Г.Н. НИГМЕТОВА КОМПЛЕКСТІК АНАЛИЗ

Егер max | zk | 0 L сызығын		доғаларға бӛлу	және	элементар
доғалардағы Ck нүктелерінің орнына тәуелсіз Sинтегралдық			қосындысының
ақырлы шегі бар болса, онда ол	f z	функциясының L	сызығы	бойынша

интегралы деп аталады да және ол былай белгіленеді:

f z dz .

L

Сонымен:

	f z dz	u dx dy i dx u dy		(3.1)
	L	L	L
(3.1) формуласын тӛмендегідей түрде жазсақ, оны оңай еске сақтауға
болады:
f z dz u i dx idy .
L	L
Егер	L сызығы z z t x t i y t ,		( t1 t t2 ) параметрлік	теңдеуімен
берілсе, онда (3.1) формуласы мына түрге келтіріледі:
		t2		(3.2)
	f z dz f z t z t dt .
	L	t1

Комплекс айнымалы функция интегралының негізгі қасиеттерін келтіреміз:

1.dz z z0 .

	L
2.	f1 z f2 z dz f1 z dz f2 z dz .
	L		L	L
3.	af	z dz a f z dz , а – комплекс сан.
	L	L
	4. f z dz f z dz ,
	L	L
мұндағы L		және L	сәйкес оң және теріс бағытта ӛтетін бір ғана жолды
кӛрсетеді.
5.	f z dz f z dz f z dz , мұндағы L L1 L2 .
	L	L1		L2

6.(Интегралдың модулін бағалау). Егер L сызығының бойында f z M

теңсіздігі орындалса, онда		f z dz	M l ,
		L
мұндағы l – L қисығының ұзындығы, М-тұрақты сан.
3.1-мысал. I Im z dz					1 ,
	интегралын есептеңіздер, мұндағы L –			z
L

0 arg z жарты шеңбер (16-сурет).

41

16-сурет.

Шешуі. (3.1) формуласын қолданып,

																								1							1						2x
	I y dx idy y dx i y dy																								1 x2				dx i 1 x2											dx
																																					1 x2
			L							L								L						1						1				2
										x											1					1			x2		1
													1 x					2									i
																								arcsin x		1					1
										2											2								2					2
аламыз.													z cost i sint :
(3.2) формуласын қолданып,
																				1
I sin t sin t i cos t dt																							1 cos 2t dt i sin t cos t dt
																			2
0																0													0
	1		1					1					2
		t		sin 2t			i			sin					t									.
	2		4			0		2								0					2
Егер		F z f z					теңдігі									орындалса,										онда					F z			функциясын							f z
функциясының алғашқы бейнесі деп атайды.
f z	функциясының									барлық											алғашқы					бейнесінің								жиынтығын							f z

функциясының анықталмаған интегралы деп атайды және ол мына түрде жазылады:

f z dz F z C .	D облысында f z аналитикалық функция болса,
Егер бір байланысты
онда осы облыста жататын z0		және z нүктелері үшін
z
f z	dz F z F z0		(3.3)
z0
Ньютон-Лейбниц формуласы орындалады.
Коши теоремасы. Егер		f z функциясы бір байланысты	D облысында

аналитикалық функция болса, онда осы облыста жататын кез келген L тұйық контур бойымен осы функциядан алынған интегралы нӛлге тең болады, яғни

f z dz 0 .

(3.4)

L

Дәлелдеу. (3.1) формуласы бойынша :

f z dz u dx dy i dx udy

L L L

42

алып, әрқайсысын Грин формуласы бойынша екі еселі интегралдар

			u
	u dx dy
								dxdy ,
L		D	x				y
				u
	dx udy
				y				x	dxdy
L		D
түрінде ӛрнектесек,				f z u i аналитикалық функция болғандықтан, Коши–

Римана шарттарын қанағаттандырады да, әрбір екі еселі интеграл нӛлге тең

болады. Демек,

f z dz 0 .

■

L

Коши теоремасы кӛп байланысты облыс үшін де дұрыс.

Коши теоремасы.

(кӛп байланысты облыс үшін). Кӛп байланысты D

облысының сағат тілінің бағытына қарсы (оң) бағытталған L сыртқы контуры

L1, L2,…,Ln

ішкі контурлары

болса, онда

f z

осы

облыста аналитикалық

функция болғанда

n

f z dz f z dz

L

k 1 Lk

орындалады.

f z

Салдар. Егер бір байланысты

D облысында

аналитикалық функция

болса, онда

f z

функциясының

интегралының

мәні интегралдау жолына

тәуелсіз болып, тек осы жолдың

z0 бастапқы

және

z

соңғы нүктелерінің

орнымен ғана анықталады.

3.2. Коши интегралы

Теорема.

Егер контуры

L тұйық бір

байланысты

D облысында f z

аналитикалық

функция болса, онда сол облыстың әрбір ішкі z0 нүктесі үшін

мына

f z

f z0

1

dz

(3.5)

2 i z z

0

L

формула орындалады, мұндағы интегралдау L контуры бойынша оң бағытта жүргізіледі.

17-сурет.

43

1

2 i lr

Дәлелдеу. Центрі z0 нүктесінде, радиусы ӛте аз r болатын D облысының

ішінде жататын lr

шеңберін жүргіземіз ( lr

шеңбері L сызығымен қиылыспау

керек). Сонда

f z

аналитикалық

функция болатындай L және lr

z z

0

контурларымен шектелген екі байланысты D1 облысын (шрихталған облыс 17-

r

сурет) аламыз. Егер D облысынан

z z0

дӛңгелегін шығарып тастасақ, онда

lr шеңберінің бағыты оң десек, онда Коши теоремасы бойынша:

f z dz

f z dz

.

z z

0

z z

0

L

l

r

бұдан

1

2 i L

f z dz

1

f z dz

1

f z

0

f z f z

0

dz

z z

0

2 i

z z

0

2 i

z z

0

L

l

r

f z f z0

dz

z z0

шығады, бірақ

dz

2 i .

z

z

0

l

r

Демек,

f z f z0

1

f z

dz

1

f z0 2 i

1

dz ,

2 i

z z

2 i

2 i

0

z z

0

L

l

r

1	f z				dz
		0
2 i
			z z			0
			l	r

яғни

f z f

z

1

f

z dz

1

0

f z0

dz .

(3.6)

2 i

z z

0

2 i

z z

0

L

l

r

(3.6) теңдіктің сол жағындағы айырманы бағалайық.

f z

аналитикалық

функциясы z0 D нүктесінде үзіліссіз болғандықтан,

кез келген ε 0 саны үшін

r 0 саны табылып,

z z0

r үшін ( lr

шеңберінде

z z0

r )

f z f z0

теңсіздігі шығады.

Интегралдың модулін бағалау қасиетін қолданып:

1

f

z dz

1

f z f

z

1

f z

f z

1

f z0

0

dz

0

dz

2 r

2 i

z z

2 i

z z

2

z

z

0

0

0

2 r

L

l

r

l

r

аламыз.

ε саны мейлінше аз шама болғандықтан, ал соңғы теңсіздіктің сол жағы ε-

ға тәуелсіз, олай болса ол нӛлге тең:

1

f z dz

f z0 0 ,

2 i

z z

0

L

Бұдан (3.5) формула шығады.

■

(3.5) теңдігінің сол жағын Кошидің интегралы деп,

ал (3.5) формуласын

Кошидің интегралдық формуласы деп атайды. Коши формуласы комплекс айнымалы функциялар теориясының негізгі формулаларының бірі болады. Бұл D облысының кез келген ішкі z0 нүктесіндегі f z аналитикалық

44

f z

	функциясының мәнін сол облыстың				L контуры бойынша алынған интегралы
	арқылы табуға мүмкіндік береді.
	Кошидің интегралдық формуласын мына түрде жазуға болады:
		f	z		dz 2 if (z0 ) .	(3.7)
	z z			0
	L
	Осы уақытқа дейін біз бір		мәнді комплекс айнымалы			функциясын

облыста, егер оның осы облыстың әрбір нүктесінде шектеулі туындысы болса, аналитикалық деп атап келдік. Нақты айнымалы функция жағдайында шектеулі туындысы бар фактіден туындының үзіліссіздігі шықпайды. Ал комплекс айнымалы функция үшін ерекше маңызы бар ұсыныс орын алады: егер комплекс айнымалы бір мәнді f z функциясының D облысының барлық нүктесінде бірінші ретті туындысы болса, онда оның осы облыста барлық жоғары ретті туындылары болады.

Кошидің интегралдық формуласын қолдану арқылы мына теоремаларды

	дәлелдеуге болады.						f z
	Теорема. Егер бір байланысты D облыста және оның L шекарасында
	аналитикалық функция болса, онда				D облысында жататын кез келген z0
	нүктесінде ол функцияның кез келген ретті туындысы f n z0 , (n 1,2,...)						бар
	болады және ол туындылар мына формуламен табылады:
	f n z0	n!			f z	dz ,	(3.8)
		2 i L z z0 n 1

мұндағы z0 D, z L .

Кошидің интегралдық формуласын n рет дифференциалдау арқылы (3.8) формуласын аламыз.

	(3.8) формуласын мына түрде жазуға болады:
		f z	dz	2 i	f n z0 .
	L z z0 n 1			n !

Берілген формула интегралдың кейбір түрлерін есептеуге орындауға мүмкіндік береді.

Осы тараудың 1.1 пунктінде аналитикалық функция теориясының негізгі ұсынысын дәлелдедік, осының негізінде бір байланысты D облысында

аналитикалық кез келген f z функциясы үшін f z dz 0 теңдігі орын орын

L

алады, мұндағы L- D облысында жататын кез келген үзінді тегіс тұйық контур. Италия математигі Морера кӛрсеткендей, бұл негізгі ұсыныс қайтымды.

Морера теоремасы. Егер бір байланысты D облысында үзіліссіз функциясы осы облыста жататын кез келген үзінді тегіс тұйық контур үшін

f z dz 0

L

теңдігін қанағаттандырса, онда f z функциясы осы облыста аналитикалық функция болады.

45

2 i

3.2-мысал. Интегралды есептеңіздер: (3z 2 2z)dz

1 i

Шешуі. Интеграл астындағы функция f(z)= 3 z2 + 2z аналитикалық болғандықтан, Ньютон-Лейбниц формуласын қолданып,

2 i
(3z	2	2z)dz (z	3	z	2	)	2 i	(2 i)	3	(2	i)	2	(1	i)	3	(1	i)	2	7	19i
							1 i

1 i

табамыз.

i

3.3 -мысал. Интегралды есептеңіздер: sin 2 zdz .

0

Шешуі. Нақты айнымалы функцияны интегралдау әдістерін қолданамыз:

i	2		1 i		1		sin 2z		i		1		1		i
sin		zdz		(1 cos 2z)dz		z						i		sin 2i		(2	sh2) .
0			2	0	2		z		0		2		4		4

IV ТАРАУ. АНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ҚАТАРЛАРЫ

4.1. Тейлор қатары

R дӛңгелегінде кез келген f z аналитикалық функциясы

Теорема.

z z0

осы дӛңгелекте

f z сn z z0 n

(4.1)

n 0

бір ғана дәрежелік қатарына жіктеледі және оның коэффициенттері

cn

f n z

0

1

f

d

,

n 0,1,2,3,... ,

(4.2)

z0

n 1

n !

2 i lr

формуласымен анықталады, мұндағы lr – центрі z0 нүктесі болатын дӛңгелектің

ішінде жатқан кез келген шеңбер.

(4.1) дәрежелік қатары қарастырылып отырған дӛңгелектегі f z

функциясы үшін Тейлор қатары деп атайды.

f (z) бір мәнді функциясы аналитикалық функция болатындай комплекс жазықтықтың нүктелері f (z) функциясының дұрыс нүктелері деп аталады. f (z) функциясының аналитикалық функция боламайтындай комплекс жазықтықтың

нүктелері		f (z) функциясының ерекше		нүктелері деп аталады. Мысалы,
1				z 1 нүктесін дұрыс нүкте, ал		z 1
f (z)		функциясы үшін кез келген z
	1 z
ерекше нүкте болады.
Сонымен, егер			z0 нүктесі f (z) функциясының дұрыс нүктесі болса,			онда
бұл функция осы			нүктенің аймағында z z0		ға қатысты дәрежелік қатарға
жіктеледі, сонымен қатардың жинақтылық					дӛңгелегі шеңбердің центрі z0
нүктесінде болып,			z0 нүктесіне ең жақын	f (z) функциясының ерекше нүктесі
			46

арқылы ӛтеді. Бұл бір жағынан, дәрежелік қатардың жинақтылық радиусымен, екінші жағынан, осы қатармен кескінделетін функцияның арасындағы тығыз байланысты тағайындайды.

Кейбір элементар функциялардың Маклорен қатарына жіктелуі келтірейік:

ez 1

z

z 2

z3

...

z n

... ,

1!

2!

3!

n !

z3

z5

z 7

z 2n 1

sin z z

... ( 1)n 1

... ,

3! 5! 7 !

(2n 1) !

cos z 1

z 2

z 4

z 6

... ( 1)n

z 2n

...,

2!

4!

6!

(2n) !

ln 1 z z

z 2

z 3

... ( 1)n 1

z n n

...,

2!

3!

1

1 z z 2

z 3

... ( 1)n z n ...,

1 z

1 z 2

1 2 z

1 ... n 1 z n

1 z 1

z

3 ...

1!

2!

3!

n !

z 1

z

z

z 1

z 1

....,		z		1.

4.2. Аналитикалық функцияның нӛлдері

D облысында голоморфты f z функцияның нөлі деп, f z0 0

теңдігі орындалатын осы облыстың кез келген z0 нүктесін айтады.

Біздің f z функциясының D облысында жататын нӛлдері жиыны шектеулі және шектеусіз болуы мүмкін. Алайда егер f z нӛлге теңбе-тең болмаса, D облысының ешқандай нүктесі f z функциясының нӛлдер жиынының шекті нүктесі бола алмайды. Демек, f z функциясының нӛлдер жиынының барлық шекті нүктелері D облысының шекарасында болуы керек. Осыдан, дербес жағдайда, f z функциясының кез келген нӛлінің аймағында центр ретінде жеткілікті кіші радиусы бар шеңберді, осы шеңбердің центрлерінен басқа шеңбер ішінде ешқандай нӛлдер болмайтындай сызуға болатыны келіп

шығады.			f z
Бұдан былай	берілген функция голоморфты	болатын
( f z 0) функциясының	D облысында жататын барлық	нӛлдері жиынын

нүктелердің тізбегі ретінде қарастыруға болады, яғни барлық нӛлдерді натурал сандар кӛмегімен нӛмірлеуге болатынын оңай кӛруге болады.

Егер D облысында голоморфты f z функциясы осы облыстың z0 нүктесінде нӛлге тең болса, оның z0 нүктесінің кейбір аймағындағы жіктелуі мына түрде болады:

f z c1 z z0 c2 z z0 2 ...,

(4.3)

ӛйткені с0 f z0 0 .

47

(4.3) жіктелудің барлық сn коэффициенті нӛлге тең бола алмайды, ӛйткені z0 нүктесінің кейбір аймағының барлық жерінде нӛлге тең f z функциясы бұл жағдайда жалғыздық теорема бойынша D облысында нӛлге теңбе-тең болар еді. Олай болса, сn коэффициенттерінің арасында нӛл еместері де бар; осындай коэффициентердің ең кіші нӛмірін m, (m 1) арқылы белгілейік.

Сонда мынаны аламыз:

с1 с2	... сm 1				0 ,
демек, (4.3) жіктелуі тӛмендегідей түрге келеді:
f z cm z z0 m cm 1 z z0 m 1 ... cn z z0 n ...,								(4.4)
мұндағы сm 0 .
Бұл жағдайда z0	нүктесін				f z функциясы үшін m – ретті			нӛл деп
атаймыз. Егер m 1 болса,			онда жай нӛл деп, ал m 1болғанда еселі нӛл деп
атайды.
4.3. Дәрежелік қатардың коэффициенттері ҥшін Коши теңсіздігі
Егер
f (z) c	0	c z c		2	z2 ... c	n	z n ...	(4.5)
			1

R дӛңгелегінде жинақты болса және ол дӛңгелекте модулі

дәрежелік қатары

z

әр уақытта М-нен кем

f z функциясын кескіндесе,

онда тӛмендегі теңсіздік

орын алады:

cn

M

n 0,1, 2,... .

(4.6)

Rn

Егер дәрежелік

қатардың

коэффициенттері үшін

интегралдық

формуланы пайдалансақ, онда (4.6) теңсіздік бірден алынады:

1

f

n

0,1,2,3,... ,

cn

d

2 i

n 1

l

r

r

r R шеңбері бойымен

мұндағы интегралдау қалауымызша алынған

жүргізіледі. cn -ны бағалап, мынаны табамыз:

	cn			M	.
				n
				r		r R үшін орындалатындықтан, r -ды R -ға
Соңғы теңсіздік барлық r

ұмтылдыра отырып, шекке ӛту арқылы, ең соңында мынаны табамыз:

	cn			M	.
				n
				R

Лиувилль теоремасы. Егер барлық жазықтықта голоморфты f z

функциясы модулі бойынша шектелген болса, онда ол функция теңбе-тең тұрақты болады.

Дәлелдеу. Шынында, қарастырылып отырған жағдайда

48

				f (z) c0 c1 z c2 z2			... cn z n ...	(4.7)
жіктеуі жазықтықтың кез келген z нүктесінде орын алады. Кошидің								теңсіздігін
пайдалана отырып, мынаны аламыз:
	cn			M	n 0,1, 2,... ,
				Rn
мұндағы М тұрақты сан, ал R -ды қалағанымызша үлкен деп есептеуге болады.
Демек, егер n 1 болса, cn 0						болады, ал (4.7) салдарынан f (z) c0		болады. ■
4.1-мысал.				f z ez 1 z			функциясы үшін z0 =0 нӛлінің ретін
анықтаңыздар.
Шешуі. f (z) функциясын						z -тің дәрежесі бойынша жіктейміз:
ez 1 z (1 z z 2						/ 2! z3	/ 3! ...) 1 z z 2 / 2! z3 / 3! ...

Ӛйткені алынған жіктеудегі коэффициент c2 1/ 2 болады, яғни нӛлге тең емес,

ал c0 c1 0 . Олай болса, берілген функция үшін z0 =0 нүктесі	n 2 ретті нӛл
болатындығын кӛреміз.

V ТАРАУ. БІР МӘНДІ ФУНКЦИЯНЫҢ ОҢАШАЛАНҒАН ЕРЕКШЕ НҤКТЕЛЕРІ

5.1.	Аналитикалық функцияны Лоран қатарына жіктеу
							0 r R сақинасында голоморфты болатын
Теорема.	r	z z0		R
f z функциясы осы аймақта z z0 -дің дәрежесі бойынша қатарға жіктеледі:
	f z cn					z z0 n ,					(5.1)
		n
мұндағы								f
		cn		1					d	n 0, 1, 2,... ,	(5.2)
					2 i L z0 n 1

ал L – берілген сақинаның ішінде жатқан центрі z0 нүктесіндегі кез келген шеңбер.

(5.1) қатары	берілген сақинадағы				f z функциясы үшін Лоран қатары деп
аталады.
Дәлелдеу.		r	z z0	R сақинасының ішінен кез келген z нүктесін аламыз
және центрі	z0	нүктесі болатын берілген сақинаның ішінен z нүктесі олардың
арасында жататындай етіп L1 және L2					екі шеңберін жүргіземіз (18-сурет).

49

		18-сурет
Шарт бойынша	f z функциясы L1 және L2 шеңберлерін бірге алғанда осы
шеңбер арасындағы	сақинада	голоморфты болады. Олай болса, кӛп

байланысты облыс үшін Коши формуласын қолданып, мына теңдікті аламыз:

f z

1

f

1

f

1

f

d

d

d ,

(5.3)

2 i

L1

z

2 i

z

2 i

z

L2

L1

L2

мұндағы L1 және L2 интегралдау жолдарының екеуі де оң бағытта ӛтеді.

Тейлор формуласын қорытып шығарған сияқты (5.3) теңдігінің оң

жағындағы қосылғыштарды түрлендіреміз.

(5.3) формуланың бірінші интегралындағы ξ

нүктесі L2

шеңберінің

z0

z z0

1 теңсіздік

нүктесін білдіретінін ескеріп,

мына

z z0

,

яғни

z0

1

орындалады. Сондықтан

бӛлшегін мына түрде жазуға болады:

z

1

z

				1												1
	z		0		z z			0										z z	0
												z			1
														0
																		z0
			1				z z0										z z0					n			z z	0	n
													...											...				.	(5.4)
		z0					z0					2					z0 n 1								z0 n 1
																								n 0

Шыққан (5.4) қатар L2 шеңберінде барлық ξ нүктелері үшін бір қалыпты жинақты болады, ӛйткені

	z z0		1
	z0

(5.3) формуланың екінші интегралындағы																							ξ нүктесі						L1	шеңберінің
нүктесін білдіретінін ескеріп, мына												z0						z z0			,		яғни				z0		1 .
Сонда																											z z 0
1		1					1									1
	z		z		z z	0	z	0											z			0
													z z			1
																0			z z0
									50