Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

. (8.7)

Если этот предел существует и конечен, то  называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+). В противном случае про интеграл  говорят, что он не существует, или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-, b] и (-, +):

.

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

,

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

= . (8.8)

Пример 3.29. Вычислить  dx/(x+2).

Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt,  dx/(x+2) =  dt/t = lnt+C = = lnx+2+C.

Пример 3.30. Найти  tg x dx.

Решение.  tg x dx =  sin x/cos x dx = -  d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда  tg x dx = -  dt/t = - lnt+C = - lncos x+C.

Пример 3.31. Найти  dx/sin x.

Решение.

Пример 3.32. Найти .

Решение.  =  

Пример 3.33. Найти  arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда  arctg x dx = x arctg x -  x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как  x dx/(x²+1) = 1/2  d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

Пример 3.34. Вычислить  ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим: u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда  ln x dx = x lnx -  x 1/x dx = = x lnx -  dx = x lnx - x + C.

Пример 3.35. Вычислить  e^x sin x dx.

Решение. Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^x dx, v= sin x dx= - cos x   e^x sin x dx = - e^x cos x +  e^x cos x dx. Интеграл  e^x cos x dx также интегрируем по частям: u = e^x, dv = cos x dx  du=e^xdx, v=sin x. Имеем:  e^x cos x dx = e^x sin x -  e^x sin x dx. Получили соотношение  e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x -  e^x sin x dx, откуда 2  e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x + С.

Пример 3.36. Вычислить J =  cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J=  cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J =  cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример 3.37. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что  = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 3.38. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому = = =.

Пример 3.39. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Но подынтегральная функция f(x) =  > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) =  имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Пример 3.40. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) =  += ;

= = .

Пример 3.44. (Из экономики). При анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией R _t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна .

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S = .

Современная величина такого потока равна

A = .

Пусть функция потока платежей является линейной: R_t = R_o + at, где R_o - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A = = + .

Обозначим A₁ = , A₂ = .

Имеем: A₁ =  = - R_o/= - R_o/(-e^o) = - R_o/(-1) = = R_o(-1)/. A₂ = . Вычислим неопределенный интеграл  по частям: u = t, dv = dt  du = dt, v =  = - /, тогда = - t/ + 1/ = - t/ (t+1/) +C. Следовательно, A₂ = -a t/ (t+1/)= ((1- )/ - n)a/.

Итак, исходный интеграл

A=A₁ + A₂=R_o(-1)/+ ((1- )/-n)a/.