27. Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть а и b — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОА=а. От точки А отложим вектор АВ = b . Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и b : О B=а+b (см. рис. 2)

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелoграмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, b и с.

Под разностью векторов а и b понимается вектор с=а-b такой, что b+с=а (см. рис. 5).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и b одна направленная диагональ является суммой векторов а и b , а другая — разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: а - b = а + (-b ), т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противоположным вектору b .

Произведением вектора а на скаляр (число) λ называется вектор λ*а (или а*λ), который имеет длину |λ|*|а|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0. Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если b=λ * а , то b || а . Наоборот, если b ||а , (а¹0 ), то при некотором λ верно равенство b = λа ;

2) всегда а =|а | • а -о , т. е. каждый вектор равен произведению его мо дуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. а+b=b+а

2. (а +b) +с=а + (b +с),

3. λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а,

4. (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а,

5. λ • (а +b) =λ •а+λ •b.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

28. Понятие линейной зависимости векторов

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ [vectors linear dependence] — частный случай по отношению к общему понятию линейной зависимости. Рассмотрим в качестве примера два произвольных ненулевых вектора, a и b, принадлежащих векторному пространству V.

Если можно подобрать такие не равные нулю числа α и β, что αa + βb = 0, то векторы a и b называются линейно зависимыми. Причина этого ясна: с помощью полученного равенства можно выразить, напр., вектор a через вектор b. Это значит, что a зависит от b. Можно обобщить это определение и на произвольное число векторов: если существуют такие отличные от нуля числа α1, ..., αn, что ∑αiai = 0, то векторы называются линейно зависимыми, если же такая система чисел отсутствует, то линейно независимыми.

29. Линейная зависимость векторов на плоскости.

Теорема1 . Всякие три вектора a, b, c , и на плоскости линейно зависимы.

Доказательство

Достаточно убедиться в том, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Возможны два случая.

1. Среди данных векторов имеется пара a и b. Тогда (см. п. 2)

т.е. вектор a есть линейная комбинация векторов b и c.

2.Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что все три вектора имеют общее начало О (рис.30). Покажем, что вектор a можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых коллинеарен b вектору , а другой - вектору c.

Для этого через конец М вектора a проведем прямые, параллельные векторам b и c, до их пересечения в точках В и С c прямыми, на которых соответственно расположены векторы b и c. Имеем очевидное равенство

Так как векторы OB и OC коллинеарны соответственно векторам b и c, то и.

Поэтому , т.е.a является линейной комбинацией векторов b и c.

Следствие.Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

В самом деле, пусть даны n векторов (n > 3). Так как три вектора на плоскости всегда линейно зависимы, то для векторовимеем. В таком случае для всех n векторов можно написать

т.е. вектор a1 есть линейная комбинация остальных векторов.

Что касается двух векторов a и b, то, как известно (см. п. 2), они коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство , т.е. когда векторыa и b линейно зависимы. Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы два вектора a и b на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они бы

Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.