Метод замены переменной.

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

,

где – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример. Найти интегралы: а); б); в).

Решение. а) Положим . Тогда,

,

.

б) Положим . Тогда,и, следовательно,

.

в) Положим . Тогда. Так как, то

.

Метод интегрирования по частям.

Пусть и– дифференцируемые функции.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла имеет вид:

.

Формула интегрирования по частям используется для интегралов следующих типов интегралов:

1. ;;.

2. ;;;;.

Пример. Найти интегралы: а) ; б); в).

Решение. а) Так как , а функцияпри интегрировании практически не изменяется (появляется лишь постоянный множитель) , то данный интеграл можно найти интегрированием по частям , полагая,. Найдем необходимые для записи правой части формулыи.

Так как , то. Найдем:

.

Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Используя метод разложения, убеждаемся, что полученный интеграл – сумма табличного и интеграла, который был определен при нахождении . Таким образом, окончательно

Замечание. Анализ полученного решения показывает, что постоянная , возникшая при нахождении(по заданному) не входит в запись окончательного ответа. Аналогично, в общем случае постоянная, возникающая при нахождении, исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, при интегрировании по частям и нахождениибудем полагать, что несколько упрощает запись решения.

б) Пусть ,. Тогда

и

Применяя формулу интегрирования по частям , получаем

.

В) Пусть ,. Тогдаи. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Задания для контрольных работ (6 заданий по 25 вариантов)

Вариант выбирается студентом в соответствии с последними двумя цифрами зачетной книжки. В случае, если две последние цифры превышают 25, то вариант выбирается по формуле: номер зачетки минус необходимое число раз по 25, пока разность не будет меньше или равна 25.

Задание №1

1. Вычислить матрицу , где;;.

2. Найти произведение матриц , где;;.

3. Решить уравнение , где,.

4. Вычислить матрицу , где

; ;;– единичная матрица.

5. Найти произведение матриц и, где

, .

6. Найти произведение матриц , где

, .

7. Найти произведение матриц , где,.

8. Найти значение матричного многочлена , если

, – единичная матрица третьего порядка.

9. Найти произведение матриц , где,.

10. Найти произведение матриц , где,.

11. Найти произведение матриц , где,.

12. Найти значение матричного многочлена , если

, – единичная матрица третьего порядка.

13. Вычислить матрицу , где

; ;;– единичная матрица.

14. Решить уравнение , где,.

15. Найти произведение матриц , где,,.

16. Найти произведение матриц , где,.

17. Найти произведение матриц , где,.

18. Найти произведение матриц , где,.

19. Найти произведение матриц , где,.

20. Найти произведение матриц , где,.

21. Найти произведение матриц , где,.

22. Найти произведение матриц , где,.

23. Найти произведение матриц , где,.

24. Найти произведение матриц , где,.

25. Найти произведение матриц , где,.