Задача 6. Вибіркове спостереження.

З метою визначення витрат часу на виготовлення деталі проведено хронометраж роботи 25 робітників, відібраних за схемою 10%-го механічного відбору. За даними вибірки середні витрати часу становили 15хв. при вибіркові дисперсії 2хв. Обчисліть похибку вибірки для середніх витрат часу і визначте:

А) як зміниться похибка вибірки, якщо обсяг вибіркової сукупності збільшити у 2 рази;

Б) як відіб’ється на похибці вибірки збільшення дисперсії у 1,6 раза;

В) як зміниться похибка вибірки, якщо зі збільшенням дисперсії у 1,21 раза обсяг вибіркової сукупності збільшиться у 2,25 раза;

Г) як зміниться похибка вибірки, якщо частку вибіркової сукупності щодо генеральної довести відповідно до 19% та 36%.

Рішення

У процесі проектування вибіркових спостережень визначають мінімально достатній обсяг вибірки, при якому вибіркові оцінки репрезентували б основні властивості генеральної сукупності. Занадто великий обсяг вибірки потребує зайвих витрат, а занадто малий призведе до збільшення похибки репрезентативності. Теорія вибіркового методу дає змогу науково обгрунтувати достатній обсяг вибірки.

Оскільки об'єм 10%-вибірки n = 25, то генеральної сукупності N = 250, звідки n / N = 0,1.

Обчислюємо стандартну (середню) помилку вибірки для середніх витрат часу:

.

а) Як зміниться похибка вибірки, якщо обсяг вибіркової сукупності збільшиться у 2 рази?

Якщо обсяг вибіркової сукупності збільшиться у 2 рази, то він становитиме 50 робітників і 20% генеральної сукупності. Тоді відношення похибок вибірок буде рівне:

.

Отже, похибка збільшеної вибірки зменшиться у 1,5 рази.

б) Як відіб'ється на похибці вибірки збільшення дисперсії у 1,6 рази?

Якщо дисперсію збільшити у 1,6 разів, то вона становитиме 4 ∙ 1,6 = 6,4. Тоді похибка вибірки буде рівна:

,

звідки визначаємо, що похибка збільшиться в =1,2649 рази.

в) Як зміниться похибка вибірки, якщо зі збільшенням дисперсії у 1,21 рази обсяг вибіркової сукупності збільшиться у 2,25 рази?

Якщо дисперсію збільшити у 1,21 рази, то вона становитиме 4 ∙ 1,21 = 4,84. Якщо обсяг вибіркової сукупності збільшиться у 2,25 рази, то він становитиме 22,5% або 0,225. Тоді відношення похибок вибірок буде рівне:

.

Отже, похибка нової вибірки зменшиться у 1,47 разів.

г) Як зміниться похибка вибірки, якщо частку вибіркової сукупності щодо генеральної довести відповідно до 19 та 36%?

Знайдемо відношення похибок вибірок:

1) .

Отже, якщо частку вибіркової сукупності щодо генеральної довести до 19%, то похибка нової вибірки зменшиться у 1,054 рази.

2) .

Отже, якщо частку вибіркової сукупності щодо генеральної довести до 36%, то похибка нової вибірки зменшиться у 1,186 разів.

д) Як зміниться похибка вибірки, якщо провести розшарований відбір (виділити групи за стажем роботи) і міжгрупова дисперсія витрат часу становитиме 36% загальної?

Коли відбір здійснюється з окремих типово однорідних груп, виділених за відповідною ознакою, варіації групових середніх немає, і похибка типової вибірки залежить від середньої ведичини з групових дисперсій. А тому при типовому відборі в формулах похибок вибірки замість загальної дисперсії слід використати середню з групових дисперсій.

Міжгрупова дисперсія витрат часу рівна δ² = 0,36σ² = 0,36 ∙ 4 = 1,44.

Використавши правило додавання дисперсій , обчислимо середню з групових дисперсій . Одержимо:

.

Отже, похибка нової вибірки зменшиться у 0,3795 / 0,3036 = 1,25 разів.