Эконометрика / 2

1.     Генеральная совокупность и выборка.

2.     Вариационный ряд.

3.     Полигон и гистограмма.

4.     Числовые характеристики выборки.

5.     Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии.

 

1. Генеральная совокупность и выборка.

Статистической совокупностью называется совокупность объектов, одинаковых в каком-либо отношении, но  в то же время обладающих варьирующими (изменчивыми) признаками. Вся исследуемая совокупность  однородных объектов называется генеральной совокупностью.

Множество из  объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называется выборочной  совокупностью или выборкой.

Число  объектов, попавших  в выборку, называется объемом выборки.

Метод основанный на том, что по данным обследования выборки, взятой из генеральной совокупности, делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.

Выборка называется  репрезентативной, если каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть  в выборку.

Если из генеральной совокупности отобрана выборка объема , то количественное  значение признака в этой выборке - это случайная величина, возможные значения которой обозначают символами , ,…, и называют вариантами.

 Числа  объектов с одинаковыми значениями вариант называются частотами (весами) и обозначаются , ,…,.

2. Вариационный ряд.

Последовательность значений вариант,  расположенных в возрастающем порядке, называетсявариационным рядом.

Статистическим распределением называют вариационный ряд значений выборки и соответствующих им частот   или относительных частот .

 

			…
			…

 

где  n₁,+n₂,+ …+ n_k  = n – объем выборки  или

 

			…
			…

 

      .

  

3. Полигон  и гистограмма.

Полигоном частот (относительных частот) называется  ломаная линия с вершинами в точках (,), где  – варианта,  – ее частота, или (,), где -  относительная частота.

Для непрерывных распределений более наглядное представление о характере распределения случайной величины дает гистограмма.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной  и высотой , где  - длина каждого частичного интервала.

Если соединить середины верхних прямоугольников гистограммы, то получим полигон частот.

 

4. Числовые характеристики выборки.

Для изучения основных свойств статистического распределения используют выборочные числовые характеристики. Для нахождения центра распределения вычисляют различные типы средних величин, моду и медиану, степени вариации - размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое  отклонение, коэффициент вариации и другие величины.

1. Выборочная средняя арифметическая:

                                     (1)

2. Выборочная  средняя  квадратическая: 

                         (2)

3. Выборочная  средняя  геометрическая:

                                          (3)

При вычислении различных типов средних величин для одного и того же вариационного ряда всегда имеем 

            

Эти неравенства характеризуют свойство мажорантности средних.

Для упрощения вычисления выборочной средней арифметической  удобно переходить  от данных вариант   к условным вариантам , где  - разность между соседними вариантами,  - ложный нуль (варианта с наибольшей частотой):                                                             (4)

4. Модой М₀  называется варианта, имеющая  наибольшую частоту.

5. Медианой М_е называется такая варианта, которая делит вариационный ряд  распределения на две равные части, т.е. варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

Если в дискретном вариационном ряду   значений, то  .

Если число вариант четное , то медиана определяется как среднее арифметическое из двух серединных значений, т.е. .

6. Размах вариации  определяется  как  разность между максимальным и минимальным вариантами, т.е.

.                                                              (5)

7. Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней арифметической

                              (6)

                      

8. Дисперсией называется средний квадрат отклонения всех значений признака от его средней величины.

                      (7)

    

9. Исправленная дисперсия            (8)

10. Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

                                                                (9)

Среднее квадратическое отклонение называют также стандартным отклонением.

11. Коэффициент вариации  - это выраженное  в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

                                                        (10)

 

5. Метод произведений для вычисления

выборочных средней и дисперсии.

Метод произведений дает удобный способ вычисления условных элементов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересующие нас начальные и центральные эмпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так:

1) в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные ) варианты, располагая их в возрастающем порядке;

2) во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;

3) в третий столбец записывают условные варианты , причем в качестве ложного нуляС выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают hравным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клетках над нулем пишут последовательно -1, -2, -3 и т.д.,  а под нулем -1, 2, 3 и т.д.;

4) умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения  в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их сумму  помещают в нижнюю клетку столбца;

5) умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения  в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму  помещают в нижнюю клетку столбца;

6) умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения  в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их сумму  помещают в нижнюю клетку столбца.

После того, как расчетная таблица заполнена и проверена правильность вычислений, вычисляют условные моменты:

   .

Наконец, вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам: