Тема: Економетричні моделі на основі системи структурних рівнянь.

План

1) Системи одночасних структурних рівнянь. Рекурсивні системи.

2) Непрямий метод найменших квадратів (НМНК) оцінки параметрів системи двох регресій.

3) НМНК у матричній формі для системи двох регресій.

4) Двокроковий метод найменших квадратів (2МНК).

5) Приклади моделей та задач прогнозування.

6) Система незалежних регресій (попит та пропозиція).

В економіці існує багато задач, коли для опису економічного процесу доводиться використовугати систему взаємозв'язків між декількома показниками та факторами і які описуються системою рівнянь регресії.

Наприклад, якщо У₁ - курс гривні до американського долара, У₂ - обсяг імпорту, Х_і (і = 1,2,..., m) - фактори, від яких залежать ці показники (наприклад: X₁ - національний прибуток, Х₂ - середній рівень заробітної плати, Х₃ - обсяг імпорту, Х₄ - ціни енергоносіїв, що купуються, Х₅ - інфляція долара, Х₆ - відсоткові ставки кредитів у банках, X₇ - розмір емісії, Х₈ - інфляція гривні за попередні періоди в Україні, Росії, Германії і т.д.)

В розглядаємому прикладі систему регресій можна записати у вигляді

Величини, які знаходяться в рівнянні регресії справа, називають пояснювальними, а зліва - показниками.

При побудові моделей пояснювальні зміні можуть мати запізнення (лаги) за один, два або більше періодів.

Наприклад, інфляція долара в Україні залежить від рівня його інфляції в Германії, Америці, Японії, Росії за попередній період.

Найчастіше системи одночасних структурних рівнянь включають лінійні рівняння. Нелінійність зв'язків зводиться до лінійних відносно змінних або апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв'язків враховується за допомогою часових лагів або лагових зміних.

В загальному вигляді економетрична модель на основі системи одночасних рівнянь має вигляд

В цій моделі окремі коефіцієнти можуть дорівнювати нулю, якщо відповідна зміна не входить до рівняння. Якщо деяке рівняння описує детерміновані співвідношення (вони не містять випадкових величин), то відповідне відхилення L_іt, також можуть дорівнювати нулю.

Систему (8.1) можна записати у матричній формі

Y = АYt + ВХt + Lt (8.2)

Де Yt - вектор ендогених (залежних) змінних: Xt - матриця екзогених (незалежних) зміних, L - вектор відхилень, A - матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром k х k; В — матриця коефіцієнтів при змінних X розміром k x m.

Економетрична модель вигляду (8.1) відображає структуру зв'язків між змінними величинами і називається структурною формою економетричної моделі.

Використовуючи матричний запис (8.2) і припущення, шо ранг системи дорівнює m, розв'яжемо цю систему відносно Y:

(8.3)

де — П = (Е - А)^-1 вектор-стовпець, складений з лінійних комбінацій випадкових змінних Lt.

Рівняння (8.3) можна записати у вигляді системи

Це називається приведеною формою системи одночасних рівнянь.

Система одночасних структурних рівнянь називається рекурсивною формою системи, якщо матриця А параметрів ендогенних зміних структурної системи (8.1) має трикутний вигляд, а випадкові відхилення не корелюють між собою.

Знаходження оцінок параметрів А та В рівняння (8.2) пов'язане з проблемою ідентифікації системи.

Означення. Система одночасних структурних рівнянь (8.1) називається точно ідентифікованою, якщо для кожного її рівняння виконується рівність

M - m_i =k_i – 1

Система називається надідентифікованою, якщо M - m_i > k_i – 1

Система називається неідентифікованою, якщо M - m_i < k_i – 1

Де m - загальна кількість екзогених змінних моделі, m_i - кілікість екзогених зміних і-ого рівняння, к_i — кількість ендогених (залежних) змінних і-ого рівняння.

Для оцінки параметрів моделі (8.1) застосовують спеціальні методи.

Якщо окремо оцінювати параметри кожною рівняння системи звичайним методом найменших квадратів, то одержимо необгрунтовані оцінки.

Для оцінки параметрів системи (8.1) найчастіше використовують двокроковий та трикроковий методи найменших квадратів. Алгоритм двокрокового методу найменших квадратів складається з 17 кроків.

У випадку точно ідентифікованої системи рівнянь застосовують непрямий метод найменших квадратів, тобто спочатку зводять систему до приведеної форми (8.4), а потім звичайним методом найменших квадратів визначають оцінки параметрів кожного рівняння, тобто знаходять оцінку П. Оцінки параметрів рівнянь структурної системи розраховують на основі співвідношення:

АП = -В

де А і В – параметри структурних рівнянь.

У випадку рекурсивної системи одночасних рівнянь обгрунтовані оцінки параметрів А і В можна одержати звичайним методом найменших квадратів, застосовуючи його до кожного рівняння системи.

Точковий прогноз ендогенних (залежних) змінних визначається на основі оцінок параметрів приведеної форми економетричної моделі за формулою

де Хр - вектор прогнозних екзогенних змінних.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Основна:

1. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичне програмування: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. — К.: КНЕУ, 2001.

2. Грубер Й. Економетрія. - К. : Нічлава, 1998. – Т. 1,2.

3. Збірник задач з курсу «Математичне програмування» / Укл.

4. Лук’яненко І., Краснікова Л. Економетрика: Підручник. - К.: Тов. „Знання” КОО, 1998.

5. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія. - К.: КНЕУ, 1997.

6. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія. - К.: КНЕУ, 2000.

7. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія. - К.: КНЕУ, 2001.

8. С. І. Наконечний, В. В. Вітлінський та ін. — К.: КНЕУ, 1998. — Ч. 2.

9. Наконечний С. І., Гвоздецька Л. В. Збірник задач з курсу «Математичне програмування» 1: Навч. посібник. — К.: ІСОД, 1996.

10. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике — СПб.: Издательство «Питер», 2000.

11. Романюк Т. П., Терещенко Т. О., Присенко Г. В., Городкова І. М. Математичне програмування: Навч. посібник. — К.: ІЗМН, 1996.

12. Толбатов Ю.А. Економетрика в Excеl. – К., 1997.

Додаткова

13. Акулич И. Л. М атематическое программирование в примерах и задачах. — М.:

14. Высш. шк., 1985.

15. Ашманов С. А. Линейное программирование. — М.: Наука, 1981.

16. Вагнер Г. Основы исследования операций. — Т. 1—3. — М.: Мир, 1972.

17. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М.: Советское радио, 1972.

18. Гуревич Т. Ф., Лущук В. О. Сборник задач по математическому программированию. — М.: Колос, 1977.

19. Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч. посібник. — К.: ІЗМН, 1997.

20. Зайченко Ю. П. Исследование операций. — К.: Вища шк., 1988.

21. Зайченко Ю. П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация. — К.: Вища шк., 1991.

22. Калихман И. Л. Сборник задач по математическому программированию. — М.: Высш. шк., 1975.

23. Калихман И. Л., Войтенко М. А. Динамическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высш. шк., 1973.

24. Кузнецов Ю. Н., Козубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. — М.: Высш. шк.,1976.

25. Михалевич В. С., Гупал А. М., Норкин В. И. Методы выпуклой оптимизации. — М.: Наука, 1987.

26. Михалевич В. С., Ермольев Ю. М. Пакет прикладных программ не дифференцируемой и стохастической оптимизации // Исслед. операций и АСУ. — 1986. — Вып. 27. — С. 3—38.

27. Муртаф Б. Современное линейное программирование. Теория и практика. — М.: Мир, 1984.

28. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.

29. Степанюк В. В. Методи математичного програмування. — К: Вища шк., 1997.

30. Таха Х. Введение в исследование операций. — М.: Мир, 1985. — Т. 1, 2.

31. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование, теория, методы, приложение. — М.: Наука, 1969.