30. Линейная зависимость векторов в пространстве
Линейная зависимость векторов в пространстве.
Определение.Векторы называются компланарными если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
Заметим, что если компланарные векторы имеют общее начало, то они, очевидно, лежат в одной плоскости.
Теорема Всякие четыре вектора a,b,c и d в пространстве линейно зависимы
Из этой теоремы аналогично следствию из п. 4 получим следствие.
Следствие.Если число данных векторов в пространстве больше четырех, то они также линейно зависимы.
Аналогично предыдущему пункту устанавливаем следующее.
Для того чтобы три вектора в пространстве были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.
Теорема . Для того чтобы три вектора a, b и c в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.
Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.
31 . Базис на плоскости и в пространстве
Определение. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора.
два любых неколлинеарных вектора образуют базис. Пусть a любой вектор на плоскости, а векторы b и c образуют базис. Так как на плоскости всякие три вектора линейно зависимы, то вектор a линейно выражается через векторы базиса, т. е. выполняется соотношение
Определение. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора. три любых некомпланарных вектора образуют базис. Как и в случае плоскости, устанавливается, что любой вектор a разлагается по векторам b, c и d
Общее
определение (чтобы понятно всем было)
Базисом на плоскости (в пространстве)
называется упорядоченная пара (тройка)
неколлинеарных (некомпланарных) векторов.
Любой вектор однозначным образом
раскладывается по базису. Коэффициенты
разложения называются координатами
этого вектора относительно данного
базиса. Векторы образуют базис в
декартовом координатном пространстве
Oxyz.
32. Скалярное произведение
Скалярное
произведение векторов 
и
:
где
-
угол между векторами
а и b;
если a=0,
либо b=0,
то
Из
определения скалярного произведения
следует, что
где,
например,
есть
величина проекции вектора b
на направление вектора b.
Скалярный
квадрат вектора:
Свойства скалярного произведения:
Скалярное произведение в координатах:
Если
то
Угол
между векторами
33. Направляющие косинусы вектора
Углы, образуемые вектором a с координатными осями Ox, Oy и Oz
Косинусы, определяемые по этим формулам, называются направляющими косинусами вектора a
Для направляющих косинусов вектора имеет место формула
т.
е. сумма квадратов косинусов углов,
образуемых вектором с тремя взаимно
перпендикулярными осями, равна единице.
Если
т.
е. если а -
единичный вектор, обозначаемый обыкновенно
,
то его проекции на координатные оси
вычисляются по формулам
т.
е. проекции единичного вектора
на оси прямоугольной системы координат Ox, Oy и Oz равны соответственно направляющим косинусам этого вектора. Имеет место формула
