

қатарының екінші бӛлігі, яғни

c n

f2 z

,

n

n 1

z z0

қатары Лоран қатарының бас бөлігі деп аталады; бұл қатар

z z0

r

шеңберінің

сыртында f2 z

голоморфты функциясына жинақталады.

cn z z0 n қатары

r

z z0

R сақинасында

f z f1 z

f2 z

n

голоморфты функциясына жинақталады.

Дербес жағдайда,

егер f z

функциясының

z z0

R шеңберінің ішінде

ерекше нүктелері болмаса, онда

оның

Лоран қатарына

жіктелуі

Тейлор

қатарына айналады.

1

f z e

5.1-мысал. z0

0

нүктесінің

аймағында

z

функциясын

Лоран

қатарына жіктеңіздер.

Шешуі.

eu 1

u

u 2

...

u n

...,

1!

2!

n!

белгілі жіктеуін пайдаланамыз.

u

1

деп алайық, сонда

z

1

1

1

1

e

z

1

...

...,

z 0 .

2!z 2

n!z n

1!z

5.2. Бір мәнді функцияның ерекше нҥктелерінің классификациясы

1.Оңашалаған ерекше нҥктелердің ҥш тҥрі. L шеңберінің ішінде оның z0 центрі бір мәнді f z функциясының ерекше нүктесі болғандағы жағдай аса кӛңіл аударайық . Бұл жағдайда Лоран жіктеуі:

52

	z z0 n
f z cn			(5.12)
n
L шеңберінің ішінде жатқан,		z z0	нүктесінен басқа, кез келген z
нүктесінде жинақты болады және L шеңберінің центрінен басқа нүктелердің
бәрінде де голоморфты болатын		f z функциясын кескіндейді. Бұл жағдайда

z0 нүктесі f z оңашалаған ерекше нүктесі деп аталынады да, ал ол функция

бұл нүктенің аймағында ( z z0 нүктесінен						басқа) жіктеумен кескінделеді. Егер
z z0	ерекше нүктесінің аймағында f z					функциясының басқа ерекше нүктесі
болмаса, онда z z0		нүктесі		f z функциясының оңашаланған ерекше нүктесі
деп аталады. Бір мәнді			f z функциясының оңашалаған ерекше нүктелерін
классификациялау әдісін аламыз. Мұнда үш жағдай болуы мүмкін:
1.	(5.12) Лоран жіктеуінде				z z0 -дің теріс дәрежелері мүлде жоқ,			яғни
Лоран	қатарның бас бӛлігі			болмайды.		Бұл жағдайда	z0 нүктесі	f z
функциясының жөнделінетін ерекше нүктесі деп аталады.
2.	(5.12) Лоран жіктеуінде				z z0 -дің теріс дәрежелерінің тек шектеулі
саны бар. Бұл жағдайда			z0	нүктесін f z функциясының полюсі деп аталады.
3.	(5.12) Лоран жіктеуінде				z z0 -дің теріс дәрежелерінің шексіз жиыны
бар. Бұл жағдайда		z0	нүктесі		f z функциясының елеулі (маңызды) ерекше

нүктесі деп аталады.

Бір мәнді функцияның оңашалаған ерекше нүктелерін үш түрге бӛліп, енді әрбір кӛрсетілген түрлердің аймағында функцияның ӛзгеріс сипатын

анықтайық (оңашалаған ерекше				нүктесінің аймағы деп		0		z z0		R
шартын қанағаттандыратын барлық			нүктелерінің жинағын түсінеміз, мұндағы
R радиусты	f z	функциясы барлық		z нүктелерінде голоморфты болатындай
мейлінше аз етіп аламыз).
2. Жӛнделінетін ерекше нҥкте.				Егер	z0 - жӛнделінетін ерекше нүкте
болса, онда z0 нүктесінің аймағында (5.12) жіктеуі
		z z0 n
f z cn
	n0
түрінде болады.		Бұл жағдайда	дәрежелік қатарға айналады,			демек,				z0
нүктесінің барлық аймағында соның ішінде					z0 нүктесінің ӛзінде де жинақты
болады; оның қосындысы z0 нүктесінің барлық аймағында, соның ішінде										z0
нүктесінің	ӛзінде голоморфты функцияны береді. Берілген f z					функциясы,
егер z z0	болса, біздің қатарымыздың қосындысымен бірдей болады. Демек,
егер
f (z0 ) c0
				53

деп ұйғарсақ, онда біз берілген f z функциясын z0 нүктесінде голоморфты

функция етіп жасай аламыз. Сонымен, егер біз функциямызды осы ерекше нүктеде тиісті түрде анықтасақ, бірінші түрдегі ерекше нүкте алдыңғы

жағдайдан жоқ болып кетеді, егер z0 нүктесі жӛнделінетін ерекше нүкте болса, онда мынаны аламыз:

lim f z с0 , (c0 )

z z0

дербес жағдайда, М және		η оң сандары бар болып,
0	z z0	болғанда	f (z)	M	(5.13)

орындалады.

(5.13) теңсіздігінен жөнделінетін ерекше нүктенің аз аймағында берілген функция шектелген болатындығы шығады. Алдағы уақытта мұның кері жағының болатынын кӛреміз, егер оңашалаған ерекше нүктенің аймағында функция шектелген болса, онда бұл нүкте жөнделінетін ерекше нүкте болады.

	3. Полюс.	Бұл жағдайда (5.12) жіктеудің	z z0 теріс дәрежелі шектеулі
	саны болады.	(5.12) Лоран жіктеуіне енетін	1		ең жоғарғы дәрежесін m
			z z	0

арқылы белгілей отырып, мынаны аламыз:

n

c 1

c 2

c m

f z cn z z0

(5.14)

z z0

z

2

m

n 0

z0

z z0

мұндағы

c

m

0 .

Егер m=1 болса,

z

0

полюсі жай, ал m>1

болса, оны

еселі деп айтады; m

санын полюстің реті деп айтады.

(5.14) жіктеудің екі

жағын (z z0 )m

(z z0 ) кӛбейтіп, мынаны табамыз:

n m c 1 z z0 m 1 c 2 z z0 m 2 c m

(z z0 ) f z cn

z z0

n 0

Алынған (5.14) теңдіктің оң жағында бос мүшесі

c

m

нӛл болмайтын

дәрежелік қатар тұр.

Демек,

z0

нүктесі

(z z0 )m f (z)

функциясы үшін жӛнделінетін ерекше

нүкте болып табылады, сонымен қатар мынадай болады:

lim z z0 m f z c m 0

(5.15)

z z0

Дербес жағдайда, (5.15) теңдіктен мынау шығады:

m

f z

c

.

(5.16)

lim

z z

0

m

z z0

c m

-дан кіші кез келген оң санды

q арқылы белгілеп, онда

(5.16)

салдардан

z z0

m

f (z)

q

0

z z0

болғанда

немесе

0

z z0

болғанда

f (z)

q

(5.17)

z z0

m

54

болатын жеткілікті аз η оң санын табамыз.

Соңғы (5.17) теңсіздік z нүктесі z0 нүктесіне ұмтылғанда шексіздікке ұмтылатындығын кӛрсетеді, ал мұны символмен былай жазамыз:

lim f z

z z0

Қысқаша айтқанда, полюсте функция шексіздікке айналады.

Теорема (нӛл мен полюс арасындағы байланыс туралы).

Егер z0 нүктесі

f z функциясы үшін

m –ретті нӛлі (немесе m –ретті полюсі) болса, онда бұл

нүкте

1

функциясы үшін m –ретті полюсі (немесе m –ретті нӛлі) болады.

f z

Дәлелдеу.

Айталық, f z

функциясының

z0

нүктесінде

m –ретті нӛлі

болсын. Осындай z0

нүктесінің кейбір аймағында f z функциясы

f z c

m

(z z

0

)m c

m 1

(z z

0

)m 1

...

(5.18)

немесе f z (z z0 )m (z) ,

дәрежелік қатармен берілетіні белгілі, мұндағы cm 0

бұл жағдайда z функциясы

z0

нүктесінде голоморфты және нӛлге тең емес.

(5.18) салдарынан

1

кері шама былай беріледі:

f

z

1

1

1

(z)

,

(5.19)

f z

z z0 m

(z)

z z0 m

әрі

(z)

1

функциясы

z0

нүктесінде голоморфты және

нӛлден ерекше.

(z)

Сонда

(z) (z0 ) (z0 )(z z0 ) ...

ескеріп, (5.13) теңдігінен z0

(z z0 ) нүктесінің аймағында мынаны аламыз:

1

(z

)

(z

)

...

0

0

f z

z z0 m

z z0 m 1

осыдан

1

функциясы үшін z0

нүктесі m –ретті полюс болатындығы

f

z

шығады.

f z

Керісінше,

z0

нүктесі

функциясының

m –ретті полюсі деп жорып,

осы нүктенің аймағында (z z0 ) мынадай болатынын табамыз:

f z	(z)	,	(5.20)
	(z z0 )m
мұндағы z нүктесі z0 нүктесіне ұмтылғанда			z функциясы нӛлден басқа

шекке ұмтылады. Демек, оны z0 нүктесінде голоморфты және нӛлге тең емес функция ретінде қарастыруға болады. (5.20) теңдіктің кӛмегімен

	1		z z0 m	1	z z0 m (z)
	f z			(z)

ӛрнегін құрып және жоғарыдағы есептеуді қолдана отырып, мынаны табамыз:

55

1

(z

0 ) z z0 m (z0 ) z

z0 m 1

... ,

f z

мұндағы

(z0 ) 0 , ал

бұдан,

егер

1

0

деп ұйғарсақ,

z0

нүктесі

1

f z0

f z

функциясының m –ретті нӛлі болатындығы шығады.■

4. Елеулі (маңызды) ерекше нҥкте.

Біз жӛнделінетін

z0 нүктесі

жағдайында

z

нүктесі z0

нүктесіне ұмтылғанда

f z функциясы анықталған

шектеулі

с0

шекке ұмтылатынын

кӛрдік;

полюс жағдайында да функция

шексіздікке тең анықталған шекке ұмтылады.

Сохоцкий теоремасы.

Тұрақты

А саны қандай да болсын, шектеулі не

шектеусіз болсын, елеулі ерекше z0 нүктесіне жинақты болатын

z1, z2 ,..., zn

тізбегі табылып, ол мынаған тең болады:

lim f zn

A .

zn z0

Мұны қысқаша былай тұжырымдауға болады: елеулі ерекше нүктенің

мейлінше аз аймағында

f

z функциясы алдын ала берілген кез келген санға,

шектеулі немесе шектеусіз санға мейлінше жуық мәндерді қабылдайды.

Ескертпе. Сохоцкий теоремасына геометриялық сипаттама беру үшін

ω

жазықтығының

нүктелерімен

елеулі

ерекше

z0

нүктесінің

мейлінше

аз

аймағында

0

z z0

қабылдайтын

f z

функциясының мәндерін

бейнелейміз.

Сохоцкий теоремасы ω жазықтығының кез келген

А нүктесі z0

нүктесінің

мейлінше аз

аймағында

f z функциясының

қабылдайтын

мәндер жиынының шектік нүктесі болатындығын дәлелдейді.

Дәлелдеу. Алдымен

А

деп жориық.

lim zn z0

болатындай

zn

zn z0

нүктелер тізбегі табылып,

lim f zn теңдігі орындалатынын кӛрсетейік.

zn z0

Қысқаша түрде P(z z0 ) арқылы (5.12) Лоран

жіктеуінің

z z0 оң дәрежелерін

1

және бос мүшесі бар дұрыс бӛлігін, ал

Q

арқылы

z z0

теріс дәрежелі

z z0

бар бас бӛлігін белгілеп, (5.12) формуланы мына түрде жаза аламыз:

1

f (z) P(z z

0

) Q

(5.21)

z0

z

Ал

P(z z0 ) дұрыс бӛлікті алатын болсақ,

z нүктесінің

z0

нүктесіне кез

келген ұмтылуында былай болады:

lim P(z z0 ) c0 .

(5.22)

z z0

1

Q

бас бӛлігінде

z z0

56

1		z	(5.23)
	z z0
деп ұйғарып, мынаны аламыз:

1

Q

Q(z ) c 1 z c

2 z

2 ... c

n z n ...

(5.24)

z z0

1

Q

қатары

z z0

нүктеден

басқа

барлық

нүктеде

жинақты

z z0

болатындықтан, (5.24) қатар комплекс айнымалы

z

жазықтығында жинақты

болатыны сӛзсіз. Лиувилль теоремасы бойынша

Q(z ) функциясы барлық

комплекс айнымалы

z

жазықтығында шектелген болып қала алмайды, яғни

қандай да натурал

N

санын алмайық,

,

N

нүктесі табылып,

zN

zN

Q z

N

болады. N cанына

1,2,…,n,..

мәндерін бере отырып, шексіздікке

N

ұмтылатын,

lim Q(z )

zn

n

теңдігі

орындалатындай

z1 , z2 ,..., zn ,... нүктелер

тізбегін аламыз. (5.23)-нің

негізінде бастапқы айнымалы

z -ке қайта оралып,

нүктелер тізбегі z0

zn

нүктесіне жинақты

болатын

z1 , z2 ,..., zn ,...

нүктелер

тізбегіне түрленетінін

кӛреміз, сонда:

1

lim Q

(5.25)

z0

zn z0

zn

z нүктесін z0 нүктесіне, zn

нүктелер тізбегі арқылы,

ұмтылуға мәжбүр ете

отырып, (5.22) және (5.25) теңдіктің негізінде (5.21) теңдігінен:

lim f

zn

zn

zn

болатынын кӛреміз.

Енді А кез келген шектеулі комлекс сан болсын,

z0 нүктесінің қандай да

болсын аз аймағында

f (z) A

орындалатындай

z

нүктесі табылатын

жағдай болуы мүмкін. Бұл жағдайда Сохоцкий теоремасы ӛз күшін сақтайды.

Сондықтан z0	нүктесінің жеткілікті аз аймағында					f (z) функциясы А-ға тең
емес деп болжауымызға болады. Егер осылай болса, онда
	1
	(z)
		f (z) A
функциясы елеулі ерекше нүктесі				(себебі	z z0	нүктесі f (z) A	үшін елеулі
ерекше нүкте)	болатын, z z0			нүктеден	басқа,	z0 нүктесінің	аймағында
голоморфты болады. Дәлелдеуіміз бойынша					z0 нүктесіне жинақты болатын
	lim zn
	zn zn
орындалатын	zn нүктелер тізбегі табылады, бұдан:
				57

f z

lim f zn A

zn z0

екені шығады. Дәлелдеу керектігі де осы.■

5. Оңашаланған ерекше нҥктенің аймағындағы функцияның ӛзгеріс-

сипаты. Біз бір мәнді функцияның оңашаланған ерекше нүктелердің жоғарыда кӛрсетілген үш түрінің әрқайсысының аймағында ӛзгеріс-сипатын зерттеп, жӛнделінетін ерекше нүктенің жеткілікті аз аймағында функцияның шектелгенін, полюстің жеткілікті аз аймағында оның (модулі бойынша) барынша үлкен болатындығын және, ең соңында, елеулі ерекше нүктенің мейлінше аз аймағында функцияның анықталмағандығын кӛрдік. Бұл зерттеуді қорыта келе, біз кері жағдайда да, оңашаланған ерекше нүктенің, осындай нүктенің аймағында берілген функция шектелген, шектеусіз үлкен немесе анықталмаған бола ма, сонысына қарай ол нүкте жӛнделінетін полюс немесе

елеулі ерекше нүкте болатындығын кӛреміз.

Біз бір мәнді функцияның оңашаланбаған ерекше нүктелер, сондай-ақ

аймақтарында

берілген

функция бір

мәнді болмайтын

ерекше

нүктелер

(мысалы, ln z

пен

функциялары

үшін

z 0 нүктесі)

жағдайын

n z

қарастырмаймыз. z0

нүктесі полюс

үшін шекті болатын

жағдай

бір мәнді

функцияның оңашаланбаған

ерекше

нүктесінің

жай типі

болады, мысалы

1

функциясы үшін

z 0

. Осындай ерекше

нүктесі үшін Сохоцкийдің

1

sin

z

теоремасы ӛз күшін сақтайтынын кӛрсету қиын емес. Шынында да,							f z
функциясы	z0	нүктесінің жеткілікті аз аймағында А-ға тең болмасын деп
жориық; егер біз		f z функциясының барлық полюстерінде				z 0	деп
ұйғарсақ,	z z0	нүктесінде z	1		функциясының оңашаланған елеулі
			f z
				A

ерекше нүктесі болатынын кӛру қиын емес. Сонымен, бұл мәселе дәлелденген Сохоцкий теоремасына келіп тіреледі.

Ескерту. Сохоцкийдің теоремасын бір мәнді функцияның елеулі ерекше нүктенің аймағындағы ӛзгеріс-сипаты жайлы аса терең зерттеудің бастамасы болды. Сохоцкий ұйғарымы елеулі нүктенің мейлінше аз аймағында функция алдын ала берілген кез келген санға мейлінше жуық мәндерді қабылдайтынын кӛрсетеді. Пикар ӛте жалпы да және маңызды мына теореманы дәлелдеді: елеулі ерекше нүктенің мейлінше аз аймағында функциясы, мүмкін біреуден басқа болар, кез келген шектеулі мәнді (және де шексіз кӛп рет) қабылдайды.

	5.2-мысал. f	z	sin z	функциясының ерекше нүктелерін табыңыздар.
			z 4
	Шешуі. z 0	нүктесі берілген функцияның ереше нүктесі болады. z 0

болғанда берілген функцияның шегін табамыз:

58

lim	sin z	lim	sin z		1	.
			z z3
z 0 z4		z 0

Демек, z 0 нүктесі полюс болады.

	lim z 2	sin z	, lim z3	sin z	1 0
		z 4		z4
	z 0		z 0

екеніне кӛз жеткізуге болады.

Сонымен, z 0 нүктесі үшінші ретті полюс болады.

	5.3-мысал.	f z	z 3		функциясының ерекше нүктелерін
			z z 2 z	1 2

табыңыздар.

Шешуі. z1 0 және z2 2 нүктелері берілген функцияның жай полюстері, ал z3 1 – екінші ретті полюсі.

5.3.Шексіздіктегі аналитикалық функцияның ӛзгеріс-сипаты

1.Шексіз алыстаған нҥктенің аймағы. Осы уақытқа дейін оңашаланған ерекше нүктенің аймағындағы бір мәнді функцияның ӛзгеріс-сипатын зерттей

отырып, біз бұл нүктені шектеулі деп жорығанбыз.					Оңашаланған ерекше		z0
нүктесінің аймағы деп, центрі			z0	нүктесіндегі	мейлінше кіші радиусты
дӛңгелектің ішінде	жатқан,		z0	нүктесінен ерекше,		осындай барлық	z
нүктелерінде функция голоморфты болатын барлық					z0	нүктелерінің жиынын
атағанбыз. Нӛл нүктесін центр ретінде алып радиусы						R шеңбер сызалық та,
жеткілікті үлкен	R	үшін	берілген f z функциясының радиусы				R

дӛңгелектің сыртында ерекше нүктелері жоқ дейік. Бұл жағдайда біз шексіз алыстаған нүктені берілген функцияны оңашаланған ерекше нүктесі деп атаймыз. Осы R радиусты дӛңгелектің сыртында жатқан (болмаса радиусы R- ден үлкен) жазықтықтың барлық нүктелерін біз шектеусіз алыстаған нүктенің

аймағы деп атаймыз. Сонымен, берілген

f z функциясын шексіз алыстаған

нүктенің аймағында, яғни

z

R

болғанда голоморфты деп жориық.

деп

ұйғарып, біз

1

z f

f z

(5.26)

z

функциясының, z 0 нүктесінен басқа,

z

1

болғанда анықталғандығын

R

және голоморфты болатындығын

кӛреміз.

Сондықтан, z жазықтығының

шексіз алыстаған нүктесінің аймағында

z

жазықтығының нӛл нүктесінің

аймағы сәйкес келеді де,

f z

және z

функциялары сәйкес z және

z

нүктелерде бірдей мәндер қабылдайды.

Бұдан нӛл нүктесін m ретті полюсі немесе жӛнделінетін ерекше нүктесі

бар

f z функциясының елеулі ерекше нүктесі деп атауға келісейік. Мұны

59

z

функциясы үшін нӛл нүктесі m ретті полюсі немесе жӛнделінетін ерекшелігі бар елеулі ерекше нүкте бола ма, жоқ па соған байланысты алайық.

		2.Шексіз алыстаған нҥктенің аймағындағы Лоран жіктеуі.							Шексіз
алыстаған нүктенің аймағында					f z функциясына арналған			Лоран жіктеуін
алу үшін, нӛл нүктесінің аймағындағы						z функциясы үшін сәйкес жіктеуді
жазайық:
				z bn z n					(5.27)
					n
z	1	деп ұйғарып, (5.26) -тің негізінде мынаны аламыз:
	z
				f z
					cn z n				(5.28)
					n
мұндағы			сn b n	, n 0, 1, 2,....
(5.27) жіктеуін z				теріс дәрежелерінің шексіз жиынында,				осы дәрежелердің
шектеулі санының болу я болмауына						қарай (5.28)	жіктеуінде де		z оң

дәрежелерінің шексіз жиыны, оң дәрежелердің шектеулі санының болу, я

болмауына сәйкес келетіндігін ескертелік. Бұдан шексіз алыстаған нүкте

f z

функциясы үшін:

а) егер (5.28)

жіктеуінде z

оң дәрежелерінің шексіз жиыны болса, елеулі

ерекше нүкте,

б) егер (5.28)

) жіктеуінде

z оң дәрежелерінің шектеулі саны енсе, сонымен

қатар

cm

нӛлден басқа

( m 1) олардың

ең соңғысының коэффиценті болса,

онда

m ретті полюс,

в) егер (5.28)

жіктеуінде z

оң дәрежелері мүлдем жоқ болса, жӛнделінетін

ерекше нүкте болып табылатындығын байқаймыз.

Соңғы жағдайда

f z

функциясының шексіз алыстаған нүктедегі мәні

ретінде қабылдап, біз бұл

ерекшеліктен құтыла аламыз, ӛйткені

z

функциясы нӛлдік нүктеде голоморфты функция болады. Сондықтан,

егер

жағдайында

f с0

болса, в) жағдайында

f z шексіз алыстаған нүктеде

голоморфты функция болады.

1. f z

1

Мысалдар.

функциясының

шексіз алыстаған нүктеде

1 z

жӛнделінетін ерекше нүктесі бар, ӛйткені

z

1

болғанда былай болады:

1

1

1 z

n

n 1

z

f z функциясының шексіздікте бірінші ретті

f 0 деп қабылдап, біз

нӛлі бардеп айта аламыз.

2. z m дәрежелі бүтін рационал функцияның m ретті полюсі болатын шексіз алыстаған нүктесі бар.

3.ez , sin z, cos z функцияларының шексіздікте елеулі ерекше нүктесі бар.

60