- •1.Методы координат на плоскости.
- •2. Виды задач, решаемых методом координат
- •3.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •4.Общее уравнение прямой
- •5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
- •10. Расстояние от точки до прямой.
- •11. Уравнение окружности.
- •13.Каноническое уравнение гиперболы.
- •14.Директрисы эллипса и гиперболы.
- •16. Матрица. Виды.
- •19. Миноры, алгебраические дополнения, теорема Лапласа
- •23. Решение слау методом обратной матрицы
- •24. Решение слау методом гаусса
- •25. Теорема Кронекера-Капелли.
- •26. Основные понятия вектора
- •27. Линейные операции над векторами
- •28. Понятие линейной зависимости векторов
- •30. Линейная зависимость векторов в пространстве
- •31 . Базис на плоскости и в пространстве
- •32. Скалярное произведение
- •33. Направляющие косинусы вектора
- •34. Векторное произведение
- •Свойства
- •38. Уравнением плоскости в отрезках.
- •39. Расстояние от точки до плоскости
- •40. Угол между плоскостями
- •41. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •42. Общее уравнение прямой в пространстве
- •43. Каноническое уравнения прямой в пространстве
- •44. Параметрические уравнения прямой
- •45. Уравнение прямой в пространстве, проходящее через две различные данные точки.
- •46. Угол между прямыми в пространстве
- •47. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
- •48. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости.
- •49. Уравнение плоскости, проходящей через две данные точки перпендикулярной к данной плоскости.
- •50. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки не лежащие на одной прямой
3.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Уравнение вида
(1)
называется общим уравнением прямой.
Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:
Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением
,
то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку (, ) и имеет угловой коэффициент k.
Если прямая проходит через точки (, ), (, ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение
является уравнением прямой, проходящей через две точки (, ) и (, ).
Если известны угловые коэффициенты и двух прямых, то один из углов между этими прямыми определяется по формуле
.
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:.
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение , или .
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
4.Общее уравнение прямой
Уравнение
Ах+Ву+С=0
(где А, В, Смогут иметь любые значения, лишь бы коэффициентыА, Вне были нулями оба сразу) представляетпрямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называютобщим уравнением прямой.
Если А=0, то есть уравнение не содержитх, то оно представляет прямую,параллельную оси ОХ.
Если В=0, то есть уравнение не содержиту, то оно представляет прямую,параллельную оси ОY.
Когла Вне равно нулю, то общее уравнение прямой можноразрешить относительно ординаты у, тогда оно преобразуется к виду
y=ax+b
(где a=-A/B; b=-C/B).
Аналогично, при Аотличным от нуля общее уравнение прямой можно разрешить относительнох.
Если С=0, то есть общее уравнение прямой не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат
5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,
y - y1 = k(x - x1). (1)
Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x1, y1), которая называется центром пучка.
6. уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), записывается так:
(2)
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле
(3)
7. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой , то разделив (1) на , получаем уравнение прямой в отрезках
,
где , . Прямая пересекает ось в точке , ось в точке .
8. Формула: Угол между прямыми на плоскости
Уголα между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k1x+b1 (первая прямая) и y=k2x+b2 (вторая прямая), может быть вычислен по формуле (угол отсчитывается от 1й прямой ко 2й против часовой стрелки):
tg(α)=(k2-k1)/(1+k1k2) |
9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Пусть сейчас оба уравнения прямых записаны в общем виде.
Теорема. Пусть
и
– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда
1) если , то прямые и совпадают;
2) если , то прямые и
параллельные;
3) если , то прямые пересекаются.
Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:
. Поэтому, если , то и прямыепересекаются.
Если же , то , , иуравнение прямой принимает вид:
или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.
Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.
Теорема доказана.