Тема3: Мультиколінеарність та її наслідки.

1. Вплив мультиколінеарності на оцінки параметрів багатофакторної моделі.

2. Методи виявлення мультиколінеарності.

3. Дослідження моделі на наявність загальної мультиколінеарності за допомогою χ²-критерію.

4. Виявлення колінеарнозалежних факторів за допомогою t-статистики.

5. Усунення мультиколінеарності в моделі.

1. Однією з основних умов для застосування методу найменших квадратів до оцінювання параметрів лінійної регресії є умова лінійної незалежності факторів Х₁,Х₂,...Х_m.

Означення. Мультиколінеарність моделі означає існування лінійної залежності або сильної кореляції між двома чи більше факторами. Мультиколінеарність між факторами Хі та Х_j ( і = j]) називається строгою, якщо існує лінійна залежність X_j = сХ_i.

В практиці економічні фактори часто пов'язані між собою і це істотно впливає на якість економетричного моделювання.

Основні наслідки мультиколінеарності:

1. падає точність оцінок параметрів, яка виявляється в зростанні помилок деяких оцінок, в значному збільшені дисперсії оцінок параметрів;

2. оцінки деяких параметрів стають незначущими;

3. оцінки деяких параметрів стають чутливими до обсягів сукупності спостережень.

Тому при побудові економетричної моделі потрібно визначити існування мультиколінеарності та усунути її.

2. Дослідження мультиколінеарності за алгоритмом Фаррара -Глобера.

Цей алгоритм використовує три види статистичних критеріїв.

За критерієм “Х_і — квадрат” перевіряється мультиколінеарність усього масиву факторів.

За F критерієм перевіряється незалежність кожного фактора з рештою факторів.

За критерієм Ст'юдента t перевіряється кожна пара факторів.

Алгоритм Фаррара — Глобера поділяється на декілька кроків.

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) змінних факторів.

Матриця змінних факторів X замінюється стандартизованою матрицею X*, елементи якої обчислюють за формулами:

(5.1)

де n - число спостережень, X_i -середнє арифметичне значень фактора Х_к (к = 1,2,...,m), δ²_xk -дисперсія Х_к;

(5.2)

Крок 2. Знаходження кореляційної матриці стандартизованих факторів.

Кореляційна матриця R знаходиться відповідно до двох методів стандартизації факторів за формулами:

або (5.3)

Зауваження. При знаходженні добутку (Х)^ТХ діагональні елементи можуть наближатись до 1 за рахунок зміщеності коефіцієнтів парної кореляції. Оскільки діагональні елементи характеризують зв'язок змінної з цією самою змінною, то вони дорівнюють 1, тому в цьому випадку діагональні елементи замінюються одиницями. Но тоді інші значення матриці R збільшуються на величину різниці між одиницею і розрахованим діагональним елементом.

Крок 3. Виявлення мультиколінеарності в масиві факторів.

Знаходимо визначник кореляційної матриці |R| і обчислюємо статистику х² за формулою:

(5.4)

Знаходимо табличне значення х² при заданому рівні значущості а і ступені вільності k = ½ m(m - 1).

Якщо х²_роз> х_табл, то в масиві факторів існує мультиколінеарність.

Крок 4. Знаходження оберненої матриці до кореляційної матриці.

Обернену матрицю позначимо С. Тоді

С = R^-1 = [(X*)^TX*]^-1

Крок 5. Перевірка мультиколінеарності фактора Х_к з іншими факторами.

Застосуємо критерії Фішера. Для цього знайдемо значення F статистики для кожного фактора за формулою

(5.6)

де c_kk-діагональний елемент матриці С.

В таблиці знаходимо значення F_kбл.при значущості а і ступенях вільності К_І= n-m та к₂= m -1.

Якщо F_kроз> F_табл., то фактор X_k; мультиколінеарний з іншими факторами.

Коефіцієнт детермінації для кожного фактора буде

(5.7)

Крок 6. Знаходження частінних коефіцієнтів кореляції

Здійснюється за формулою

(5.8)

де с_kj- елемент оберненої матриці С, що міститься в k рядку і в j - ому стовпчику, с_kk та С_jj - діагональні елементи матріці С.

Крок 7. Превірка мультиколінеарності пари факторів.

Застосуємо критерій Ст'юдента. Для перевірки мультиколінеарності між факторами Х_k та Х_j обчислюють t-статистику за формулою

(5.9)

Потім знаходять табличне значення цієї статистики при n-m ступенях вільності і рівні значущості а.

Якщо t_kроз> t_табл., то між факторами Х_k та Xj існує мультиколінеарність.

При мультиколінеарності між факторами Х_k та Xj (крок 7) можна зробити заміну фактора X*_і = Х_k – Xj, а потім перевірити наявність мультиколінеарності між факторами X_k та X*j. При наявності мультиколінеарності між факторами X_k та X*j один з них включається із моделі. При відсутності між ними ультиколінеарності замість Xj в модель включають X*j.

При наявності мультиколінеарності факторів доцільно звернути увагу і на специфікацію моделі. Іноді заміна однієї функції іншою, не суперечить інформації, дозволяє усунути мультиколінеарність.

У випадку економетричних моделей з великого кількісно факторів, коли не вдається позбутися мультиколінеарності, параметри моделі оцінюють методом головних компонент (дивись, наприклад, [2], стор.