40. Плоскости касательные к поверхности

Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке М, есть множество всех прямых − касательных, проведенных к поверхности через данную точку. Через любую точку поверхности можно провести множество кривых, а, следовательно, и множество касательных прямых. Положение плоскости в пространстве определяется двумя пересекающимися прямыми, поэтому для построения касательной плоскости к поверхности в заданной точке достаточно построить касательные к двум кривым линиям, проходящим через эту точку. В качестве таких кривых выбирают наиболее простые линии поверхности. Если данная поверхность является линейчатой, то за одну из таких кривых целесообразно взять прямолинейную образующую (касательная к прямой линии есть сама прямая).

В дифференциальной геометрии доказывается, что все эти касательные прямые располагаются в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью (τ) к поверхности в данной ее точке (рис. 10.1, б).

Если через точку поверхности можно провести касательную плоскость и при том одну, то точка поверхности называется о б ы к н о в е н н о й, в другом случае − о с о б о й (например, вершина конической поверхности).

41. Взаимное пересечение поверхностей. Основные положения

Линией пересечения двух поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. Из этого множества выделяют характерные (опорные, или главные) точки, с которых следует начинать построение этой линии. Они позволяют увидеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих поверхностей для определения остальных точек.

К таким точкам относятся: экстремальные точки- верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций; точки, расположенные на очерковых образующих некоторых поверхностей точки границы зоны видимости и т.д.

Следует имеет в виду, что линия пересечения двух поверхностей в проекциях всегда располагается в пределах контура наложения проекций двух пересекающихся поверхностей.

Иногда целесообразно воспользоваться преобразованием чертежа, чтобы представить пересекающиеся поверхности (или одну из них) в частном положении. Рисунок постановки с утюгом Утюг при самостоятельной работе можно использовать любой, в том числе и электрический - принципы построения остаются теми же.

Для определения этих точек часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Из общей хемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

В общем случае решение задачи по построении линии пересечения двух поверхностей может быть сведено к рассмотренным ранее задачам по определению:

1. Точек пересечения линии с поверхностью;

2. Линии пересечения плоскости и поверхности;

3. Комбинации первой и второй задачи.