23. Определение расстояния от точки до плоскости

На рис. 141 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):

1) П₁,П₂->П₁_|_П₄, П₄_|_Q, П₁ /П₄ _|_ h(A, 1)~ 0;

2) М₄K₄ _|_Q₄ — истинная величина расстояний от точки М до плоскости Q;

3)M₁K₁_|_K₄K_l или || П₁/ П₄;

4) K₂ построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П₄.

Расстояние от точки до пло-ти измеряется отрезком перпендикуляра опущенного из очки на плоскость, при этом нада рассматривать плоскость в проецируещем положении.

24. Определение расстояния между двумя прямыми.

На рис. 142 определено расстояние между прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых. Сначала построено изображение прямых на плоскости П₄_|_П₁. В этой системе плоскостей прямые занимают положение линии уровня: а(b)|| П₄; П₁ /П₄ ||а,(b₁). В системе плоскостей П₄ _|_ П₅ прямые занимают проецирующее по отношению к плоскости Пз положение:

П₅ _|_ а(b); П₄/П₅ _|_a(b₄) Отрезок M₅K₅ между вырожденными проекциями прямых определяет истинную величину расстояния между прямыми а и Ъ. Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекции, т. е. опять используется третья исходная задача преобразования чертежа.

25. Определение угла между прямыми.

Задачу на определение истинной величины углов (плоских) удобнее решать путем преобразования исходного чертежа способом вращения вокруг линии уровня. Истинная величина углов между пересекающимися прямыми с и d (рис. 143) определена следующим образом: плоскость угла повернута вокруг своей фронтали f (1, 2) до совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня Ф (Ф₁), проходящей через

Рис. 143

фронталь f Проекция MI совмещения вершины М угла между прямыми с и d находится на проекции Sum2 фронтально проецирующей плоскости Sum, в которой вращается точка М. Определив с помощью прямоугольного треугольника О₂М₂М натуральную величину радиуса вращения r и отложив ее на проекции Е₂ от фронтальной проекции центра вращения, получаем изображение точки М на плоскости П₂ в совмещенном с плоскостью Ф положении. Соединяя фронтальные проекции неподвижных точек 1 и 2 с построенной точкой М, получаем проекции с₂ и d₂,совмещенных с плоскостью Ф прямых с и d. Угол между прямыми с₂ и d₂ определяет натуральную величину искомого угла между пересекающимися прямыми с и d.

Эта задача также может быть решена способом замены плоскостей проекций. Для этого двойной заменой плоскостей проекций нужно сделать плоскость угла плоскостью уровня, решив последовательно сначала третью исходную задачу, а затем — четвертую.

Натуральная величина угла между скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Угол а между прямой l и плоскостью 6 может быть определен через дополнительный угол р между заданной прямой l и перпендикуляром п к данной плоскости, проведенной из любой точки прямой (рис. 144). Угол Р дополняет искомый угол а до 90°. Определив истинную величину угла Р путем вращения вокруг прямой уровня плоскости угла, образованного прямой l и перпендикуляром и, остается дополнить его до прямого угла. Этот дополнительный угол и даст истинную величину угла а между прямой l и плоскостью

Истинная величина двугранного угла — между двумя плоскостями Q и л. — может быть определена или путем замены плоскости проекций с целью преобразования ребра двугранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2), или если ребро не задано, как угол между двумя перпендикулярами n¹ и n², проведенными к данным плоскостям (см. § 61) из произвольной точки М пространства (см. рис. 145). В плоскости этих перпендикуляров при точке М получаем два плоских

Рис. 144

Рис. 145

угла а и Р, которые соответственно равны линейным углам двух смежных углов (двугранных), образованных плоскостями q и л,. Определив истинную величину углов между перпендикулярными n¹ и n² путем вращения вокруг прямой уровня, тем самым определим и линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями q и л.

22. Определение расстояния от точки до точки и от точки до прямой

Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей. На рис. 140 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

1) П₂_|_П₁-> П₁_|_П₄, П₄ ||АВ, П₁/П₄ ||A₁B₁;

2) П₁П₄ -> П₄_|_П₅, П₅ _|_AB, П₄/П₅ _|_A₄B₄;

3) M₅K₅ — истинное расстояние от точки М до прямой AB;

4) чтобы построить проекции перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей, строят основание перпендикуляра— точку К—на прямой АВиз условия, что в системе П₄ _|_П₅; он занимает положение линии уровня, т. е.

M₄K₄_|_A₄B₄. Горизонтальная и фронтальная проекции точки К определяются по линиям из условия принадлежности ее прямой АВ.Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж. На рис. 141 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):