Тема 5: Економетричні моделі динаміки.

План

1) Багатофакторні лінійні економетричні моделі динаміки та особливості їх побудови.

2) Дистрибутивно-лагова модель та авторегресивна модель, зв’язок між ними.

3) Статистичні проблеми при оцінці параметрів моделей динаміки.

Припустимо що між показником у і факторами х₁, х₂…х_m існує лінійна залежність

В цій рівності a₁, a₂…a_m - параметри лінії регресії, l - відхилення. В результаті n спостережень одержимо n рівнянь:

Цю систему рівнянь можна записати у матричній формі Y = ХА + L

Де :

- вектор-стовпчик спостережуваних даних показника;

- вектор-стовпець оцінюваних параметрів;

- вектор – стовпець відхилень фактичних даних

- матриця спостережувальних факторів

х₁,х₂...,х_n, та фіктивного фактору x_о, усі елементи якого дорівнюють одиниці і який дописується коли модель має вільний член а₀

Зауваження. Треба звернути увагу на індекси елементів х_ij матриці перший індекс і вказує номер стовпця матриці, а другий індекс j вказує номер рядка матриці.

Відносно вектора L зробимо такі припущення:

для кожного спостереження j = 1,2,...,n величина l₁, - випадкова; математичне сподівання відхилень М(L) =0; дисперсія відхилень - стала, тобто

• одинична матриця.

Фактори моделі не пов'язані із відхиленнями, тобто

Фактори моделі не мультиколінеарні, тобто визначник добутку матриць Х^ТХ не дорівнює нулеві, (іншими словами:фактори X₁, Х₂,...Х_n„ утворюють лінійно незалежну систему).

При виконані вказаних умов можна застосувати метод найменших квадратів для знаходження оцінок параметрів А.

Суть методу полягає в знаходжені таких оцінок А, при яких сума квадратів відхилень буде мінімальною. Ознайомимось з цим методом у матричній формі.

Із рівності (3.3) випливає, що L = Y – XA, тому функціонал Ф має вигляд

оскільки XA = Y.

Згідно необхідним умовам існування екстремуму в точці екстремуму функціонала виконується умова:

За правилами диференціального обчислення у матричній формі (дивись, наприклад,(1), стор. 14-15) остання рівність приймає вигляд

-2Х^ТY+2Х^ТХА = 0 => Х^ТХA = Х^ТY

Рівняння (3.4) помножимо зліва на матрицю обернену матриці X^TX і одержимо оцінку вектора А:

Підкреслимо, що рівність (3.4) є матричною формою запису системи (і = 0,1,2,...m) у стандартному вигляді відносно а_о,а₁....а_m ,а формула (3.5) вказує, що вектор А є розв'язком цієї системи і тому мінімізує суму квадратів відхилень.

Обчислення оцінок параметрів моделі за формулою (3.5) доцільно проводити в такому порядку:

1. знайти добуток матриць Х^ТХ;

2. знайти обернену матрицю [Х^ТХ]^-1; яку називають матрицею похибок;

3. знайти добуток матриці X^T на вектор Y.

4. знайти оцінки А шляхом множення матриці [Х^ТХ]^-1на вектор - стовбець Х^ТY.

Доведено, що стандартні помилки оцінок параметрів моделі A прямо пропоційні до значень елементів головної діагоналі матриці похибок [Х^ТХ]^-1.

Незміщену оцінку дисперсії залишків знаходять за формулою:

Означення. Матрицею моментів називають матрицю (X*)^T X*, де матриця X* одержується иіляхом заміни елементів x_ij матриці X на відхилення кожного значення від свого середнього, тобто на елементи x*_ij = x_ij -х_i, і = 1,2,...,т, j = 1,2,...,п.

Елементи головної діагоналі матриці моментів характеризують величину дисперсій незалежних змінних, а інші елементи цієї матриці відповідають взаємним коваріаціям.

Отже матриця моментів описує зв'язки між незалежними зміними моделі.

Незміщену оцінку дисперсії залишків знаходять за формулою:

Надійність коефіцієнта множинної кореляції R та значущість рівняння регресії оцінюють за критеріям Фішера для заданого рівня значущості а. Розрахункове значення статистики F знаходять за формулою

Критичне значення F_a,k1,k2 знаходять з таблиці при k_І = m, k₂ = n – m – 1.

Якщо F_роз > F_табл , то коефіцієнт кореляції значущий, а економетрична модель достовірна.

Для визначення економічних характеристик виробничої функції треба:

- перейти до початкового рівняння (3.7)

- середню ефективність впливу факторів знайти як , де

P, Q, F - середні значення факторів;

Граничну ефективність впливу факторів знайти за формулами:

- еластичність впливу факторів знайти за формулами:

При аналізі результатів моделювання одержану виробничу функцію розуміють так: при Q = соnst збільшення оборотніх коштів F на 1% веде до збільшення випуску продукції на 51%, а при F = соnst збільшення виробничих фондів на Q на 1% дає підвищення валової продукції на 32%.

Середня ефективність показує, що 1 млрд. гр., вкладений на протязі 6 років у виробничі фонди в середньому давав продукції на 1,09 млрд. гр., а вкладений в оборотні кошти – 4,05 млрд.гр.

Гранична ефективність факторів Q та F вказує мінімальний ефект, одержаний від вкладання 1 млрд. гр. у виробничі фонди та в оборотні кошти: 0,345 та 2,056 відповідно.