Метод проекций.
Проекция (лат. projectio — выбрасывание вперёд) — изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости.
Термин проекция также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод.
Принцип
Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой S(центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Соединив эти точки прямыми линиями в том же порядке, как они соединены в предмете, получим на плоскостиперспективное изображение предмета или центральную проекцию.
Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции, а если при этом проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то обортогональной проекции.
Проекция широко применяется в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии.
Изучением проекций и методов проектирования занимается начертательная геометрия.
Проекционный чертеж– чертеж, построенный методом проецирования пространственных объектов на плоскость. Является основным средством для анализа свойств пространственных фигур.
Аппарат проецирования:
Центр проецирования (S)
Проекционные лучи
Объект проецирования
Проекция
Комплексный чертеж– эпюр Монжа. Декартова система координат, ось (x,y,z)
Плоскости:
Фронтальная – вид спереди;
Горизонтальная – вид сверху;
Профильная – вид сбоку.
Состав комплексного чертежа:
1) Плоскости проекций
2) Оси проекций (пересечение плоскостей проекций)
3) Проекции
Линии связи.
Основные свойства ортогонального проецирования.
2 связанные между собой ортогональные проекции однозначно определяют положение точки относительно плоскостей проекции. 3-яя проекция не может быть задана произвольно.
Ортогональные проекции.
Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций, но при прямоугольном проецировании проекция отрезка, если он не параллелен плоскости проекций, всегда меньше самого отрезка (рис. 58). Это объясняется тем, что сам отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция — катетом: А'В' = ABcosa.
Рис. 58
При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину, когда обе стороны его параллельны плоскости проекций, и тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости проекций.
Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.
Рис. 59
Пусть дан прямой угол ABC, у которого сторона АВ параллельна плоскости п' (рис. 59). Проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости п'. Значит, АВ _|_S, так как АВ _|_ ВС и АВ _|_ ВВ, отсюда АВ _|_ В'С'. Но так какАВ || А'В' _|_ В'С', т. е. на плоскости п' угол между А'В' и В'С равен 90°.
Обратимость чертежа. Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А (см. рис. 53) не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций п'. Любая точка проецирующего луча, проходящего через точку А, будет иметь своей проекцией точку А'. Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа. В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексные чертежи) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрические чертежи).
Комплексный чертеж.
Прямая на комплексном чертеже:
Проекциями 2 точек
Непосредственно проекциями самой прямой
Прямая общего положения– не параллельна и не перпендикулярна к плоскостям проекции.
Линии уровня– линии, параллельные плоскостям проекции:
Горизонталь
Фронталь
Профильная
Общее свойство: у линий уровня одна проекция равна натуральной величине, другие проекции параллельны осям проекций.
Проецирующие прямые– дважды линии уровня (если перпендикулярны одной из плоскостей, то параллельны 2 другим):
Горизонтально-проецирующая
Фронтально-проецирующая
Профильно-проецирующая
Конкурирующие точки– точки, лежащие на одной линии связи.
Взаимное расположение 2 прямых:
Пересекающееся – имеют 1 общую точку и общие проекции этой точки
Параллельные – проекции всегда параллельны у 2 параллельных прямых
Скрещивающиеся – не имеют общих точек, пересекаются только проекции, а не сами прямые
Конкурирующие – прямые лежат в плоскости перпендикулярной к одной из плоскостей проекций (н-р, горизонтально-конкурирующие)
4. Точка на комплексном чертеже.
Элементы трехпроекционного комплексного чертежа точки.
Для определения положения геометрического тела в пространстве и получения дополнительных сведений на их изображениях может возникнуть необходимость в построении третьей проекции. Тогда третью плоскость проекций располагают справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной плоскости проекций П1 и фронтальной плоскости проекций П2 (рис. 62, а). В результате пересечения фронтальной П2 и профильной П3 плоскостей проекций получаем новую ось П2/П3, которая располагается на комплексном чертеже параллельно вертикальной линии связи A1A2 (рис. 62, б). Третья проекция точки А — профильная — оказывается связанной с фронтальной проекцией А2 новой линией связи, которую называют горизонталь-
Рис. 62
ной. Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одной горизонтальной линии связи. Причем A1A2 _|_ А2А1 и А2А3, _|_ П2/П3.
Положение точки в пространстве в этом случае характеризуется ее широтой — расстоянием от нее до профильной плоскости проекций П3, которое обозначим буквой р.
Полученный комплексный чертеж точки называется трехпроек-ционным.
В трехпроекционном чертеже глубина точки АА2 проецируется без искажений на плоскости П1и П2 (рис. 62, а). Это обстоятельство позволяет построить третью — фронтальную проекцию точки А по ее горизонтальной А1 и фронтальной А2 проекциям (рис. 62, в). Для этого через фронтальную проекцию точки нужно провести горизонтальную линию связи A2A3 _|_A2A1. Затем в любом месте на чертеже провести ось проекций П2/П3 _|_ А2А3, измерить глубинуfточки на горизонтальном поле проекции и отложить ее по горизонтальной линии связи от оси проекций П2/П3. Получим профильную проекцию А3 точки А.
Таким образом, на комплексном чертеже, состоящем из трех ортогональных проекций точки, две проекции находятся на одной линии связи; линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций; две проекции точки вполне определяют положение ее третьей проекции.
Необходимо отметить, что на комплексных чертежах, как правило, не ограничивают плоскости проекций и положение их задают осями (рис. 62, в). В тех случаях, когда условиями задачи этого не требу-
Рис. 63
ется, проекции точек могут быть даны без изображения осей (рис. 63, а, б). Такая система называется безосновой. Линии связи могут также проводиться с разрывом (рис. 63, б).
5. Прямая на комплексном чертеже. Основные положения.
Комплексный чертеж прямой линии.
Учитывая то, что прямую линию в пространстве можно определить положением двух ее точек, для построения ее на чертеже достаточно выполнить комплексный чертеж этих двух точек, а затем соединить одноименные проекции точек прямыми линиями. При этом получаем соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой.
На рис. 69, а показаны прямая l и принадлежащие ей точки А и В. Для построения фронтальной проекции прямой l2 достаточно построить фронтальные проекции точек А2 и В2 и соединить их прямой. Аналогично строится горизонтальная проекция, проходящая через горизонтальные проекции точек А1 и В1. После совмещения плоскости П1 с плоскостью П2 получим двухпроекционный комплексный чертеж прямой l (рис. 69, б).
Профильную проекцию прямой можно построить с помощью профильных проекций точек А и В. Кроме того, профильную проекцию прямой можно построить, используя разность расстояний двух ее точек до фронтальной плоскости проекций, т. е. разность глубин точек (рис. 69, в). В этом случае отпадает необходимость наносить оси проекций на чертеж. Этот способ, как более точный, и используется в практике выполнения технических чертежей.
6. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения.
Определение натуральной величины отрезка прямой линии.
При решении задач инженерной графики в ряде случаев появляется необходимость в определении натуральной величины отрезка прямой линии. Решить эту задачу можно несколькими способами: способом прямоугольного треугольника, способом вращения, плоскопараллельного перемещения, заменой плоскостей проекций.
Рассмотрим пример построения изображения отрезка в истинную величину на комплексном чертеже способом прямоугольного треугольника. Если отрезок расположен параллельно какой-либо из плоскостей проекций, то на эту плоскость он проецируется в натуральную величину. Если же отрезок представлен прямой общего положения, то на одной из плоскостей проекций нельзя определить его истинную величину (см. рис. 69).
Возьмем отрезок общего положения АВ (A ^ П1) и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекций (рис. 78, а). В пространстве при этом образуется прямоугольник А1ВВ1, в котором гипотенузой является сам отрезок, одним катетом — горизонтальная проекция этого отрезка, а вторым катетом — разность высот точек А и В отрезка. Так как по чертежу прямой определить разность высот точек ее отрезка не составляет труда, то можно построить по горизонтальной проекции отрезка (рис. 78, б) прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом превышение одной точки над второй. Гипотенуза этого треугольника и будет натуральной величиной отрезка АВ.
Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка, только в качестве второго катета надо взять разность глубин его концов (рис. 78, в), замеренную на плоскости П1.
Рис. 78
Для определения натуральной величины отрезка прямой можно воспользоваться поворотом ее относительно плоскостей проекций, чтобы она расположилась параллельно одной из них (см. § 36) или вводом новой плоскости проекций (заменой одной из плоскостей проекций) так, чтобы она была параллельна одной из проекций отрезка (см. §§58, 59).
треугольника.
Для определения натуральной величины отрезка прямой линии общего положения по ее проекциям применяют метод прямоугольного треугольника.
|
Вербальная форма |
Графическая форма |
|
1. Определить на комплексном чертеже Аz, Bz, Ay, By: D z – разность расстояний от точек А и В до плоскости p1; D y – разность расстояний от точек А и В до плоскости p2 |
|
|
2. Взять любую точку проекции прямой АВ, провести через нее перпендикуляр к отрезку: а) либо перпендикуляр к А2В2 через точку В2 или А2; б) либо перпендикуляр к А1В1 через точку В1 или А1 |
|
|
3. На этом перпендикуляре от точки В2 отложить D y или от точки B1 отложить D z |
|
|
4. Соединить A2 и В'2; A1 и В'1 |
|
|
5. Обозначить натуральную величину отрезка АВ (гипотенузу треугольника): |АВ| = А1В'1 = А2В'2 |
|
|
6. Отметить углы наклона к плоскости проекции p1 и p2: a – угол наклона отрезка АВ к плоскости p1; б – угол наклона отрезка АВ к плоскости p2
|
|
При решении подобной задачи находить натуральную величину отрезка можно только один раз (либо на p 1, либо на p 2). Если требуется определить углы наклона прямой к плоскостям проекций, то данное построение выполняется дважды – на фронтальной и горизонтальной проекциях отрезка.