25. Теорема Кронекера-Капелли.
Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Доказательство (условия совместности системы)
Необходимость
Пусть
система совместна. Тогда существуют
числа
такие, что
. Следовательно, столбец b является
линейной комбинацией столбцов
матрицы
A. Из того, что ранг матрицы не изменится,
если из системы его строк (столбцов)
вычеркнуть или приписать строку
(столбец), которая является линейной
комбинацией других строк (столбцов)
следует, что
.
Достаточность
Пусть
. Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный
минор. Так как
, то он же и будет базисным минором и
матрицы B. Тогда согласно теореме о
базисном миноре последний столбец
матрицы B будет линейной комбинацией
базисных столбцов, то есть столбцов
матрицы A. Следовательно, столбец
свободных членов системы является
линейной комбинацией столбцов матрицы
A.
Следствия
Количество главных переменных системы равно рангу системы.
Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
26. Основные понятия вектора
Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.
Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A ) называется противоположным вектору АВ . Вектор, противоположный вектору а , обозначается -а .
Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через e . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом вектора a и обо значается a °.
Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b .
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектор а и b называются равными (а = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.
На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство b =d , но а¹ с. Векторы а и с — противоположные, а =-с.
Равные векторы называют также свободными.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны