16. Матрица. Виды.

Определение. Матрицей размера  называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы широко применяются для описания экономических объектов и процессов. Элементами матрицы могут быть числа, буквы (символы) и другие объекты.

Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами A, B, C, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией aij, где i - номер строки, j - номер столбца:

Виды  матриц:

1) Матрица-строка: ;

2) Матрица-столбец: ;  3) Нулевая матрица: ;

4) Квадратная матрица – если (например n = 2): ;

5) Диагональная матрица (напр. 3-го порядка, где  любые числа ): ;

6) Единичная матрица (например, 3-го порядка) 

17. Операции над матрицами.

Операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на числоназывается матрица ,элементы которой для

Пример. Вычислить , если .    Р е ш е н и е:  .

Если , то (нулевая матрица того же размера).

2.       Сложение матриц.

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для 

Пример. Вычислить С = А + В, если .  Р е ш е н и е: .

3.       Вычитание матриц.

Разность матриц одинакового размера определяется как .

4.       Умножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

, где 

Пример. Вычислить произведение матриц , где , .

18. определители квадратных матриц

I. Определитель матрицы первого порядка

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент, называется элемент  а₁₁:

.

II. Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

.

Например, пусть

.

III. Определитель матрицы третьего порядка

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

19. Миноры, алгебраические дополнения, теорема Лапласа

Миноры и алгебраические дополнения

Определитель -го порядка, получающийся вычеркиванием из

-й строки и -го столбца называется минором⁵⁾ (-го порядка) этого определителя, соответствующим элементу . Будем обозначать его :

Величина

называется алгебраическим дополнением элемента  в .

Т

Теорема. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, справедливы следующие формулы разложения определителя по -й строке (или по элементам -й строки):

и разложения определителя по -му столбцу:

для любых .

20. обратная матрица. Алгоритм вычисления

Обратная матрица

        Определение 14 . 8   Матрица  называется обратной матрицей для квадратной матрицы  , если  .          Из определения следует, что обратная матрица  будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений  или  было бы не определено). Обратная матрица для матрицы  обозначается  . Таким образом, если  существует, то  . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы  , то есть  . Про матрицы  и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.         Предложение 14 . 20   Если матрица  имеет обратную, то  и .          Доказательство .     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей (  предложение 14.7 ), то . По   следствию 14.1  , поэтому  , что невозможно при  . Из предыдущего равенства следует также .      Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.         Определение 14 . 9   Квадратную матрицу  назовем вырожденной или особенной матрицей , если  , и невырожденной или неособенной матрицей , если  .                  Предложение 14 . 21   Если обратная матрица существует, то она единственна.          Доказательство .     Пусть две матрицы  и  являются обратными для матрицы . Тогда    иСледовательно,  .              Предложение 14 . 22   Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и ( 14 .14) где   -- алгебраические дополнения к элементам  .          Доказательство .     Так как для невырожденной матрицы  правая часть равенства ( 14.14 ) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы  . Обозначим правую часть равенства ( 14.14 ) буквой  . Тогда нужно проверить, что и что  . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично. Пусть  . Найдем элементы матрицы  , учитывая, что :  Если  , то по   предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть  при  . Если , то  Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы  по  -ой строке ( предложение 14.16 ). Таким образом, Итак, в матрице  диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть  .      Результаты предложений 14.20 , 14.21 , 14.22 соберем в одну теорему.         Теорема 14 . 1   Обратная матрица для квадратной матрицы  существует тогда и только тогда, когда матрица   -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула ( 14.14 ).              Замечание 14 . 12   Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй -- номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

21. Ранг матрицы.

РАНГ МАТРИЦЫ — наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение

Пусть — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

ноль, если A — нулевая матрица;

число , где Mr — минор матрицы A порядка r, а Mr + 1 — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существуют.

Связанные определения

Ранг матрицы M размера называют полным, если .

Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где .

Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Свойства

Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы A, тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Следствия:

Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

Если A — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A∼B для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A∼B, то их ранги равны.

Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть A — матрица размера над полем C (или R). Пусть T — линейное преобразование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.

Методы

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

22. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера. Метод Крамера ( формулы Крамера ) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю. В таком случае система имеет единственное решение . Создан Габриэлем Крамером в 1751 году. Вы можете ознакомиться с примерами работы программы приведенными выше.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.Содержание [убрать]

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.